九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学课件 （新版）新人教版.ppt

21 2 4一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 知识点二 知识点一二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的关系由于二次项系数为 1 的方程可以化简成x2 px q 0的形式 所以当方程有两个根x1 x2时 一定有一次项系数p x1 x2 常数项q x1 x2 名师解读 由x1 x2 p x1 x2 q知 若已知x1 x2 p q这四个量中的任何两个 都能确定另外两个 利用这种关系可以解答相关的问题 知识点一 知识点二 例1 2015 遵义模拟 如果关于x的一元二次方程x2 px q 0的两根分别为x1 2 x2 1 那么p q的值分别是 a 1 2b 1 2c 1 2d 1 2解析 观察可以发现 方程的二次项系数为 1 所以有p 2 1 1 q 2 1 2 答案 b 知识点一 知识点二 解答这类问题 关键是正确掌握二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的关系 当方程的二次项系数不为 1 时 不能使用 知识点一 知识点二 例2已知x1 x2是方程x2 5x 2 0的两个实数根 则的值为 a 31b 29c 25d 17解析 此题若先解方程求得两个根 再代入求值 计算量会很大 但是根据一元二次方程的根与系数的关系 容易求得x1与x2的和与积 如果再把所求的代数式转变成用两根的和与积表示出来的式子 整体代入 求值则比较方便 x1 x2是方程x2 5x 2 0的两个根 x1 x2 5 x1x2 2 答案 a 知识点一 知识点二 解答这类求代数式的值的问题 先利用根与系数的关系分别求出 x1 x2 和 x1x2 的值 然后把所求值的代数式变形转化成含有 x1 x2 和 x1x2 的式子 利用 整体代入 的思想代入求值 知识点一 知识点二 知识点二二次项系数不是 1 的一元二次方程的根与系数的关系任何一个一元二次方程的根与系数的关系为 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数 两个根的积等于常数项与二次项系数的比 用式子表示为这个关系还叫做韦达定理 名师解读 利用这两个关系式可以解答 已知其中的三个量 求另外的两个量的问题 还可以解答求代数式的值的问题 要特别注意等式中的a b c所表示的含义 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 解答这类问题 先求出方程的解再代入代数式求值 计算量会很大 一般先把求值的代数式进行变形 使其变成包含两根的和与两根的积的式子 再利用整体代入的方法求值 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一利用韦达定理由方程的根确定原方程例1已知 满足 5 且 6 则以 为两根的二次项系数为 1 的一元二次方程是 a x2 5x 6 0b x2 5x 6 0c x2 5x 6 0d x2 5x 6 0解析 以 为两根的一元二次方程的两根是 且 满足 5 6 所以这个方程的系数应满足两根之和是 两根之积是 当二次项系数a 1时 一次项系数b 5 常数项c 6 所以方程为x2 5x 6 0 答案 b 拓展点一 拓展点二 拓展点三 满足 5 且 6 则以 为两根的一元二次方程有无数多个 形式为a x x 0 a 0 只要二次项系数a改变 方程就会随着改变 但是此题可以利用排除法解答 也可以通过解各个方程找到正确答案 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二已知方程的一根 利用根与系数的关系求另一根或字母的值例2 2015 北京校级模拟 方程4x2 kx 6 0的一个根是2 那么k的值和方程的另一个根分别是 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题时 两种方法都能解决问题 根据问题的实际情况灵活选取 只要计算简便即可 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三根与系数的关系与判别式的综合运用例3已知x1 x2是关于x的一元二次方程x2 2 k 1 x k2 3 0的两实根 且 x1 1 x2 1 8 求k的值 分析 根据一元二次方程的根与系数的关系知x1 x2 2 k 1 x1x2 k2 3 代入 x1 1 x2 1 8 即x1x2 x1 x2 1 8即可得到关于k的方程 可求出k的值 再根据 与0的关系舍去不合理的k值 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 依题意可知 x1 x2 2 k 1 2k 2 x1x2 k2 3 由 x1 1 x2 1 8得x1x2 x1 x2 1 8 得k2 3 2k 2 1 8 即k2 2k 8 0 解得k1 2 k2 4 而 2 k 1 2 4 k2 3 0 所以k 2 所以k 2 拓展点一