【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（基础过关+能力训练）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角形应用举例课时训练(1).docVIP

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例1. 如图，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a所在的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105，由此计算出a、b两点的距离为_m.答案：50解析： acb45，cab105， abc1801054530.在abc中，由正弦定理得， ab50(m)2. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2 min，从d沿着dc走到c用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_m.答案：50解析：连结oc，在ocd中，od100，cd150，cdo60，由余弦定理可得oc210021502210015017 500，解得oc50(m)3. 在abc中，已知a60，b2，sabc2，则_答案：4解析：由sabcbcsina2，a60，b2，得c4，从而a2.由，得4.4. 一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是_海里答案：10解析：如图，易知，在abc中，ab20，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)5. 在abc中，若，则abc的形状是_答案：等边三角形解析：由正弦定理得，又，所以，即tanatanbtanc，所以abc，故abc为等边三角形6. 如图，为测得河对岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上，测得点a的仰角为60，再由点c沿北偏东15方向走10 m到位置d，测得bdc45，则塔ab的高是_m.答案：10解析：在bcd中，cd10(m)，bdc45，bcd1590105，dbc30，bc10(m)在rtabc中，tan60，abbctan6010(m)7. 已知abc的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则abc的面积为_答案：15解析：不妨设a120，cbc，3b20acosa，则sinasinbsinc_答案：654解析：由abc，得abc.设ac2，bc1，则由3b20acosa，得3(c1)20(c2)，即3(c1)2c10(c1)(c2)(c3)，解得c4，所以a6，b5.sinasinbsincabc654.9. 如图，a、b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达d点需要多长时间？解：由题意知ab5(3)(海里)，dba906030，dab904545， adb180(4530)105.在dab中，由正弦定理得， db10(海里)又dbcdbaabc30(9060)60，bc20(海里)，在dbc中，由余弦定理得cd2bd2bc22bdbccosdbc3001 20021020900， cd30(海里)，则需要的时间t1(小时)即该救援船到达d点需要1小时10. 如图，在abc中，已知ab3，ac6，bc7，ad是bac的角平分线(1) 求证：dc2bd；(2) 求的值(1) 证明：在abd中，由正弦定理得 ，在acd中，由正弦定理得 ，又ad平分bac，所以badcad，sinbadsincad，sinadbsin(adc)sinadc，由得，所以dc2bd.(2) 解：因为dc2bd，所以.在abc中，因为cosb，所以|cos(b)37.11. 某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示为充分利用现有材料，边bc，cd用一根5 m长的材料弯折而成，边ba、ad用一根9 m长的材料弯折而成，要求a和c互补，且abbc.(1) 设abx m，cosaf(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2) 求四边形abcd面积的最大值解：(1) 在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcosa.同理，在cbd中，bd2cb2cd22cbcdcosc.因为a和c互补，所以ab2ad22abadcosacb2cd22cbcdcosccb2cd22cbcdcosa.即x2(9x)22x(9x)cosax2(5x)22x(5x)cosa.解得cosa，即f(x)，其中x(2，5)(2) 四边形abcd的面积s(abadcbcd)sinax(9x)x(5x)x(7x).记g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x