时间序列分析与建模简介.doc

9 （2004年教案） 辨识与自适应 第五章第五章 时间序列分析与建模简介 时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。引言根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。5 1 ARMA模型分析一、模型类 把具有相关性的观测数据组成的时间序列 xk 视为以正态同分布白噪声序列 ak 为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为 F (z-1) xk = q(z-1) ak 式（5-1-1）其中：F (z-1) = 1- f1 z-1- fn z-n q (z-1) = 1- q1 z-1- qm z-m离散传函式（5-1-2） 为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子即： B xk = xk-1 B即z-1，B2即z-2 F (B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；q(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。二、关于格林函数和时间序列的稳定性1格林函数Gi 格林函数Gi 用以把xt 表示成at 及at 既往值的线性组合。式（5-1-3） GI 可以由下式用长除法求得：例1AR(1): xt - f1x t-1 = a t 即： Gj = f1j （显示）例2ARMA (1,1): xt - f1x t-1 = a t - q1a t G0= 1 ; Gj = (f1- q1) f1j-1 ,j 1 （显示）例3ARMA (2,1) (1 - f1B - f2 B2)x t = (a t - q1 B ) a t得出：G0= 1 G1 = f0G0- q1 G2 = f1G1+ f2G0 . . . . . Gj = f1Gj-1+ f2Gj-2 （j 2）Gj 为满足方程 (1 - f1B - f2 B2) Gj= 0 的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m) 模型。2格林函数与系统稳定性当j 时：Gj 有界，则系统稳定；Gj 衰减，则系统渐进稳定；Gj 发散，则系统不稳定。例： AR(1): Gj = f1j 当 f 1时，Gj 发散，不稳定。例： ARMA (2,1)l1 和 l2和为特征方程的根，有l1 + l2 = f1 和 l1 l2 = f2 当 l1 1 且 l2 1 时，ARMA (2,1) 渐进稳定；当 l1 = 1 且 l2 1 或l1 1 且 l2 = 1时，ARMA (2,1) 稳定； 当 l1 = l2 且 或l1 = l2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA (2, ) 的稳定域如下图所示。ARMA (2,m) 的稳定域三、逆函数与逆稳定性逆函数I j 表示x t的既往值对当前值的影响，与格林函数G j 表示既往的a t值对x t的影响正相反。定义：即：或：a t = ( 1- I 1 B- I 2 B2- ) x t at 格林函数 xt xt 逆函数 at 系统逆稳定的条件是 q(B) 的根 n 1，即意味着过时愈久的xt 的老数据对xt 的现在值影响愈大，这显然是不合理的。5. 自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)5 2 时间序列建模及其应用一、关于吴宪民 and Pandit的建模策略简介ARMA(n,m) 模型,当n 和m 设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.，确定合理的n 、m值。穷举法（最笨的建模策略） ：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。吴宪民 Pandit 建模策略目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：10. 按照ARMA(2n,2n-1) 拟合模型，即当nn+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。20. 检查ARMA(2n,2n-1) 模型的高阶项参数f2n和q2n-1 的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F检验检查。30. 探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设ARMA ( 2n-1, m) ，m 2n 1 ，用F检验确定。补充：关于参数估计误差的置信区间假定参数估计 q 符合正态分布N（0 ，s2）则估计值的置信区间 (95%置信度) 为： q j 1.96 s j参数 q 的估计误差协方差阵为：qj 的置信区间为：j = 1, 2, 二、时间序列建模应用举例例1. 太阳黑子年均数,由1749-1924年共计176个观测数据。拟合ARMA（2，1）模型，F检验ARMA（4，3）较前者没有明显改善。ARMA（2，1）模型估计结果为： 参数估计 95%置信区间 f1 = 1.42 ( 1.26 1.58 ) f2 = - 0.72 ( - 0.86 - 0.58 ) q1= 0.15 ( - 0.07 0.37 )因为q1的值较小，而且置信区间包括零在内，所以进一步实验降为AR（2）模型。估计结果： 参数估计 95%置信区间 f1 = 1.43 ( 1.23 1.45 ) f2 = - 0.65 ( - 0.76 - 0.54 )F检验表明ARMA（2，1）模型较之AR（2）模型并没有明显改善，而且f2 的置信区间不包含零，所以AR（2）模型合适。例2 IBM股票每天值（61.5.1 62.11.2）按照吴宪民Pandit建模策略，得出ARMA（6，5）模型。例3航空公司月销售额（49.1 60.12 ）建模结果- ARMA(13,13)一、 趋势项和季节性1 恒定趋势即总的趋势保持在同一水平，均值 0。引入算子，定义为： =（1 - B） ， 即 xt = xt - xt-1 可以消除恒定趋势。例如IBM股票模型用 xt =（1 - q1B）a t 更为合适。有恒定趋势的模型有一个极点的绝对值接近为1。2 线性趋势总趋势按照线性规律增减，即模型有两个极点的绝对值接近为1的情况。用算子 2 = ( 1 B ) 2 可以消除线性趋势，例如：2 xt =（1 - q1B）a t 3. 多项式趋势有多个极点的绝对值接近于1 , 引入算子 3 = ( 1 B ) 3例如：3 xt =（1 - q1B - q 2 B 2）a t4. 季节性有的时间序列按照一定的周期波动,例如月平均温度是按照12个月的周期波动的，每小时用电量按照24小时的周期变化，称为季节性。为消除季节性的影响，引入算子：s = 1 B s