拉氏变换是研究线性定常连续系统的基本数学工具.pdf

6 36 3 z变换 变换 拉氏变换是研究线性定常连续系统的基本数学工具 而变换则是研究线性定常离散系 统的基本数学工具 z变换是在离散信号拉氏变换基础上 经过变量代换引申出来的一种变 换方法 z 6 3 1 z变换定义 对式 6 2 进行拉氏变换 有 00 nsT nn EsL e te nT LtnTe nT e 6 15 式中 是的超越函数 直接运算不方便 为此引入变量 Ts e s Ts ze 6 16 式中 T 为采样周期 将式 6 16 代入式 6 15 就得到以 z 为自变量的函数 0 ln 1 n n z T s znTesEzE 6 17 定义 E z为采样信号的变换 tez z变换定义式 6 17 有明确的物理意义 即变量的系数代表连续时间函数在 采样时刻上的采样值 有时也将记为 n z e t nT zE sEZteZteZzE 6 18 这些都表示对离散信号的变换 tez 6 3 2 z变换方法 常用的变换方法有级数求和法 部分分式法和留数法 z 1 级数求和法 根据变换的定义 将连续信号按周期T进行采样 将采样点处的值代入式 6 17 可得的级数展开式 z te zE LL n znTezTezTeezE 2 0 21 这种级数展开式是开放式的 若不能写成闭合形式 实际应用就不太方便 例 6 1 对连续时间函数 0 0 0 t ta te t 按周期进行采样 可得 1 T 242 则无穷级数是收敛的 利用等比级数求和公式 可得其闭合形式为 1 1 1 n z E zZ aza azza 2 部分分式法 查表法 已知连续信号的拉氏变换 将展开成部分分式之和 即 te sE sE 21 sEsEsEsE n L 且每一个部分分式 都是变换表中所对应的标准函数 其变换即 可查表得出 nisEiL 2 1 zz 21 zEzEzEzE n L 例 6 2 已知连续函数的拉氏变换为 1 2 2 ss s sE 试求相应的变换 z zE 解 将展成部分分式 得 sE 1 112 2 ss s sE 对上式逐项查变换表 可得 z 1 12 1 12 1 1 2 2 2 2 T TT T ezz zTezeT ez z z z z Tz zE 常用函数的变换表见附录中的附表 A 2 由该表可见 这些函数的变换都是的有 理分式 zzz 3 留数法 反演积分法 若已知连续信号的拉氏变换 e t E s和它的全部极点 i s1 2 Lil 可用下列留 数计算公式求的采样序列的 变换 e t e tz Ez 243 1 Res i l Ts i ss z E zE s ze 6 19 若为单极点时 则有 i s Res lim i i i TsTs ss ss zz E sss E s zeze 6 20 若为重极点时 则 i sm 1 1 1 Res lim 1 i i m m i TsmTs ss ss zd E sssE s z zemdsz e 6 21 例 6 3 已知 2 23 1 2 ss E s ss 试求相应的变换 z zE 解 的极点为 二重极点 sE 1 2 1s 3 2s 则 2 1 2 2 12 1 2 2 22 1d 23 lim 1 2 1 d 1 2 23 lim 2 1 2 2 Ts s Ts s T TT ssz E zs sssz ssz s ssze Tze z zeze e 6 3 3 z变换基本定理 应用变换的基本定理 可以使变换的应用变得简单方便 下面介绍常用的变换定 理 zzz 1 线性定理 若 teZzE 11 22 teZzE b为常数 则 a zbEzaEtbetaeZ 2121 6 22 证明 由变换定义 有 z 21 0 2 0 1 0 2121 zbEzaE znTebznTea znTbenTaetbetaeZ n n n n n n 式 6 22 表明 变换是一种线性变换 其变换过程满足齐次性与均匀性 z 2 实数位移定理 244 实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期 其中向左平移 为超前 向右平移 nTe kTnTe kTnTe 为滞后 实数位移定理表示如下 如果函数是可 z 变换的 其变换为 则有滞后定理 tez zE k Z e tkTzE z 6 23 以及超前定理 1 0 k n nk znTezEzkTteZ 6 24 其中为正整数 k 证明式 6 23 由变换定义可知 z 0 0 n knk n n zTknezzkTnTekTteZ 令 则有 knm km mk zmTezkTteZ 由于变换的单边性 当时 有z0 m0 mTe 所以上式可写为 0 m mk zmTezkTteZ 再令 式 6 23 得证 nm 证明 6 24 式 由变换定义可知 z 0 0 n knk n n zkTnTezzkTnTekTteZ 令 则有 knm 1 00 k m mk m mk km mk zmTezzmTezzmTezkTteZ 再令 可以得到 nm 1 0 1 00 k n nk k n nk n nk znTezEz znTezznTezkTteZ 式 6 24 得证 由位移定理可见 算子有明确的物理意义 代表时域中的延迟算子 它将采样信 号滞后个采样周期 z k z k 实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理 应用实数位移定理 可将描 245 述离散系统的差分方程转换为域的代数方程 z 例 6 4 试用实数位移定理计算滞后函数的变换 3 5 Tt z 解 由式 6 23 可知 4 523 4 23 5 3 5353 1 14 1 6 14 6 3 3 5 z zzzT z zzT z t ZztZzTtZ 3 复数位移定理 如果函数是可变换的 其变换为 则有 tezz zE bTbt zaEteaZ m 6 25 证明 由变换定义 有 z nbT n n n bnTbt zanTeznTeateaZ 00 mm 令 代入上式 则有 bT zaz 1 bT n nbt zaEzEznTeteaZ 1 0 1 m 式 6 25 得证 例 6 5 试用复数位移定理计算函数的变换 2at t ez 解 令 查表可得 2 tte 3 22 2 1 1 2 2 z zzTt ZtZzE 根据复数位移定理式 6 25 有 22 2 33 1 1 aTaTaTaT ataT aTaT T zezeT zeze Z t eE ze zeze 4 初值定理 设的 z 变换为 e t E z 并存在极限lim z E z 则 0 lim lim tz e tE z 6 26 证明 根据 z 变换定义 有 12 0 0 2 n n E ze nT zee T zeT z L 所以 0 lim 0 lim zt E zee t 246 5 终值定理 如果信号的 z 变换为 e t E z 信号序列为有限值 n 0 1 2 且极限 e nT limnTe n 存在 则信号序列的终值 1 lim lim 1 zEznTe zn 6 27 证明 根据 z 变换线性定理 有 n n znTeTneteZTteZ 1 0 由实数位移定理 0 zezzETteZ 于是 n n znTeTnezezEz 0 101 上式两边取时的极限 得 1 z 1 1 lim 0 1 lim 0 0 11 nTeTne znTeTneezEz n n n zz 当取为有限项时 上式右端可写为 Nn 011 0 eTNenTeTne n 令 上式为 N lim lim 0011 0 enTeeTNenTeTne nN n 所以 1 lim lim 1 zEznTe zn 得证 在离散系统分析中 常采用终值定理求取系统输出序列的稳态值和系统的稳态误差 例 6 6 设变换函数 z 57 1 2 3 zzz z zE 试求的初值和终值 nTe 解 分别由初值定理式 6 26 和终值定理式 6 27 得 247 3 2 0 lim lim1 1 75 zz z eE z zzz 3 2 11 1 lim 1 lim 75 1 zz z ezE z zz 3 应当注意 变换只能反映信号在采样点上的信息 而不能描述采样点间信号的状态 因此变换与采样序列对应 而不对应唯一的连续信号 不论怎样的连续信号 只要采样序 列一样 其变换就一样 z z z 6 3 4 z反变换 已知变换表达式 求相应离散序列的过程 称为反变换 记为 z zE nTez 6 28 1 zEZt e 当时 0 n0 nTe 信号序列是单边的 对单边序列常用的反变换法有三种 即幂级数法 部分分式法和留数法 nTez 1 幂级数法 长除法 z变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义 变量的系数代表连续时间函数 在 n z nT时刻上的采样值 若是一个有理分式 则可以直接通过长除法 得到一个无穷 项幂级数的展开式 根据的系数便可以得出时间序列的值 zE n z nTe 例 6 7 设 2 1 10 zz z zE 试用长除法求或 nTe te 解 23 10 2 1 10 2 zz z zz z zE 应用长除法 用分母去除分子 即 32 321 21 210 10 10 4321 2 140150 14021070 6070 609030 2030 203010 150703010 1023 zz zzz zz zzz zz zzz zzzz zzz L 248 zE可写成 L 43210 1507030100 zzzzzzE 所以 L 4 150 3 70 2 30 10 TtTtTtTtte 长除法以序列的形式给出的数值 但不容易得出 的封闭表达形式 L 3 2 0 TeTeTee nTe 2 部分分式法 查表法 部分分式法又称查表法 根据已知的 通过查变换表找出相应的 或者 考虑到变换表中 所有变换函数在其分子上都有因子 所以 通常先 将 zEz te nTezz zEz zzE 展成部分分式之和 然后将等号左边分母中的乘到等号右边各分式中 再逐项 查表反变换 z 例 6 8 设 2 1 10 zz z zE 试用部分分式法求 nTe 解 首先将 z zE 展开成部分分式 即 2 10 1 10 2 1 10 zzzzz zE 把部分分式中的每一项乘上因子后 得 z 2 10 1 10 z z z z zE 查 z 变换表 得 1 1 1 z z Z n z z Z2 2 1 最后可得 10 21 n e nT 00 10 21 0 1 2 L n nn e te nTtnTtnTn 3 留数法 反演积分法 在实际问题中遇到的变换函数 除了有理分式外 也可能是超越函数 无法应用 幂级数法或部分分式法求反变换 此时采用留数法则比较方便 的幂级数展开形式 为 z zE z zE 0 n n znTezE 6 29 设函数除有限个极点 外 在 z 域上是解析的 则有反演积分公式 1 n zzE 1 z 2 z k z 249 1 1 1 dRes 2 i k n zz i e nTE z zzE z z j 1 n 6 30 式中 表示函数 1 Res i n zz E z z 1 n E z z 在极点处的留数 留数计算方法如下 i z 若 为单极点 则 i z0 1 2 Lik 1n 1 Res lim i i n zzi zz E z zzz E z z 6 31 若为m重极点 则 i z 1 11 1 1d Res 1 d i i m nm zzi m z z E z zzzE z z mz n 例 6 9 设 2 1 10 zz z zE 试用留数法求 nTe 解 根据式 6 30 有 1 12 10 Res 1 2 1010 1 1 2 1 2 10 10 210 12 0 1 2 2 L i n zz nn zz nn z e nTz zz zz zz zzzz n 例 6 10 设变换函数 z 2 3 5 1 zz z zE 试用留数法求其反变换 z 解 因为函数 2 2 1 51 zz z zzE n n 有是单极点 是 2 重极点 极点处留数 1 1 z5 2 z 1 2 11 2 11 1 Res lim 1 lim 1 1 5 16 n nn zz zz z E z zzE z zz zz 250 2 1 11 1 5 2 12 2 2 12 5 1 1d Res 5 1 d 1d 5 2 1 d 1 5 43 5 16 m nm zz m z n z n E z zzE z z mz z z zzz n n 所以 11 2 1 1 1 43 5 43 51 Res 161616 i nn n zz i nn e nTE z z 相应的采样函数 L 2 86 1 11 16 15 34 0