【志鸿全优设计】高中数学 第四章 2 实际问题的函数建模目标导学 北师大版必修1.doc

2实际问题的函数建模问题导学一、二次函数模型的应用活动与探究1某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元设每套设备实际月租金为x元(x270元)，月收益为y元(总收益设备租金收入未租出设备费用)(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？迁移与应用某旅游公司的最大接待量为1 000人，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1 000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800人时，则空闲量为200人)，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率已知该公司4月份接待游客的月增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比(设比例系数k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当k时，求4月份游客日增加量的最大值在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题列出二次函数解析式后，通常可利用配方法求出其最值，但应注意函数自变量的取值范围，即应在函数定义域的前提下求最值二、分段函数模型活动与探究2某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效求服药一次治疗疾病的有效时间迁移与应用某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：r(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式需注意分段函数的最值，是各区间上解析式所得最值的最大者或最小者三、指数函数模型的应用活动与探究3有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同若该元素最初的质量为50 g，经过一年后质量变为40 g.(1)设x(x0)年后，这种放射性元素的质量为y g，写出y关于x的表达式(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)迁移与应用某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式；(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(参考数据：lg 20.301 0)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时，注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律四、对数函数模型的应用活动与探究4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数ylog3，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；(3)若鲑鱼a的游速大于鲑鱼b的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由迁移与应用燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中q表示燕子的耗氧量(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答其实际意义当堂检测1一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是()a一次函数模型 b二次函数模型c指数函数模型 d对数函数模型2某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()ay2t by2t2cyt3 dylog2t3在一次数学实验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数()ayabx bybxcyax2b dy4据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()aymby(1)mcy0.9550xmdy(10.0550x)m5长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为_提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1f(a)f(b)0中点小区间2反号中点精度任意一个数预习交流1提示：利用二分法求得的零点也可能是准确值，例如f(x)x21在0,2上的零点；利用二分法求方程在a，b内的近似解时，如果方程的根有多个，那么一次只能求得其中的一个预习交流2提示：(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大(3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值课堂合作探究【问题导学】活动与探究1(1)b(2)1.437 5解析：(1)从图像上可以看出b中的函数值在零点两侧都小于0，所以不能用二分法求函数的零点(2)由于f(1.25)f(1.5)0，所以近似解位于区间1.25,1.5，又f(1.375)f(1.5)0，所以近似解位于区间1.375,1.5，因此下一次计算应取m1.437 5.迁移与应用(1)b(2)a解析：(2)由于f(2)(2)3530，f(1)13560，f(2)f(1)0，所以初始区间可取2,1活动与探究2思路分析：先确定f(x)lg x2x1的零点所在的大致区间，再用二分法求解解：令f(x)lg x2x1，函数f(x)的定义域为(0，)因为函数f(x)在(0，)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点又因为f(1)0.50，f(0.1)0.9330，所以方程在0.1,1内有唯一实数解使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次0.10.933 03310.5第2次0.10.933 0330.550.057 343第3次0.3250.286 4150.550.057 343第4次0.437 50.097 4350.550.057 343第5次0.493 750.016 6700.550.057 343至此，得到区间0.493 75,0.55，其长度0.550.493 750.056 250.1，由于要求的精度为0.1，则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解，不妨取0.5作为方程的近似解迁移与应用解：用二分法逐次计算，列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次111.50.875第2次1.250.296 8751.50.875第3次1.250.296 8751.3750.224 609第4次1.312 50.051 5141.3750.224 609由于区间1.312 5,1.375的长度1.3751.312 50.062 50.1，所以当精度为0.1时，该区间内的每一个数都是函数的近似零点，不妨取1.3作为函数f(x)在1,1.5内的近似零点【当堂检测】1c2b3取区间1,2的中点c.42,2.5解析：令f(x)x32x5，f(2)10，f(2.5)2.53100，所以有根区间是2,2.552.53解析：由于区间2.531 25,2.539 062 5的长度为2.539 062 52.531 250.007 812 50.01，所以精度为0.01时，方程的一个正的近似解是2.53.2实际问题的函数建模课前预习导学【预习导引】1函数2性质整体特征函数表达式实验数据拟合3(1)方法知识预习交流提示：(1)直线模型：一次函数模型ykxb(k0)，其图像增长特点是直线式上升(x的系数k0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型ykx(k0)(2)反比例函数模型：y(k0)型，其增长特点是y随x的增大而减小(3)指数函数模型：yabxc(b0，且b1，a0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b1，a0)，常形象地称为指数爆炸(4)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a1，m0)(5)幂函数模型：yaxnb(a0)，其中最常见的是二次函数模型：yax2bxc(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a0)在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)利用总收益设备租金收入未租出设备费用列出函数关系式；(2)转化为求相应二次函数的最大值解：(1)设每套设备实际月租金为x元(x270元)，则未租出的设备为套，未租出的设备费用为元；租出的设备为套，月租金总额为元所以yx200.1x265x540.(2)由(1)得y0.1x265x5400.1(x325)211 102.5.所以当x325时，y取最大值为11 102.5，即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元迁移与应用解：(1)由题意知，当实际接待量为x人时，空闲率为.故y关于x的函数关系式为ykx(k0)，函数的定义域为0x1 000.(2)当k时，yx(x21 000x)(x500)2250 000(x500)225，当x500时，ymax25.4月份游客日增加量的最大值为25人活动与探究2思路分析：(1)由于在t0,1，t(1，)上的函数模型已知，只须用待定系数法求出相应的k和a的值，即可用分段函数写出yf(t)(2)令f(t)0.25，解出t的范围，进而确定治疗疾病的有效时间解：(1)由函数图像可知，当t0,1时，函数的解析式为ykt(k0)，将m(1,4)代入得k4，所以y4t.又当t(1，)时，函数的解析式为yta，将点(3,1)代入得a3.所以yt3.综上，yf(t)(2)当0t1时，由f(t)4t0.25，得t1；当t1时，由f(t)t30.25，得1t5，因此t5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5(个)小时迁移与应用解：(1)每月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，所以当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减少的，f(x)60 00010040020 00025 000，所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元活动与探究3思路分析：本题属于降低率问题，可建立指数函数模型解决解：(1)由题意知，每经过一年该放射性元素衰减的百分率为20%，所以y50(120%)x，即y500.8x(x0)(2)由题意知500.8x25，即0.8x0.5.则lg 0.8xlg 0.5，所以xlg 0.8lg 0.5，即x3.1.故约经过3.1年，这种放射性元素的质量变为原来的一半迁移与应用解：(1)设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y120%；第2次过滤后，y(120%)(120%)(120%)2；第3次过滤后，y(120%)2(120%)(120%)3；第x次过滤后，y(120%)x.所以y(120%)x0.8x(x1，xn)(2)由(1)得0.8x5%，所以xlog0.80.0513.4.故至少需要过滤14次活动与探究4思路分析：(1)将x8 100代入函数关系式即可；(2)静止即游速为零；(3)由鲑鱼a的游速大于鲑鱼b的游速，可列出不等式，解该不等式即可解：(1)将x8 100代入函数关系式，得ylog38142，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.(2)令y0，得log30，即1，则x100，所以一条鲑鱼静止时耗氧量为100个单位(3)由yayb，得log3log3，即log3xalog3xb，则xaxb，所以鲑鱼a的耗氧量较大迁移与应用解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v