高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.1 平面向量基本定理课件 新人教B版必修4.ppt

2 2 1平面向量基本定理 一 二 一 平面向量基本定理 问题思考 1 如图 设e1 e2为互相垂直的单位向量 则向量a b可表示为 a e1 3e2b 2e1 4e2c 3e2 e1d 3e1 e2答案 a2 填空 平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量 那么该平面内的任一向量a 存在唯一的一对实数a1 a2 使a a1e1 a2e2 我们把不共线向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 记为 e1 e2 a1e1 a2e2叫做向量a关于基底 e1 e2 的分解式 一 二 3 做一做 如图 已知e1 e2 求作向量4e1 e2 一 二 二 直线的向量参数形式 问题思考 提示 x y 1 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的打 错误的打 1 若e1与e2不共线 则e1 e2可作为平面向量的基底 2 任何向量在基底 e1 e2 下的表示式a a1e1 a2e2是唯一的 3 若a b p三点共线 则m n 1 4 在同一平面内 向量的基底是唯一的 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 对平面向量基本定理的理解 例1 如果e1 e2是平面 内所有向量的一组基底 那么 a 若实数 1 2使 1e1 2e2 0 则 1 2 0b 空间任一向量a可以表示为a 1e1 2e2 这里 1 2是实数c 对实数 1 2 1e1 2e2不一定在平面 内d 对平面 中的任一向量a 使a 1e1 2e2的实数 1 2有无数对解析 基底是该平面内一对不共线向量 向量可以平移 所以不共线的两个向量一定共面 平面内任一向量a 存在唯一实数对 1 2使a 1e1 2e2 但a是空间中任一向量时却未必有这个结论 故b c d均错 应选a 答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1设e1 e2是同一平面内的两个向量 则有 a e1 e2一定平行b e1 e2的模相等c 对同一平面内的任一向量a都有a e1 e2 r d 若e1 e2不共线 则对同一平面内的任一向量a 都有a e1 e2 r 答案 d 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 用基底表示向量 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟用基底来表示向量主要有以下两种类型 1 直接利用基底 结合向量的线性运算 灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解 2 若直接利用基底表示比较困难 则利用 正难则反 的原则 采用方程思想求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 直线的向量参数方程式的应用 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 向量法证明几何问题 例4 如图所示 点m是ab边上的中点 e是cm的中点 ae的延长线交bc于点f mh af 且mh交bc于点h 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟在平面几何中 当选择了适当的基底向量后 平面图形中的相应的边就可用基底向量表示出来 这样就把平面几何问题转化为向量问题 利用向量的共线 模 线性运算等来达到解决平面几何问题的目的 解决这类问题的关键是建立相应的基底向量 充分利用平面图形的性质 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 方程的思想在向量中的应用 典例 如图所示 在 abcd中 ad dc边的中点分别为e f 连接be bf 与ac分别交于r t 求证 ar rt tc 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 方法点睛利用平面向量基本定理证明几何问题时 一般通过构造方程证明 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练用向量证明三角形三条中线交于一点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 已知向量a和b不共线 实数x y满足向量等式 2x y a 4b 5a x 2y b 则x y的值等于 答案 1 1 2 3 4 5 5 已知向量a e1 3e2 2e3 b 4e1 6e2 2e3 c 3e1 12e2 11e3 问a能否表示成a