【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题9 等差数列、等比数列的基本问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题9等差数列、等比数列的基本问题1(2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()a12 b16 c20 d24答案 b由等差数列的性质知，a2a10a4a816.2(2012福建)数列an的通项公式anncos，其前n项和为sn，则s2012等于()a1006 b2012 c503 d0答案 aanncos，a10，a22，a30，a44，a50，a66，a70，a88，.由此易知a4n2(4n2)，a4n4n，且a1a2a3a4242，a5a6a7a8682，a4n3a4n2a4n1a4n(4n2)4n2.又2 0124503，a1a2a2 0122225031 006.3(2012广东)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_.解析由等比数列的性质得a2a4a1a5a，a1aa5.答案4(2012江西)等比数列an的前n项和为sn，公比不为1.若a11，则对任意的nn*，都有an2an12an0，则s5_.解析由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则s511.答案11本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键.必备知识等差数列的有关公式与性质如果数列an是公差为d的等差数列，那么：(1)ana1(n1)d，snna1d.(2)对正整数m，n，p，q，amanapaqmnpq，aman2apmn2p.等比数列的有关公式与性质如果数列an是公比为q的等比数列，那么：(1)ana1qn，sn(2)对正整数m，n，p，q，amanapaqmnpq，amanamn2p.等比、等比数列前n项和sn的性质若等差数列的前n项和为sn，则sm，s2msm，s3ms2m，为等差数列；等比数列的前n项和为sn，则在公比不等于1或m不为偶数时，sm，s2msm，s3ms2m，成等比数列必备方法1运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算2深刻理解等差(比)数列的定义，能正确运用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键解题时应从基础入手，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题3等差、等比数列的判定与证明方法(1)定义法：an1and(d为常数)an是等差数列；q(q为非零常数)an是等比数列(2)利用中项法：2an1anan2(nn*)an是等差数列；aanan2(nn*)an是等比数列(注意等比数列的an0，q0)(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法：snan2bn(a，b为常数)an是等差数列；snmqnm(m为常数，q0)an是等比数列(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可常考查：直接利用公式求指定的an或sn；利用其性质求参数；通过适当的转化把非等差(等比)问题转化为等差(等比)问题求解【例1】 (2011江西)已知两个等比数列an、bn满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值审题视点 (1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解 听课记录解(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根，由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a. 关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识【突破训练1】 (1)(2011广东改编)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k()a10 b12 c15 d20(2)(2011全国)设sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，sk2sk24，则k()a8 b7 c6 d5解析(1)设等差数列an的前n项和为sn，则s9s40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70，而aka40，故k10.(2)an2n1，sk2skak1ak24k424.k5.答案(1)a(2)d常考查：等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查常作为数列解答题的第(1)问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题【例2】 设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式审题视点 (1)先利用an1sn1sn将sn14an2转化为关于an的递推关系式，再利用bnan12an的形式及递推关系式构造新数列来求证(2)借助(1)问结果，通过构造新数列的方式求通项听课记录(1)证明由a11，及sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13，由sn14an2，则当n2时，有sn4an12.得an14an4an1.an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首项b13，公比为2的等比数列，(2)解由(1)可得bnan12an32n1，.数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，所以an(3n1)2n2. 判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断，其次是由等差中项或等比中项的性质去判断【突破训练2】 在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和sn.(1)证明an12an2n，1.即有bn1bn1，所以bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，从而ann2n1.sn120221322(n1)2n2n2n1，2sn121222323(n1)2n1n2n.两式相减得，snn2n2021222n1n2n2n1(n1)2n1.常考查：已知题设条件为等差、等比数列的交汇，求等差(或等比)数列的通项和前n项和等【例3】 (2012石家庄二模)已知等比数列an的前n项和为sn，a12，s1,2s2,3s3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bnan是首项为6，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项和审题视点 (1)列出关于公比q的方程求q；(2)先求出bn后，再根据公式求和听课记录解(1)由已知4s2s13s3，4(a1a1q)a13a1(1qq2)，3q2q0，q0(舍)，或q，an2n1.(2)由题意得：bnan2n8，bnan2n82n12n8.设数列bn的前n项和为tn，tn3n(n7)n27n3. (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破解问题的关键【突破训练3】 数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为sn，数列bn为等比数列，且a13，b11，数列ban是公比为64的等比数列，b2s264.(1)求an，bn；(2)求证：.(1)解设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明sn35(2n1)n(n2)，.数列求解3个“不忘”一、已知sn求通项公式an不能忘记验证n1【例1】 (2012北京朝阳区模拟)已知数列an的前n项和sn，满足log2(sn1)n1，则通项公式为_满分解答由log2(sn1)n1，得sn2n11.当n1时，a1s12213；当n2时，ansnsn12n11(2n1)2n.又n1时，2n2a1，所以通项公式an所以填an答案an老师叮咛：由ansnsn1求an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时，sn1s0而与前n项和的定义矛盾.由ansnsn1求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n1时是否也成立，因此通项公式一般用分段函数an来表示.【试一试1】 数列an的前n项和为sn，且a11，an1sn，n1，2,3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式解由a11，an1sn，n1,2,3，得a2s1a1，a3s2(a1a2)，a4s3(a1a2a3).由an1an(snsn1)an(n2)，得an1an(n2)又a2，所以ann2(n2)，数列an的通项公式为an二、不能忽视对等比数列公比q1，q1的讨论【例2】 (2012江苏南通调研)已知等比数列an，且sna，s2nb(ab0)，则s3n_.满分解答设等比数列an的公比为q.(1)若q1(此时数列为常数列)，则snna1a，s2n2na1b，从而有2ab，所以s3n3na13a(或s3n3na13a)(2)若q1(即2ab)，由已知sna，s2nb，又ab0，由，得1qn，qn1.将代入，得，所以s3n(1q3n)，.答案3a或老师叮咛：使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即q1时，snna1；当q1时，sn或sn，含字母已知数的等比数列求和题目，常忽略q1情况，要引起足够重视，以培养思维的严密性【试一试2】 设数列an的前n项和为sn，a11，且数列sn是以c(c0)为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a2a4a2n.解由条件知s1a11.(1)当c1时，anan当c1时，an(2)当c1时，a2a4a2n0；当c1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，a2a4a2n.三、不会运用等差、等比数列的中项出现错误【例3】 (2012山东济宁一模)公差不为零的等差数列an的前n项和为sn.若a4是a3与a7的等比中项，s832，则s10等于()a18 b24 c60 d90满分解答由aa3a7，得(a13d)2(a12d)(a16d)，得2a1