【志鸿全优设计】高中数学 第二章 第5节简单的幂函数目标导学 北师大版必修1.doc

5 简单的幂函数1了解幂函数的概念2理解函数的奇偶性的含义，掌握函数的奇偶性的判断方法及应用1幂函数如果一个函数，_是自变量x，_是常量，即y_，这样的函数称为幂函数根据课程标准的要求，仅要求学习指数1，1,2,3，共5种幂函数的性质【做一做11】 下列函数中是幂函数的是( )ayxx bycy dy【做一做12】 幂函数f(x)的图像过点，则f(x)_.2奇函数一般地，图像关于_对称的函数叫作奇函数 函数f(x)是奇函数 对定义域内任意x，有f(x)f(x) 对定义域内任意x，有f(x)f(x)0 f(x)的图像关于原点对称【做一做2】 设，则使函数yx的定义域为r且为奇函数的所有值为( )a1,3 b1,1c1,3 d1,1,33偶函数一般地，图像关于_对称的函数叫作偶函数 函数f(x)是偶函数 对定义域内任意x，有f(x)f(x) 对定义域内任意x，有f(x)f(x)0 f(x)的图像关于y轴对称【做一做3】 若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a( )a2 b1 c1 d24奇偶性(1)定义：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性(2)几何意义：定义域关于原点对称；图像关于_或_对称函数的奇偶性是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质【做一做4】 下列函数图像中能表示函数具有奇偶性的可能是( )答案：1底数指数x【做一做11】 d根据幂函数的定义易得到答案【做一做12】 x3设幂函数的解析式为f(x)x(为常数)，则2，解得3，即函数的解析式为f(x)x3.2原点【做一做2】 ayx1的定义域不是r，y的定义域不是r，yx1与yx3的定义域是r且为奇函数3y轴【做一做3】 c令yf(x)，取特殊值x1，则f(1)2(1a)；取特殊值x1，则f(1)0.yf(x)为偶函数，f(1)f(1)，即2(1a)0.a1.4(2)原点y轴【做一做4】 b1幂函数yx(是常数)的图像的特点剖析：(1)所有的图形都通过(1,1)点(2)当大于0时，幂函数在(0，)上是增加的，而小于0时，幂函数在(0，)上是减少的(3)当1时，在(0，)上幂函数图像向下凸起，当01时，幂函数图像向上凸起(4)当小于0时，越小，图像倾斜程度越大(5)大于0，函数过(0,0)点；小于0，函数不过(0,0)点2对函数奇偶性定义的理解剖析：(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数所以判断函数的奇偶性，应先看其定义域是否关于原点对称(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质(3)函数f(x)c(c是常数)是偶函数，当c0时，该函数既是奇函数又是偶函数题型一 判断幂函数【例1】 在函数y，y2x2，yx2x中，幂函数的个数为( )a0 b1 c2 d3反思：幂函数的定义要求比较严格，系数为1，底数是x，r为常数形如yax(a1)等都不是幂函数题型二 判断函数的奇偶性【例2】 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).分析：利用函数奇偶性的等价关系来判断反思：(1)判定函数奇偶性一般不用定义判定，而利用等价关系f(x)f(x)(2)判断函数奇偶性分两步：定义域是否关于原点对称；f(x)f(x)还是f(x)f(x)(3)如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数(4)定义域关于原点对称，满足f(x)f(x)，且f(x)f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)0，xr.题型三 函数奇偶性的应用【例3】 若f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式分析：将x0时的解析式转化为x0时的解析式求解反思：若函数f(x)是奇函数，f(0)有意义，则f(0)0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)f(|x|)解决本题的关键是借助于函数的奇偶性，利用x0时的解析式求得x0时的解析式题型四 抽象函数的奇偶性的判断【例4】 若函数f(x)的定义域为r，且对任意x，y，f(x)f(y)f(xy)恒成立，试判断f(x)的奇偶性；又若f(8)4，求f的值分析：因为f(xy)f(x)f(y)对任意x，y恒成立，所以可对x，y取某些特殊值反思：此题给出的函数无具体的解析式称之为抽象函数，要判断其奇偶性，需要充分利用所给定的条件，对变量赋值赋值法，也即特殊值代入法，是解决抽象函数恒成立问题的常用方法题型五 易错辨析易错点 忽略分段函数的整体性致错【例5】 判断函数f(x)的奇偶性错解：f(x)x2x1既不是奇函数也不是偶函数，f(x)x2x1既不是奇函数也不是偶函数，f(x)既不是奇函数也不是偶函数错因分析：错解忽略了分段函数的整体性，把分段函数f(x)看成了两个函数，实际上分段函数是一个函数，需要整体研究答案：【例1】 b根据定义，仅有y是幂函数【例2】 解：(1)函数定义域为r，且f(x)(x)3(x)x3xf(x)，f(x)为奇函数(2)定义域为x|x1或x1，定义域关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数(3)定义域为2,2，任取x2,2，则x2,2f(x)0f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数【例3】 解：f(x)是定义在r上的奇函数，f(x)f(x)当x0时，x0，f(x)x(1x)f(x)x(1x)当x0时，f(0)f(0)，即f(0)f(0)，f(0)0.函数f(x)的解析式为f(x)【例4】 解：令xy0，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0.令yx，则f(x)f(x)f(0)0，f(x)f(x)函数f(x)是奇函数令yx，由f(x)f(y)f(xy)，可得f(2x)2f(x)，由此可得4f(8)2f(4)4f(2)8f(1)16f，f.ff.【例5】 正解：函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于坐标原点对称当x0时，x0，于是f(x)(x)2(x)1x2x1(x2x1)f(x)；当x0时，x0，于是f(x)(x)2(x)1x2x1(x2x1)f(x)当x(，0)(0，)时，f(x)f(x)，故f(x)是奇函数1 (2011黑龙江大庆高一期末)下列所给出的函数中，是幂函数的是( )ayx3 byx3cy2x3 dyx312 函数f(x)的图像关于( )ay轴对称 b直线yx对称c坐标原点对称 d直线yx对称3 幂函数f(x)的图像过，则f(4)等于( )a16 b2 c. d.4 设奇函数yf(x)，x2，a，满足f(2)11，则f(a)_.5 函数yf(x)是偶函数，且在(，0上是增加的，试比较与f(1)的大小答案：1a2c定义域是(，0)(0，)，f(