从猜数游戏说起(严熠熠).doc

由猜数游戏说起缘起惑于猜数游戏同学们，你们喜欢玩猜数游戏吗？这种猜数游戏的规则是这样的：先确定一个数字，让同学在一个范围内猜，出题的人根据对方的数字告诉他正确答案比它大还是小，继续猜，直到猜中为止。我和同学都喜欢玩这样的游戏。不过，在猜数游戏中，我和我的好朋友们都喜欢用把这范围内的平均分成二份的方法去猜。在我们看来，这是最好的办法。班级里其他同学也是这样想的吗？心血来潮，我对本校六（1）、六（2）的同学进行了调查。不看不知道，一调查还真吓一跳。我发现两个班大约60.6%的人都会选择用平均二分法。看来，平均分成二份的策略是同学们在猜数活动中最喜欢的，也最常使用的策略。为什么同学们喜欢用平均分成二份的策略？这种策略就是最好的吗？猜想游戏中，还有没有其他策略呢？于是，我开始了探究之旅。探究发现新大陆行动一：12猜法和13猜法的初次邂逅冥思苦想中，我突然想到了我们学习过的找次品策略。从一堆含有次品的物品中找次品，我们最快的策略不是把所有物品平均分成二份，而是平均分成三份。因为，如果平均分成两份，每次只能排除物品总数的二分之一，而平均分成三份，每次就能保证淘汰掉物品三分之二的可能性。那在猜数游戏中，是不是用平均分成三份的方法会比平均分成二份的方法方便呢？看来只有自己探究，才能真正了解到其中的原因（下文为了统一叙述和方便，我把平均分成二份的方法命名为12猜法，把平均份分成三份的方法命名为13猜法）。这次，我采用了和同学们经常猜“68”这个数的游戏，分别用12猜法和13猜法实验。用12猜法猜数过程，第一次报0100这100个数二分之一处的数是50；68大于50，第二次报大于50又不大于100这50个数的二分之一处的数是75，以此类推；用13猜法的猜数过程，第一次报0100这100个数三分之一处的数约是33，第二次报大于33又小于100这67个数的三分之一处的数是55为了方便比较，我把它放到表格里，如下图：123456789合计12猜法50756268共4次13猜法335570606365666768共9次实验结果大大出乎我的意料。12猜法比13猜法快，而且快很多。难道12猜法真的是最好的方法吗？会不会是我举得例子恰好是个特殊情况呢？我不甘心，我把1100这100个数字平均分成10段，每段随机取了一个数进行对比猜数。被猜数方法猜数过程总次数谁胜712猜法50，25，12，6，8，7 613猜法胜13猜法33，11，3，5，7 41112猜法50，25，12，6，8，10，11 713猜法胜13猜法33，1122512猜法50，25212猜法胜13猜法33，11，18，23，26，24，2573012猜法50，25，37，31，28，29，30 712猜法胜13猜法33，11，18，23，26，28，29，30 84212猜法50，25，37，43，40，41，42713猜法胜13猜法33，55，40，45，41，42 65412猜法50，75，62，56，53，54 612猜法胜13猜法33，55，40，45，48，50，51，52，53，54 106812猜法50，75，62，68412猜法胜13猜法33，55，87，65，72，67，6877412猜法50，75，62，68，71，73，347平局13猜法33，55，70，80，87，91，8878812猜法50，75，87，94，90，88 612猜法胜13猜法33，55，70，80，87，91，88 79512猜法50，75，87，94，97，95612猜法胜13猜法33，55，70，80，87，91，94，96，959功夫不负有心人！在这个结果中，我发现12猜法不一定最快的。在这个平均10段结果中，12猜法胜的占总数的60%，13猜法胜占30%，打平的占10%。这又是为什么呢？怎么会出现这样的情况？我仔细观察对比发现，这和数的大小存在一定的关系。观察中，我发现如果被猜的这个数小于33时，都会用13猜法较快，如上图的7,11。但也不是所有小于33得数都是用13猜法较好，上面30这个数就是一个例外。有一些大于33的数用13猜法也比用12猜法快。但是12猜法还是占有优势。实验结果让我有些灰心，同时又看到些许希望。行动二：23、14、34、15、25、35、45多种猜法同台竞技难道12猜法就是最好的吗？喜欢不断举例尝试的我，又想出了很多的猜法：我把整体的数平均分成三份，用23猜法；我把整体的数平均分成四份，用14、34猜法；我还把整体的数平均分成五份，用15、25、35、45猜法!我得意自己的想法。于是，我再次以前面选定的十个数为例子，用自己发现的这几种方法进行猜数游戏，依次找出每种方法所对就的次数，如下图：猜法目标数15猜法14猜法13猜法25猜法12猜法35猜法23猜法34猜法45猜法最快方法737457461012116327775781325418327791014307387747471442810667767823、25、134896876358754681076465735681299777757347467757665118812778675682395149366696513总次数877072686862697290平均次数8.777.26.86.86.26.97.29通过表格，我发现：1.通过看最快方法比较结果，我发现每种猜法都可能是“最快方法”。我想原因可能是与数的不同取值有关。因为，实验中的10个数字是1-100这范围内各个区间的数字，它正好处于每种方法所取得对应点上，所以就让每种方法在最快的方法中出现。看来，每种方法真是各有所长。2.通过看统计的总次数和平均次数，我发现这些分法的快慢呈两边多中间少的的趋势。如图所示， 15、45、14、34这几个分数，它们的大小接近0或者1，它们对应的猜法次数也多；而25、12、23、35、23这几个分数，它们的大小相对接近中间，它们对应的猜法次数也相对少些。难道真是越中间方法越快？我心中打了个结。3.结合两组数据对比，我发现最快的方法不是12猜法，而是35猜法了。12猜法的平均次数约等于6.8次，25猜法的平均次数也是6.8次，而35猜法的平均次数为6.2次。远远领先于其他猜法，难道这只是一种巧合？虽然有些信心不足，但我决定再次探究。行动三：12猜法、25猜法和35猜法狭路相逢通过上面的研究，35、25猜法的平均次数是6.2次，而12、25猜法的平均次数6.8次，虽然只相差一点点，可能会有偶然性，想要让结果更准确，就必须列出更多的数才能更有说服力。于是，我又列了除上面10个数之外的20个数，算出用12猜法、25猜法与35猜法猜到数的次数。目标数12猜法25猜法35猜法最快方法43444平7778335猜法2523712猜法966712猜法、25猜法9275725猜法1944712猜法、25猜法6076135猜法1765725猜法8475335猜法3675525猜法、35猜法3556235猜法7956535猜法、6452725猜法1557712猜法4756712猜法71777平8143525猜法9167535猜法2966712猜法、25猜法9267612猜法、35猜法总次数11110810925猜法平均次数5.555.45.4525猜法从上面比较结果来看，三种方法几乎打了个平手。但通过细算，12猜法平均次数是5.55次， 35猜法的平均次数为5.45次，而25猜法的平均次数竟是5.4次。35猜法直接越位排名第一。如果前面十个数的结果是一个偶然的话，那么现在这二十个数字的结果就是一个必然。我坚信，35猜法和25猜法要比12猜法好。看到这样的结果，我长长的叹了一口气。欣喜若狂之际，又一个问题冒了出来，为什么是这样？究竟原因是什么？我毫无头绪。折腾的过程，虽然证实自己的一些想法，结果却带来了更大的困惑，我甚至一度怀疑自己探究的结果。行动四：35猜法的寻根溯源我带着上面的问题去询问老师，她不仅肯定了我的想法，还给我一些提示这学期刚刚认识的黄金比。于是，通过上网查阅资料，我了解到，我国著名的数学家华罗庚运用黄金分割法发明的一种可以尽可能减少做实验次数、尽快的找到最优方案的方法，就是优选法。而黄金分割数是0.618， 最好方法应为0.618。原来，在猜数游戏中我列的几种方法里，35是最接近黄金分割数的，所以35猜法每次都可以用尽量快的速度找到那个数，而13、15与0.618相差较远，所以比较麻烦。那25猜法呢？明明离0.618有一段距离，为什么也挺方便呢？通过逆向思考，我找到了答案。1可以分成0，618和0.382，可以再说的直接点，也就是0.382也可以算是黄金分割数。而25猜法就与35猜法一个接近0.618一个接近0.382。所以25猜法和35猜法是不相上下的。行动五：0.618优选法隆重登场华罗庚的研究证明：0.618猜法才是优选法。那猜数游戏中，我是不是应该猜0.618位置的数，次数会最少呢？0.618猜法到底比35猜想快多少呢？我又孜孜不倦的列表求证。因为25猜法和35猜法差不多，所以这里我以35猜法为例。目标数51324314256697789980.618猜法877767935635猜法7657647664结果让我吃了一大惊。从数据来看，35猜法要比0.618猜法好得多。怎么回事？难道华罗庚的研究出了差错？到底是什么情况？哈哈，我一阵地窃喜。难道我要打败华罗庚吗！但是，我回头一想，这是世界公认的最优法，怎么可能被我这个黄毛丫头证明是错的呢？我又从头把自己的研究过程看了一遍，发现用0.618猜法猜数时很多数不能整除，多次用到了求近似数的方法，这会不会造成结果上的不精确？此外，我还发现，我都是在1100这个小范围内猜数，而且都是猜整数？如果把范围扩大到1000，10000，100000结果会不会有些改变呢？我又列了一个表格，开始在1000范围内猜。目标数1262373934295406087678549120.618猜法11121110971121135猜法111191210128118大胆的猜测让我吃尽苦头。就这么十个不到的9个数，让我足足花费了两个晚上还没有猜完。每个数字基本上都要用上二十几分钟，而且这里我还是请计算器来帮助的。虽然前几轮都是35猜法占优。不过，结果还是令人欣慰的。随着数字的范围不断变大，0.618猜法的优势也渐渐显露出来，最终0.618猜法才是优选法。优选法，在实际生活中也经常有出现。如：测量一个水池的最深位置（水池水底不是忽高忽低的前提下），如果按每个几公尺测量一次的话，我们必须测量好多次。假设水塘为边长为一平方公里,如果一个一个点去量，最多需要1000乘1000次，也就是1000000次。就算你有能耐，一天测量100次，也要一万天！但如果采用优选法，就可以减少测量次数，减少所需要的时间、材料、人力；又如在进行铁的熔点的实验的时候，可以先确定一个范围，再采用优选法，也可以使原本十分麻烦的事变得简单。这样的例子还有很多很多。由此可见，生活中的很多地方我们都会遇到优选法，它可以让我们方便许多。收获玩出一片精彩通过这次的探究，我对猜数方法有了新的认知和体会。我找到了一种新的猜数策略0.618猜法。特别是在大范围内猜数或实验时，0.618猜法会给我们带来极大方便与快捷。当然，在小范围内猜数时，我还想给大家隆重推荐两种新的方法，那就是35猜法和25猜法。它们接近黄金分割数，而且方便计算。当然，我们平时普遍采用的12猜法也是有好处的，它不仅容易计算，而且相对来说猜得也比较快。如果要考虑到方便的话，还是35猜法或25猜法更好些。最准的话，0.618猜法是首选。所以在生活中运用时，还需根据实际的情况来判断到底用哪一种猜法更好。一个普普通通、看似并不起眼的猜数游戏背后，可以引出一个深奥的数学问题，为我们的生活提供便利。数学，在课堂内，其实更多的是在课堂外。 23猜法猜数过程合计次数猜766，43，28，18，11，7共6次猜1166，43，28，18，11 共5次猜2566,43,28,18,24,27,26,25共8次猜3066，43，28，37，33，31，30 共7次猜4266，43，28，37，40，42 共6次猜4866，43，58，52，48 共5次猜6866，89，81，77，73，70，68共7次猜7466，89，81，75，71，73，77共6次猜8866，89，81，86，88 共5次猜9566,89,95共3次 14猜法猜数过程合计次数猜725，6，11，3，5，6，7 共7次猜1125，6，11 共3次猜2525共1次猜3025，44，30 共3次猜4225,44，30，33，35，38，39，40，41，42 共10次 猜4825，44，58，47，51，48 共6次猜68 25，44，58，71，61，65，66，67，68 共9次猜7425，44，58，71，78，73，74共7次猜8825，44，58，71，78，84，88 共7次猜9525,44,58,71,78,84,88,91,93,95共9次34猜法：猜数过程合计次数猜775，56，41，30，22，16，11，8，5，7 共10次猜1175，56，41，30，22，16，11 共7次猜2575,56,41,30,22,28,26,24,25共9次猜3075，56，41，30 共4次猜4275，56，41，52，44，43，42 共7次猜4875，56，41，52，44，49，47，48 共8次猜6875，56，70，66，68共5次猜7475，56，70，73，74 共5次猜8875，94，89，85，87，88 共6次猜9575,94,99,97,96，95共6次15猜法：猜数过程合计次数猜720，4，7 共3次猜1120，4,7,13,10,11共6次猜2520,36,23,25猜4次猜3020，36，23，25,27，29，30 共7次猜4220，36，51，39，44，40，41，42 共8次猜4820，36，51，39，44，45，46，47，48 共9次猜5420，36，51，61，53，54 共6次猜6820，36，51，61，69，62，63，64，65，66，67，68 共12次猜7420，36，51，61，68，74 共6次猜8820，36，51，61，68，74，79，83，86，89，87，88共12次猜9520,36,51,61,68,74,79,83,86,89,91,93,94,95共14次25猜法猜数过程合计次数猜740,16,6,9,7共5次猜1140,16,6,9,11共5次猜2540,16,25共3次猜3040,14,20,28,32,29,30共7次猜4240,64,49,43,41,42共6次猜4840,64,49,43,45,47,48共7次猜5440,64,49,55,51,52,53,54共8次猜68