山东省潍坊市高考数学三模试卷 理（含解析）.doc

山东省潍坊市2015届高考数学三 模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）i是虚数单位，复数=（）a2b2c2id2i2（5分）已知集合a=x|y=ln（x2x），b=x|x290，则ab=（）ab（1，3c（0，1）d3（5分）若a，b，c均为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）a|a+b|ab|b|a|+|b|ab|c|ac|ab|+|bc|d|ab|a|b|4（5分）设a0且a1则“函数f（x）=logax是（0，+）上的增函数”是“函数g（x）=（1a）ax”是r上的减函数的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件5（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为（）a16bcd6（5分）运行如图框图输出的s是254，则应为（）an5bn6cn7dn87（5分）已知函数的图象的一条对称轴为x=，其中为常数，且（1，2），则函数f（x）的最小正周期为（）abcd8（5分）当a0时，函数f（x）=（x22ax）ex的图象大致是（）abcd9（5分）已知抛物线c1：y2=2x的焦点f是双曲线c2：的一个顶点，两条曲线的一个交点为m，若|mf|=，则双曲线c2的离心率是（）abcd10（5分）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间m上的函数，若对任意的xm，存在常数x0m，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x0）=g（x0），则称函数f（x）和g（x）在区间m上是“相似函数”，若f（x）=|log2（x1）|+b与g（x）=x33x2+8在上是“相似函数”，则函数f（x）在区间上的最大值为（）a4b5c6d二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）已知|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为12（5分）已知圆c的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点，且圆c与圆（x2）2+（y3）2=8相外切，则圆c的方程为13（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=x+my（m0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为14（5分）有2位女生，3位男生站成一排合影，要求女生甲不在队伍两端，3位男生中有且仅有2位相邻，则不同的排队方法共有种15（5分）已知函数f（x）对任意xr满足f（x+1）=f（x1），且f（x）是偶函数，当x时，f（x）=x2+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，向量=（2sin，cosa），=（12sin2，），且（）求角a的余弦值；（）若a=，求abc的面积最大值17（12分）如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，m，n分别为pb，cd的中点，二面角pcda的大小为60，ac=ad=，cd=pn=2，pc=pd（）求证：pa平面abcd；（）求直线mn与平面pcd所成角的正弦值18（12分）中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛，中国队与卡塔尔、马尔代夫、不丹、中国香港同处一组比赛采取主客场积分制，既任意两队分别在自己的国家或地区（主场）和对方的国家或地区（客场）各比赛一场，规定每场胜者得3分，负者得0分，战平各得1分，按积分多少排名卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手，假设中国队与卡塔尔队在对阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜；中国队在对阵卡塔尔队主场战胜的概率为，战平的概率为，在客场胜、平、负的概率均为，各场比赛结果相互独立（）求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率；（）求比赛结束时中国队积分x的分布列与数学期望19（12分）已知数列an与bn满足：a1+a2+a3+an=log2bn（nn*）若an为等差数列，且a1=2，b3=64b2（）求an与bn；（）设，数列cn的前n项和为tn，求tn并比较与的大小（nn*）20（13分）已知椭圆c：的离心率为，点o为坐标原点，椭圆c与曲线|y|=x的交点分别为a，b（a在第四象限），且（）求椭圆c的标准方程；（）定义：以原点o为圆心，为半径的圆称为椭圆=1的“伴随圆”若直线l交椭圆c于m，n两点，交其“伴随圆”于p，q两点，且以mn为直径的圆过原点o证明：|pq|为定值21（14分）已知函数f（x）=x（lnxax）（ar），g（x）=f（x）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线3xy1=0平行，求实数a的值；（）若a0，求函数g（x）在上的最大值；（）若函数f（x）=g（x）+两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：f（x2）1f（x1）山东省潍坊市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）i是虚数单位，复数=（）a2b2c2id2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：复数=2i故选：d点评：本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题2（5分）已知集合a=x|y=ln（x2x），b=x|x290，则ab=（）ab（1，3c（0，1）d考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出a中x的范围确定出a，求出b中不等式的解集确定出b，找出两集合的交集即可解答：解：由a中y=ln（x2x），得到x2x0，即x0，或x1，a=（，0）（1，+），由b中的不等式变形得：（x3）（x+3）0，解得：3x3，即b=，则ab=故选：a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）若a，b，c均为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）a|a+b|ab|b|a|+|b|ab|c|ac|ab|+|bc|d|ab|a|b|考点：绝对值三角不等式 专题：不等式的解法及应用分析：不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验可得a、b、d不成立，从而得出结论解答：解：不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验可得a、b、d不成立，由绝对值三角不等式，可得|ac|=|（ab）+（bc|ab|+|bc|，故c成立，故选：c点评：本题主要考查绝对值不等式的应用，绝对值三角不等式；通过举反例来说明某个结论不成立，是一种简单有效的方法，属于基础题4（5分）设a0且a1则“函数f（x）=logax是（0，+）上的增函数”是“函数g（x）=（1a）ax”是r上的减函数的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可解答：解：函数f（x）=logax是（0，+）上的增函数，则a1，若“函数g（x）=（1a）ax”是r上的减函数，则或，即a1或0a1，故“函数f（x）=logax是（0，+）上的增函数”是“函数g（x）=（1a）ax”是r上的减函数的充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数的单调性求出等价条件是解决本题的关键5（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为（）a16bcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的三棱锥，画出直观图，根据数据求出体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面pac底面abc的三棱锥，如图所示；过点p作pmac，交ac与点m，连接bm，则pm平面abc，且pm=2，bmac，且bm=2，ac=2am=2=4；三棱锥的体积为v三棱锥pabc=422=故选：d点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目6（5分）运行如图框图输出的s是254，则应为（）an5bn6cn7dn8考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加s=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加s=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件s=2+22+26+27=254，故中应填n7故选c点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误7（5分）已知函数的图象的一条对称轴为x=，其中为常数，且（1，2），则函数f（x）的最小正周期为（）abcd考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性可得=k+，kz，由此求得的值，从而求得函数f（x）的最小正周期解答：解：由函数的图象的一条对称轴为x=，可得=k+，kz，=k+，=，函数f（x）的最小正周期为=，故选：b点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于基础题8（5分）当a0时，函数f（x）=（x22ax）ex的图象大致是（）abcd考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象；指数函数综合题；导数的乘法与除法法则 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象解答：解：由f（x）=0，解得x22ax=0，即x=0或x=2a，a0，函数f（x）有两个零点，a，c不正确设a=1，则f（x）=（x22x）ex，f（x）=（x22）ex，由f（x）=（x22）ex0，解得x或x由f（x）=（x22）ex0，解得，即x=是函数的一个极大值点，d不成立，排除d故选b点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强9（5分）已知抛物线c1：y2=2x的焦点f是双曲线c2：的一个顶点，两条曲线的一个交点为m，若|mf|=，则双曲线c2的离心率是（）abcd考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过题意可知f（，0）、不妨记m（1，），将点m、f代入双曲线方程，计算即得结论解答：解：由题意可知f（，0），由抛物线的定义可知：xm=1，ym=，不妨记m（1，），f（，0）是双曲线的一个顶点，即a2=，又点m在双曲线上，即b2=，e=，故选：d点评：本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题10（5分）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间m上的函数，若对任意的xm，存在常数x0m，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x0）=g（x0），则称函数f（x）和g（x）在区间m上是“相似函数”，若f（x）=|log2（x1）|+b与g（x）=x33x2+8在上是“相似函数”，则函数f（x）在区间上的最大值为（）a4b5c6d考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：新定义；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：由对数函数的性质可得f（x）的值域，再由导数求得g（x）的值域，根据新定义，可得b=4，即可得到所求的最大值解答：解：f（x）=|log2（x1）|+b在区间上的值域为，g（x）=x33x2+8的导数为g（x）=3x26x，g（x）=0解得x=2，由g（2）=4，g（）=，g（3）=8，即有g（x）的值域为，由“相似函数”可得f（2）=g（2），即b=4，则函数f（x）在区间上的最大值为b+2=6，故选：c点评：本题考查新定义的理解和运用，主要考查对数函数的性质和导数的运用：求最值，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）已知|=|=2，（+2）（）=2，则与的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由已知中|=|=2，（+2）（）=2，可求出cos=，进而根据向量夹角的范围为0，得到答案解答：解：|=|=2，|2=|2=4（+2）（）=2展开得：|2+2|2=4cos4=2，即cos=又0故=故答案为：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知计算出cos=，是解答的关键12（5分）已知圆c的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点，且圆c与圆（x2）2+（y3）2=8相外切，则圆c的方程为（x+1）2+y2=2考点：圆与圆的位置关系及其判定；圆的标准方程；圆的切线方程 专题：直线与圆分析：求出圆心坐标，利用两圆相切，即可得到圆的半径，然后求解圆c的方程解答：解：圆c的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点，可得圆心坐标（1，0），设圆的半径为r，所求圆与圆（x2）2+（y3）2=8相外切，可得：=2，r=所求圆的方程为：（x+1）2+y2=2故答案为：（x+1）2+y2=2点评：本题考查直线与的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力13（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=x+my（m0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案解答：解：由z=x+my得y=x，若m0，则目标函数的斜率k=0，作出不等式组对应的平面区域如图：若目标函数z=x+my（m0）取得最大值时最优解有无数个，由平移可知当直线y=x与ac平行时，满足条件，此时=1，解得m=1，若m0，则k=0，若目标函数z=x+my（m0）取得最大值时最优解有无数个，则直线y=x，经过点c时，目标函数取得最大值，此时最大值只有一个，不满足条件故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键14（5分）有2位女生，3位男生站成一排合影，要求女生甲不在队伍两端，3位男生中有且仅有2位相邻，则不同的排队方法共有48种考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：利用间接法：先选2名男生捆绑在一起，和另外两名女生全排，再插入剩下的一名男生，再排除女生甲在两端的情况解答：解：利用间接法：先选2名男生捆绑在一起，和另外两名女生全排，再插入剩下的一名男生，故=72种，若女生甲在队伍两端有=24种，故求女生甲不在队伍两端，3位男生中有且仅有2位相邻，则不同的排队方法共有7224=48种，故答案为：48点评：本题考查了排列组合问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，正难则反的原则，属于中档题15（5分）已知函数f（x）对任意xr满足f（x+1）=f（x1），且f（x）是偶函数，当x时，f（x）=x2+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由题意可判断函数数f（x）的周期t=2，从而作f（x）与g（x）=a|x|的图象，结合图象可知a0；且当在（1，3）上相切时取得另一个临界值，利用导数求出此时的a，即可得到实数a的取值范围解答：解：由题意知，函数f（x）的周期t=2，且f（x）是偶函数，当x时，f（x）=x2+1；作f（x）与g（x）=a|x|的图象如下，结合图象可知，a0；当在（1，3）上相切时，f（x）=（x2）2+1，f（x）=2（x2），故2（x2）=，解得，x=；故a=f（）=2（2）=42；故实数a的取值范围是故答案为：点评：本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及导数的几何意义的应用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，向量=（2sin，cosa），=（12sin2，），且（）求角a的余弦值；（）若a=，求abc的面积最大值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 专题：解三角形分析：（）根据向量数量积的定义，以及三角函数的关系式即可求角a的余弦值；（）若a=，根据余弦定理求出bc的取值范围即可求abc的面积最大值解答：解：（），=2sin（12sin2）cosa=0即2sincos=cosa，即sina=cosa，在abc中，sina0，cosa0，解得cosa=（）若a=，由余弦定理得a2=b2+c22bccosa，又b2+c22bc，a22bc2bccosa，即62bc2bc=bc，bc4，当且仅当b=c=2时取等号，abc的面积s=，即三角形面积的最大值为点评：本题主要考查余弦定理和三角形的面积的计算，利用向量的数量积进行化简是解决本题的关键考查学生的运算能力17（12分）如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，m，n分别为pb，cd的中点，二面角pcda的大小为60，ac=ad=，cd=pn=2，pc=pd（）求证：pa平面abcd；（）求直线mn与平面pcd所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（）连接an，可以判断acad，an=1，根据条件即知pna为二面角pcda的平面角，即pna=60，从而能求出，并且paan，而同理可得到paac，根据线面垂直的判定定理即可得出pa平面abcd；（）首先分别以ac，ad，ap三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并求出图形上各点的坐标，设平面pcd的法向量为，由即可求出法向量设直线mn与平面pcd所成角为，根据sin即可求出sin解答：解：（）证明：连接an，n为cd中点，且ac=ad=，pc=pd；ancd，pncd；pna是二面角pcda的平面角，即pna=60；又cd=2，ac2+ad2=cd2，cad=90，an=1；又pn=2，在pna中，由余弦定理可得pa=；pn2=pa2+an2；pan=90，paan，pc=，同理paac；又anac=a；pa平面abcd；（）分别以ac，ad，ap所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：a（0，0，0），b，p（0，0，），m（），c（，0，0），d（0，0），n（，0）；，；设平面pcd的法向量为，则：；，取x=1，；设直线mn与平面pcd所成角为，则：sin=|cos|=；直线mn与平面pcd所成角的正弦值为点评：考查直角三角形边的关系，二面角及二面角平面角的概念，余弦定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式18（12分）中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛，中国队与卡塔尔、马尔代夫、不丹、中国香港同处一组比赛采取主客场积分制，既任意两队分别在自己的国家或地区（主场）和对方的国家或地区（客场）各比赛一场，规定每场胜者得3分，负者得0分，战平各得1分，按积分多少排名卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手，假设中国队与卡塔尔队在对阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜；中国队在对阵卡塔尔队主场战胜的概率为，战平的概率为，在客场胜、平、负的概率均为，各场比赛结果相互独立（）求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率；（）求比赛结束时中国队积分x的分布列与数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）分别求出中国队主场胜、客场胜或平的概率和中国队主场平客场胜的概率求和即可（）得出中国队所有可能取得积分，分别求出概率即可解答：解：（）中国队主场胜、客场胜或平的概率中国队主场平客场胜的概率，中国队积分大于卡塔尔队积分的概率（）x可能取得值为18，19，20，21，22，24p（x=18）=，p（x=19）=p（x=20）=，p（x=21）=，p（x=22）=，p（x=24）=x的分布列为 x 18 19 20 21 22 24 px的数学期望ex=点评：本题考查了事件相互独立的概率求解方法，属于常考题型，在考卷中属基础题型19（12分）已知数列an与bn满足：a1+a2+a3+an=log2bn（nn*）若an为等差数列，且a1=2，b3=64b2（）求an与bn；（）设，数列cn的前n项和为tn，求tn并比较与的大小（nn*）考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）通过a3=及a1=2可得d=2，进而可得an=2n，利用a1+a2+a3+an=log2bn可得bn=2n（n+1）；（）通过（i）及cn（an+n+1）2可得tn、4tn的表达式，利用错位相减法计算即得tn=n4n（nn*）通过化简可得比较与的大小就是比较4n与3n+10的大小，利用数学归纳法证明即可解答：解：（）由已知可得：a1+a2+a3=log2b3，a1+a2=log2b2，两式相减可得：a3=log264=6，a1=2，d=2，an=2n，a1+a2+a3+an=n（n+1）=log2bn，bn=2n（n+1）；（）由题意cn（an+n+1）2=（3n+1）4n1，tn=4+74+1042+（3n+1）4n1，4tn=44+742+1043+（3n+1）4n，两式相减得：3tn=4+34+342+34n1（3n+1）4n=4+3（4+42+4n1）（3n+1）4n=4+3（3n+1）4n，整理得：tn=n4n（nn*）=，即比较与的大小就是比较4n与3n+10的大小当n=1时，413，有4n3n+10，当n=2时，16=16，有4n=3n+10，当n=3时，6419，有4n3n+10，猜测：当n3时，有4n3n+10（nn*）下面用数学归纳法证明：（1）当n=3时显然成立；（2）假设当n=k（k3，kn*）时，4k3k+10则当n=k+1时，4k+1=44k4（3k+10）=+9k+273（k+1）+10，即当n=k+1时，4n3n+10成立；综上所述，当n3时，有4n3n+10（nn*）点评：本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，考查数学归纳法，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于难题20（13分）已知椭圆c：的离心率为，点o为坐标原点，椭圆c与曲线|y|=x的交点分别为a，b（a在第四象限），且（）求椭圆c的标准方程；（）定义：以原点o为圆心，为半径的圆称为椭圆=1的“伴随圆”若直线l交椭圆c于m，n两点，交其“伴随圆”于p，q两点，且以mn为直径的圆过原点o证明：|pq|为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）因为，所以，得，即可求得椭圆方程（）由“半椭圆”的方程与直线联立，由得x1x2+y1y2=0，代入即可解得解答：解：（）因为，所以，得联立得，故a（），b（）由得（），解得b2=1，a2=3所以椭圆方程为（）由题意可得“半椭圆”方程x2+y2=4当直线l斜率不存在时，设l：x=n，代入椭圆方程得m（n，），n（n，）由，得，代入x2+y2=4得y=，所以|pq|=当直线l斜率存在时，设l为方程为y=kx+m（k，mr）且与椭圆得交点m（x1，y1）n（x2，y2）联立方程组整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m23=0=36k2m24（1+3k2）（3m23）0，即m23k2+1x1+x2=可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=由得x1x2+y1y2=0，即所以，代入验证0，即原点o到直线l的距离d=“半椭圆”的半径为2，综上，|pq|为定值点评：本题主要考查了圆锥曲线的方程求法和新定义下的圆锥曲线与直线综合题的应用，属于中档题型21（14分）已知函数f（x）=x（lnxax）（ar），g（x）=f（x）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线3xy1=0平行，求实数a的值；（）若a0，求函数g（x）在上的最大值；（）若函数f（x）=g（x）+两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：f（x2）1f（x1）