【志鸿全优设计】高中数学 第二章 简单的幂函数讲解与例题 北师大版必修1.doc

5简单的幂函数1幂函数的概念如果一个函数的底数是自变量x，指数为常量，即yx，这样的函数称为幂函数例如yx2，yx等都是幂函数谈重点 幂函数的形式特征(1)幂x的系数是1；(2)幂的底数为自变量x而不是x的其他代数式，如2x或x1等；(3)幂的指数位置的数是常数，指数确定则幂函数确定对于形如y(3x)，y2x，yx5等形式的函数都不是幂函数【例11】下列函数是幂函数的为()；y2x2；yx2x；y(x2)3；y1.abc d解析：函数可写成yx2的形式，是幂函数；y2x2的系数不是1，yx2x等式右边是两个幂和的形式，y(x2)3底数不是自变量x，y1与yx0(x0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数答案：c解技巧 幂函数的本质特征幂函数yx(r)的本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数(也可以为0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准【例12】若函数y(a23a3)x2为幂函数，则a的值为_解析：根据幂函数的定义，若函数y(a23a3)x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a23a31，所以a23a40，解得a1或a4.答案：1或42几个常见幂函数的图像特征及性质根据课程标准的要求，在中学阶段我们只关注yx，yx2，yx3，和yx1这5个幂函数下面，在同一平面直角坐标系内作出它们的图像，并观察其图像特征从上面的5个幂函数的图像，可以看出：(1)幂指数1,1,3时，对应幂函数的图像分布于第一、三象限，且都关于原点对称(2)幂指数2时，对应幂函数的图像分布于第一、二象限，它关于y轴对称(3)幂指数时，对应幂函数的图像只分布于第一象限(4)在第一象限内，图像都过点(1,1)；当幂指数，1,2,3时，对应的幂函数图像从左向右呈上升趋势，且在(1，)上，的值越大，图像越靠上；当幂指数1时，对应的幂函数图像从左向右呈下降趋势析规律 幂函数的性质一般地，幂函数yx有以下性质：当0时：图像都通过点(0,0)，(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而增大；在第一象限内，1时，图像是向下凸的；01时，图像是向上凸的；在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展，而且的值越大，图像越靠上当0时：图像都通过点(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像是向下凸的；在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；在第一象限内，过(1,1)点后，|越大，图像下落的速度越快当为奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称【例21】幂函数yx中的取值集合c是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合c为()a bc d解析：根据幂函数yx1，yx0，yx，yx2，yx3的图像和解析式可知，当1，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同答案：c【例22】下列函数在(，0)上为减函数的是()a byx2cyx3 dyx2解析：对于函数和yx2的单调性我们不太熟悉，但对于yx2的图像和性质我们记忆深刻，知道yx2在(，0)上为减函数故选b.答案：b【例23】图中的曲线是四个幂函数在第一象限内的图像，记曲线c1，c2，c3，c4.对应幂函数的幂指数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小顺序正确的一组是()aabcd bcdabcabdc dcdba解析：因为在第一象限内，曲线c1，c2的函数值随x的增大而增大，所以a0，b0；又因为c1的图像是下凸的，c2的图像是上凸的，所以a1,0b1.因为曲线c3，c4的函数值随x的增大而减小，所以c0，d0；又因为当指数为负时，过(1,1)点后，|a|越大，图像下落的越快，所以dc.故a，b，c，d的大小顺序为abcd.答案：a析规律 幂函数的图像变化规律在第一象限内，幂函数yx的过(1,1)点后的图像越靠上，幂指数越大；图像越靠下，幂指数越小【例24】比较下列各数的大小：(1)1.10.9与0.90.9；(2)2.52与2.42.分析：两个幂比较大小，若两个幂指数相同，则构造幂函数，利用幂函数的单调性比较幂的大小对于幂函数yx，当0时，在区间(0，)上是增函数；当0时，在区间(0，)上是减函数解：(1)考察幂函数yx0.9，由于该函数在(0，)上是增函数，且1.10.9，所以1.10.90.90.9.(2)考虑幂函数yx2，由于该函数在(0，)上是减函数，又2.52.4，所以2.522.42.3幂函数解析式的确定幂函数yx的解析式比较简单，仅含有一个参数，因此，指数确定则幂函数确定常见的求幂函数解析式的题型有：(1)已知幂函数图像上一个点的坐标，求其解析式这时，常用待定系数法，先设幂函数的解析式为yx，再把已知点的坐标代入，得到关于参数的一个指数方程，然后解方程求出，从而确定幂函数的解析式(2)已知一个含有参数的幂函数解析式和此函数的一个性质，求其解析式这时常常结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征来确定参数的值【例31】已知函数f(x)为幂函数，并且过(2，)点，则f(x)_.解析：函数f(x)为幂函数，可设其解析式为f(x)x.f(x)的图像过(2，)点，f(2)，即2，.故f(x).答案：【例32】已知幂函数，当x(0，)时为减函数，则m的值为()am2bm1cm1，或m2d解析：因为函数是幂函数，所以，根据幂函数的定义可得，m2m11，即m2m20，解得m1，或m2.又因为当x(0，)时幂函数为减函数，所以，根据幂函数的性质可知，m22m30，把m1,2依次代入不等式，经检验m1不符合不等式，故只有m2.此时幂函数解析式为yx3.答案：a4幂函数的单调性证明我们常用函数单调性的定义证明幂函数的单调性，其基本步骤为：取值作差变形定号判断在比较两个函数值的大小时，除了用作差法外，结合幂函数的特点亦可采用作商法，即任取x1，x2d，且x1x2，作商，当此值大于1时为增函数，当此值小于1时为减函数(此时f(x1)0)【例4】证明函数f(x)在0，)上是增函数证明：(方法1)任取x1，x20，)，且x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)由函数单调性的定义可知，f(x)在0，)上是增函数(方法2)任取x1，x20，)，且x1x2，则1，且f(x2)0，即f(x1)f(x2)，由函数单调性的定义可知，f(x)在0，)上是增函数5函数奇偶性的概念及图像特征一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数在奇函数f(x)中，f(x)和f(x)的绝对值相等，符号相反，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数在偶函数f(x)中，f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性谈重点 奇函数、偶函数定义的理解(1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称因为若x属于f(x)的定义域，x也必须属于f(x)的定义域，这样才能保证函数图像关于原点对称或关于y轴对称所以，定义域无此特征的函数一定既不是奇函数也不是偶函数(2)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，f(x)f(x)与f(x)f(x)应对定义域内的每一个x都成立(3)若函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)f(x)与f(x)f(x)同时成立，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数如函数f(x)0，x1,1既是奇函数又是偶函数(4)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)0.因为f(x)为奇函数时，对于定义域内的任意x，有f(x)f(x)成立，从而有f(0)f(0)，故f(0)0，这是奇函数的一条非常重要的性质，在做题时要引起重视(5)在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少工作量【例51】下面四个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定过原点；偶函数的图像一定关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是y0(xr)其中正确的个数是()a1 b2c3 d4解析：可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数yx0，yx2都是偶函数，但它们的图像不与y轴相交，故错误，正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如yx1，故错误；若函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)0，但未必xr，如x(1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故错误所以，四个结论中只有正确，故选a.答案：a【例52】已知函数f(x)(xr)是偶函数，则下列各点中必在函数yf(x)图像上的是()a(a，f(a)b(a，f(a)c(a，f(a)d(a，f(a)解析：因为函数f(x)(xr)是偶函数，所以，若点(a，f(a)在函数yf(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a)关于y轴的对称点(a，f(a)必在函数图像上答案：a6判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法主要有定义法和图像法利用定义判断函数yf(x)奇偶性的步骤是：(1)首先考查函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点对称，再进行第二步；若不关于原点对称，则说明函数是非奇非偶函数(2)验证f(x)与f(x)的关系若f(x)f(x)，则函数为奇函数；若f(x)f(x)，则函数为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数既不是奇函数，也不是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数也可利用函数的图像特征来判断函数的奇偶性，即函数图像关于原点对称，则为奇函数；函数图像关于y轴对称，则为偶函数；函数图像关于原点和y轴均对称，则既是奇函数也是偶函数；函数图像关于原点和y轴均不对称，则既不是奇函数也不是偶函数【例61】下列函数中是偶函数的是()ay2|x|1，x1,2byx2xcyx3dyx2，x1,0)(0,1解析：在a中，因为函数y2|x|1的定义域1,2不关于原点对称，故不是偶函数；在b中，函数yx2x的定义域为r，f(x)(x)2(x)x2xf(x)，不是偶函数；在c中，函数yx3的定义域为r，f(x)(x)3x3f(x)，此函数是奇函数；在d中，函数yx2的定义域1,0)(0,1关于原点对称，且f(x)(x)2x2f(x)，故此函数是偶函数答案：d【例62】下图是根据yf(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的_(把正确图像的序号都填上)解析：观察四个图像可以看出，只有图(3)关于y轴对称，其相应的函数是偶函数答案：(3)7利用函数的奇偶性求值或比较大小利用函数的奇偶性可以求函数值或代数式的值，也可以比较两个函数值的大小例如，如图，给出奇函数yf(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值根据奇函数的定义，函数yf(x)的y轴左侧图像上的任意一点关于原点的对称点必在函数图像上，由此可将图像补充如下：由图像可知f(3)2.该题也可用奇函数的定义来解由图像可得，f(3)2.根据奇函数定义，得f(3)f(3)，所以，f(3)f(3)2.【例71】函数f(x)xa21是定义在区间(a2,2a3)上的奇函数，则a2 013的值为_解析：因为函数f(x)xa21是定义在区间(a2,2a3)上的奇函数，所以，其定义域应关于原点对称，故(a2)(2a3)0，即a22a30，解得a1或a3.又因为函数f(x)在x0处有意义，所以f(0)0，即a210，所以a1或a1.综上可知a1，因而a2 013(1)2 0131.答案：1【例72】定义在r上的偶函数f(x)在x0上是增函数，则()af(3)f(4)f() bf()f(4)f(3)cf(3)f()f(4) df(4)f()f(3)解析：f(x)在实数集r上是偶函数，f()f()，f(4)f(4)而34，且f(x)在(0，)上是增函数，f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(4)答案：c【例73】已知函数yf(x)是定义在r上的奇函数，且f(2x)f(2x)，则f(4)()a4b2c0d不确定解析：因为函数yf(x)是定义在r上的奇函数，所以f(0)0.当x2时，由f(2x)f(2x)得f(4)f(0)0.答案：c8利用函数的奇偶性求函数的解析式定义域关于原点对称的函数，若已知它一侧的解析式，可利用它的奇偶性求出另一侧的解析式求解方法是：求谁设谁，然后转化到已知的区间上，再利用函数的奇偶性解出要求的f(x)【例8】已知函数是定义在r上的偶函数，且x0时，f(x)x1，则f(x)的解析式为_解析：设x0，则x0.当x0时，f(x)x1，f(x)(x)1x1.函数f(x)是定义在r上的偶函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)x1.f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)9利用函数的奇偶性判断函数的单调性函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质根据奇偶函数的图像特征，可以发现，奇函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像也上升；偶函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像则下降利用这一性质，我们可以判断函数的单调性例如：下图是偶函数f(x)的一部分图像，则该函数的单调递增区间是_因为函数是偶函数，所以其图像一定关于y轴对称，据此可画出函数f(x)左侧的图像，如下图，观察图像可得该函数的单调递增区间是(4，2)，(0,2)，(4，)也就是说，偶函数在y轴右侧的单调递减区间关于原点的对称区间，就是函数在y轴左侧的单调递增区间根据这一结论，不补充图像也可写出该函数的所有单调递增区间【例9】已知yf(x)是奇函数，它在(0，)上是增函数，且f(x)0，试问f(x)在(，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论分析：根据函数奇偶性与单调性的关系可知，f(x)在(，0)上是增函数，故f(x)在(，0)上是减函数，要证明此函数的单调性，根据函数的增减性的定义，可以任取x1x20，进而判定f(x1)f(x2)的正负为此，需分别判定f(x1)，f(x2)与f(x2)f(x1)的正负，而这可以从已知条件中推出解：函数f(x)在(，0)上是减函数，下面进行证明：任取x1，x2(，0)，且x1x2，则有x1x20.yf(x)在(0，)上是增函数，且f(x)0，f(x2)f(x1)0.又f(x)是奇函数，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1)由得f(x2)f(x1)0.于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在(，0)上是减函数解技巧 抽象函数单调性的证明1本例为抽象函数问题，证明函数单调性的主要方法是定义法，证明时，应在(，0)内任取x1，x2，且令x1x2，并通过考察其相反数x1x20，充分利用已知条件有针对性地进行证明2本题最容易发生的错误是受已知条件的影响，一开始就在(0，)内任取x1x2展开证明这样就不能保证x1，x2在(，0)内的任意性而导致错误10利用函数的奇偶性和单调性解抽象函数不等式例如：设f(x)在r上是偶函数，在区间(，0)上递增，且有f(2a2a1)f(3a22a1)，求a的取值范围要求a的取值范围，就要列关于a的不等式(组)，因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键由f(x)在r上是偶函数，在区间(，0)上递增知，f(x)在(0，)上递减2a2a1220，3a22a1320，且f(2a2a1)f(3a22a1)，2a2a13a22a1，即a23a0.解得0a3.故a的取值范围是(0,3)【例10】若函数f(x)是定义在r上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是()a(，2) b(2，)c(2,2) d(，2)(2，)解析：由于函数f(x)是定义在r上的偶函数，所以它的图像关于y轴对称又它在(，0上是减函数，所以可知该函数在(0，)上为增函数根据这些特征及f(2)0，可作出它的图像(如下图)，观察图像可得，使f(x)0成立的x的取值范围是(，2)(2，)答案：d析规律 抽象函数不等式的解法求解抽象函数不等式，一般是借助于函数的图像，利用函数的性质(奇偶性、单调性等)，等价转化不等式，得出不等式的解集11分段函数奇偶性的判断方法判断分段函数的奇偶性时，往往不知如何下手，突破方法是理解分段函数与函数奇偶性的含义，利用定义法判断分段函数的奇偶性其判断方法是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(x)的关系这里要特别注意x与x的范围，将它代入相应段的函数表达式中，不能混代虽然f(x)与f(x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较即可有些时候，可以先画出分段函数的图像，再借助对称性来判断奇偶性【例11】判断函数f(x)的奇偶性解：函数f(x)的定义域是(，0(0，)r，其关于原点对称当x0时，有f(x)x(x1)，x0，f(x)(x)(x1)x(x1)f(x)；当x0时，有f(x)x(x1)，x0，f(x)f(x)(x1)x(x1)f(x)；当x0时，f(0)0，f(0)0f(0)，综上可得，对xr，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)是奇函数谈重点 分段函数奇偶性的判断1分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用2判断分段函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称12抽象函数奇偶性的判断方法没有给出函数f(x)的解析式，仅给出了