山东省淄博市高青县高二数学期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省淄博市高青县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1准线为x=2的抛物线的标准方程为（）ay2=8xby2=8xcx2=8ydx2=8y2设xr，则xe的一个必要不充分条件是（）ax1bx1cx3dx33不等式ax2+bx20的解集为，则实数a，b的值为（）aa=8，b=10ba=1，b=9ca=4，b=9da=1，b=24首项a10的等差数列an的前n项和为sn，若s5=s12，则sn取得最大值时n的值为（）a7b8或9c8d105椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）abc或d或6在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，e为pd中点，若，则=（）a；bcd7等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）a12b10c8d2+log358下列命题为真命题的是（）a已知x，yr，则是的充要条件b对空间任意一点o与不共线的三点a，b，c，若（其中x，y，zr），则p，a，b，c四点共面ca，br，dxr，sinx+cosx=9在abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）aa=cbb=cc2a=cda2+b2=c210已知双曲线c的方程为=1（a，b0），其离心率为e，直线l与双曲线c交于a、b两点，线段ab中点m在第一象限，并且在抛物线y2=2px（p0）上，且m到抛物线焦点距离为p，则直线l的斜率为（）abe 21cde 2+1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“xn，x2x”的否定是12在abc中，若bc=3，a=，ac=，则c的大小为13设平面区域d是由双曲线y2=1的两条渐近线和抛物线y2=8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）若点（x，y）d，则目标函数z=x+y的最大值与最小值之和为14把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a，b，c，d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为15以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）设a，b为两点定点，k为非零常数，|=k，则动点p的轨迹为双曲线；过定圆c上一定点a作圆的动弦ab，o为坐标原点，若则动点p的轨迹为椭圆；双曲线与椭圆=1有相同的焦点；若方程2x25x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0a3；在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线三、解答题（共6小题，满分75分）16已知命题p：x0r，使得成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+）上为减函数；（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围17在abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（）若，b=60，求a，b，c的值；（）求角b的取值范围18已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，点p在此椭圆上，且pf1f1f2，|pf1|=，|pf2|=（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x2y=0的圆心m且交椭圆于a，b两点，且a，b关于点m对称，求直线l的方程19数列an满足a1=1且8an+1an16an+1+2an+5=0（n1）记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和sn20如图，矩形abcd所在的半平面和直角梯形cdef所在的半平面成60的二面角，decf，cdde，ad=2，cf=6，cfe=45（）求证：bf平面ade；（）在线段cf上求一点g，使锐二面角begd的余弦值为21如图，动点m到两定点a（1，0）、b（2，0）构成mab，且mba=2mab，设动点m的轨迹为c（）求轨迹c的方程；（）设直线y=2x+m与y轴交于点p，与轨迹c相交于点q、r，且|pq|pr|，求的取值范围2015-2016学年山东省淄博市高青县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1准线为x=2的抛物线的标准方程为（）ay2=8xby2=8xcx2=8ydx2=8y【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案【解答】解：由题意可知： =2，p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x故选：b【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力属基础题2设xr，则xe的一个必要不充分条件是（）ax1bx1cx3dx3【考点】必要条件【专题】规律型【分析】根据必要不充分的定义即可得到结论【解答】解：当x1时，满足条件x1是xe的既不必要也不充分条件x3是xe的充分不必要条件x3是xe的既不必要也不充分条件故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用定义是解决本题的关键，比较基础3不等式ax2+bx20的解集为，则实数a，b的值为（）aa=8，b=10ba=1，b=9ca=4，b=9da=1，b=2【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由不等式ax2+bx20的解集为，可得解出即可【解答】解：不等式ax2+bx20的解集为，解得a=4，b=9故选：c【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题4首项a10的等差数列an的前n项和为sn，若s5=s12，则sn取得最大值时n的值为（）a7b8或9c8d10【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出a1=8d，再结合题设条件推导出sn=，由此利用二次函数的对称性能求出结果【解答】解：首项a10的等差数列an的前n项和为sn，s5=s12，解得a1=8d，a10，d0，=，d0，sn是一个关于n的开口向下的抛物线，s5=s12，由二次函数的对称性知：当，即n=8或n=9时，sn取得最大值故选b【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，解题时要注意二次函数性质的合理运用，是中档题5椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）abc或d或【考点】椭圆的简单性质【专题】分类讨论；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得tan30=，或tan60=，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60角的菱形的四个顶点，则tan30=，或tan60=，当=时，即b=c，即有a=2c，由e=；当=时，即b=c，即有a=c，由e=可得离心率为或故选：c【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键6在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，e为pd中点，若，则=（）a；bcd【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题；数形结合【分析】根据底面abcd是正方形，e为pd中点，向量加法的平行四边形法则得到=，而=，即可求得的结果【解答】解： =故选c【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想7等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）a12b10c8d2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质【专题】计算题【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选b【点评】本题主要考查了等比数列的性质解题的关键是灵活利用了等比中项的性质8下列命题为真命题的是（）a已知x，yr，则是的充要条件b对空间任意一点o与不共线的三点a，b，c，若（其中x，y，zr），则p，a，b，c四点共面ca，br，dxr，sinx+cosx=【考点】命题的真假判断与应用【专题】整体思想；定义法；简易逻辑【分析】a利用充分条件和必要条件的定义进行判断b利用空间向量的共面的条件进行判断c根据基本不等式成立的条件进行判断d根据三角函数的有界性进行判断【解答】解：a当x=4，y=1，满足，但不成立，即不是的充要条件，故a错误，b若对空间任意一点o与不共线的三点a，b，c，若（其中x，y，zr），只有当x+y+z=1时，p，a，b，c四点共面，否则不成立，故b错误，c当a，b0时，不成立，故c错误，dsinx+cosx=sin（x+），xr，sinx+cosx=，故d正确，故选：d【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，基本不等式以及三角函数的真假判断，知识点较多，综合性较强，但难度不大9在abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）aa=cbb=cc2a=cda2+b2=c2【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosa，将已知第一个等式代入求出cosa的值，确定出a度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinb的值，确定出b的度数，进而求出c的度数，确定出三角形abc形状，即可做出判断【解答】解：b2+c2a2=bc，cosa=，a=30，由正弦定理化简b=a，得到sinb=sina=，b=60或120，当b=60时，c=90，此时abc为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当b=120时，c=30，此时abc为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：b【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键10已知双曲线c的方程为=1（a，b0），其离心率为e，直线l与双曲线c交于a、b两点，线段ab中点m在第一象限，并且在抛物线y2=2px（p0）上，且m到抛物线焦点距离为p，则直线l的斜率为（）abe 21cde 2+1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义，确定m的坐标，利用点差法将线段ab中点m的坐标代入，化简整理由离心率公式即可求得结论【解答】解：m在抛物线y2=2px（p0）上，且m到抛物线焦点的距离为p，则有抛物线的定义可得，xm+=p，m的横坐标为，m（，p），设a（x1，y1），b（x2，y2），即有x1+x2=p，y1+y2=2p，则=1，=1，两式相减，并将线段ab中点m的坐标代入，可得=0，直线l的斜率为=故选a【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“xn，x2x”的否定是xn，x2=x【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，命题的否定是：xn，x2=x故答案为：xn，x2=x【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础12在abc中，若bc=3，a=，ac=，则c的大小为【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形【分析】由已知及正弦定理可得sinb=，由大边对大角可得0b，即可解得b的值，利用三角形内角和定理即可求c的值【解答】解：bc=3，a=，ac=，由正弦定理可得：sinb=，acbc，由大边对大角可得：0b，b=，c=ab=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，求b的值是解题的关键，属于中档题13设平面区域d是由双曲线y2=1的两条渐近线和抛物线y2=8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）若点（x，y）d，则目标函数z=x+y的最大值与最小值之和为3【考点】简单线性规划；双曲线的简单性质【专题】不等式的解法及应用【分析】求出双曲线的渐进性，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：双曲线y2=1的两条渐近线方程为y=，抛物线y2=8x的准线准线方程为x=2，则对应的平面区域如图：由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由平移可知当直线y=x+z经过点o时，直线y=x+z的截距最小，此时z=0，当y=x+z经过点a（2，1）时，直线y=x+z的截距最大，此时z=x+y=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值与最小值之和为0+3=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，求出双曲线的渐近线方程以及抛物线的准线方程是解决本题的关键14把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a，b，c，d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为【考点】直线与平面所成的角【专题】空间角【分析】当平面bac平面dac时，三棱锥体积最大，由此能求出结果【解答】解：如图，当平面bac平面dac时，三棱锥体积最大取ac的中点e，则be平面dac，故直线bd和平面abc所成的角为dbecosdbe=，dbe=故答案为：【点评】本题考查直线与平面所成角的最大值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养15以下几个命题中：其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）设a，b为两点定点，k为非零常数，|=k，则动点p的轨迹为双曲线；过定圆c上一定点a作圆的动弦ab，o为坐标原点，若则动点p的轨迹为椭圆；双曲线与椭圆=1有相同的焦点；若方程2x25x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0a3；在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线【考点】曲线与方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的定义知不正确；设出定圆的方程，利用代入法分析可知ab中点p的轨迹为圆（除去a点）；求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，即可判定；双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1大于0，即可判定；说明点（2，1）在直线3x+4y10=0上，不满足抛物线的定义【解答】解：平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数k（k|f1f2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0k|ab|时是双曲线的一支，当k=|ab|时，表示射线，不正确；，设定圆c的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，点a（m，n），p（x，y），由可知p为ab的中点，则b（2xm，2yn），因为ab为圆的动弦，所以b在已知圆上，把b的坐标代入圆x2+y2+dx+ey+f=0得到p的轨迹仍为圆，当b与a重合时ab不是弦，所以点a除外，所以不正确；双曲线与椭圆的焦点都是（，0），有相同的焦点，正确；正确方程2x25x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则，0a3，正确；在平面内，点（2，1）在直线3x+4y10=0上，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线，不正确故答案为：【点评】本题通过命题真假的判定，考查椭圆、双曲线抛物线的定义、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目三、解答题（共6小题，满分75分）16已知命题p：x0r，使得成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+）上为减函数；（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断【解答】解：（1）命题p：x0r，使得成立p：xr，ax22x10成立a0时 ax22x10不恒成立由得a1（2）命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+）上为减函数命题q为真，实数a的取值范围是：0a1命题“p或q”为真，且“p且q”为假，命题p、q一真一假当p真q假时，则，得实数a的取值范围，1a0或a1当p假q真时，则，实数a的取值范围：无解实数a的取值范围是1a0或a1【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目17在abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（）若，b=60，求a，b，c的值；（）求角b的取值范围【考点】等比数列的性质；余弦定理【专题】综合题；等差数列与等比数列；解三角形【分析】（）利用等比数列的性质，可得b2=ac，再结合余弦定理，即可求a，b，c的值；（）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求角b的取值范围【解答】解：（）a，b，c成等比数列，b2=ac（2分）b=60（4分）联立方程组，解得（6分）（）（8分）a2+c22ac，（10分）0b60（12分）【点评】本题考查等比数列的性质，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键18已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，点p在此椭圆上，且pf1f1f2，|pf1|=，|pf2|=（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x2y=0的圆心m且交椭圆于a，b两点，且a，b关于点m对称，求直线l的方程【考点】椭圆的应用【专题】综合题；压轴题【分析】解：（）由题意可知2a=|pf1|+|pf2|=6，a=3，由此可求出椭圆c的方程（）解法一：设a，b的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆c的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k27=0因为a，b关于点m对称所以解得，由此可求出直线l的方程（）解法二：设a，b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由题意x1x2且，由得因为a、b关于点m对称，所以x1+x2=4，y1+y2=2，代入得直线l的斜率为，由此可求出直线l的方程【解答】解：（）因为点p在椭圆c上，所以2a=|pf1|+|pf2|=6，a=3在rtpf1f2中，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2c2=4，所以椭圆c的方程为=1（）解法一：设a，b的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）已知圆的方程为（x+2）2+（y1）2=5，所以圆心m的坐标为（2，1）从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆c的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k27=0因为a，b关于点m对称所以解得，所以直线l的方程为，即8x9y+25=0（经检验，所求直线方程符合题意）（）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y1）2=5，所以圆心m的坐标为（2，1）设a，b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由题意x1x2且，由得因为a、b关于点m对称，所以x1+x2=4，y1+y2=2，代入得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1=（x+2），即8x9y+25=0（经检验，所求直线方程符合题意）【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误19数列an满足a1=1且8an+1an16an+1+2an+5=0（n1）记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；压轴题【分析】（法一）（i）由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入求b1，b2，b3，b4（ii）先由（i）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列为等比数列，进而可求bn，结合，从而猜想得以证明，代入求出anbn，进而求出前n和sn（法二）（i）代入递推公式可得，代入可求b1，b2，b3，b4（ii）利用（i）中的递推关系个构造数列为等比数列，从而可求bn，sn（法三）（i）同法一（ii）先由（i）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列bn+1bn为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn，进一步求sn【解答】解：法一：（i）a1=1，故；，故；，故；，故（ii）因，故猜想是首项为，公比q=2的等比数列因an2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故因，故确是公比为q=2的等比数列因，故，由得，故sn=a1b1+a2b2+anbn=法二：（）由得，代入递推关系8an+1an16an+1+2an+5=0，整理得，即，由a1=1，有b1=2，所以（）由，所以是首项为，公比q=2的等比数列，故，即由，得，故sn=a1b1+a2b2+anbn=法三：（）同解法一（）猜想bn+1bn是首项为，公比q=2的等比数列，又因an2，故因此=；=因是公比q=2的等比数列，从而bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=由得，故sn=a1b1+a2b2+anbn=【点评】本题考查了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考查了考生的推理运算能力20如图，矩形abcd所在的半平面和直角梯形cdef所在的半平面成60的二面角，decf，cdde，ad=2，cf=6，cfe=45（）求证：bf平面ade；（）在线段cf上求一点g，使锐二面角begd的余弦值为【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）利用平面与平面平行的判定定理证明平面bcf平面ade，从而得到bf平面ade（2）利用直线与平面，平面与平面垂直的判定定理证明平面cdef平面ade，根据平面与平面垂直的性质定理可知，作aode于o，则ao平面cdef建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，利用平面法向量以及锐二面角begd的余弦值确定g点的坐标，从而确定点g的位置【解答】证明：（）在矩形abcd中bcad，ad平面adebc平面ade，bc平面ade，同理cf平面ade，又bccf=c，平面bcf平面ade，而bf平面bc