山东省烟台市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）(1).doc

山东省烟台市2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两名球员各投篮一次，设命题p：“甲球员投篮命中”，q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员没有投中”可表示为（）apqbp（q）c（p）（q）d（p）（q）2（5分）下列说法正确的是（）a命题“若x2=4，则x=2”的否命题是真命题b命题“若a+是有理数，则a是无理数”的逆命题是真命题c命题“若xa2+b2，则x2ab”为假命题d命题“若x=y，则tanx=tany”的逆否命题是真命题3（5分）命题“xr，|x|+x20”的否定是（）axr，|x|+x20bxr，|x|+x20cx0r，|x0|+x020dx0r，|x0|+x0204（5分）已知a、b、c三点不共线，对平面abc外的任一点o，下列条件中能确定定点m与点a、b、c一定共面的是（）abcd5（5分）若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=2x，则该双曲线的离心率是（）abcd6（5分）已知a0且a1，则ab1是（a1）b0的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7（5分）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点e、f、g分别为ab、ad、dc的中点，则a2等于（）a2b2c2d28（5分）在空间直角坐标系oxyz中，已知a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），d（1，1，），若s1，s2，s3分别表示三棱锥dabc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，则（）as1=s2s3bs2=s3s1cs1=s3s2ds1=s2=s39（5分）设f1，f2分别是双曲线x2的左、右两个焦点，若p为圆x2+y2=9与双曲线的一个交点，则|pf1|+|pf2|=（）a3b6cd10（5分）如图所示，四边形abcd、abef都是矩形，它们所在的平面互相垂直，ad=af=1，ab=2，点m、n分别在它们的对角线ac、bf上，且cm=bn=a（0a），当mn的长最小时，a的值为（）abcd二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）若点p是抛物线y2=4x上一点，a（5，3），f为抛物线的焦点，则|pa|+|pf|的最小值为12（5分）若=（2x，1，3），=（1，2y，9），且，则6x+2y的值是13（5分）已知命题p：实数m满足m2+6a25am（a0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为14（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是15（5分）在平面直角坐标系中，动点p（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点p的轨迹为曲线w，给出下列四个结论：曲线w关于原点对称；曲线w关于直线y=x对称；曲线w与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；曲线w上的点到原点距离的最小值为2其中，所有正确结论的序号是三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知命题p：指数函数f（x）=（）x在r上单调递减，命题q：二次函数g（x）=x22ax+a+2在有且只有一个零点；若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围17（12分）已知abc的两个顶点a，b的坐标分别是（3，0），（3，0），且ac，bc所在直线的斜率之积等于k（k0），试探究顶点c的轨迹18（12分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，ad垂直于ab和cd，侧棱sd底面abcd，且sd=ad=ab=2cd，点e为棱sd的中点（1）求异面直线ae和sb所成角的余弦值；（2）求直线ae和平面sbc所成角的正弦值；（3）求面sad和面sbc所成二面角的余弦值19（12分）已知在平面直角坐标系xoy中，点p（x，y），q（x，2），且以线段pq为直径的圆经过原点o（1）求动点p的轨迹c；（2）过点m（0，2）的直线l与轨迹c交于两点a、b，点a关于y轴的对称点为a，试问直线ab是否恒过一定点，若是，并求此定点；若不是，请说明理由20（13分）如图所示，三棱柱abca1b1c1中，aa1=2ab=2ac=2a1ab=a1ac=bac=60，设=，=，=（1）试用向量，表示，并求|；（2）在平行四边形bb1c1c内是否存在一点o，使得a1o平面bb1c1c，若不存在，请说明理由；若存在，试确定o点的位置21（14分）如图所示，椭圆长轴端点为点a、b、o为椭圆的中心，f为椭圆的上焦点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）若四边形mpnq的四个顶点都在椭圆上，对角线pq，mn互相垂直并且它们的交点恰为点f，求四边形mpnq面积的最大值和最小值山东省烟台市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两名球员各投篮一次，设命题p：“甲球员投篮命中”，q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员没有投中”可表示为（）apqbp（q）c（p）（q）d（p）（q）考点：概率的意义；互斥事件与对立事件 专题：概率与统计；简易逻辑分析：根据简单命题与复合命题的关系，结合“至少有一名球员没有投中”，选出正确的答案即可解答：解：p表示“甲球员投篮命中”，命题q表示“乙球员投篮命中”，p表示“甲球员投篮没有命中”，命题q表示“乙球员投篮没有命中”，命题（p）（q）表示，甲、乙球员投篮至少有一人没有命中故选：d点评：本题考查了复合命题与简单命题之间的关系，解题时应正确理解四种命题以及复合命题的意义是什么，属于基础题目2（5分）下列说法正确的是（）a命题“若x2=4，则x=2”的否命题是真命题b命题“若a+是有理数，则a是无理数”的逆命题是真命题c命题“若xa2+b2，则x2ab”为假命题d命题“若x=y，则tanx=tany”的逆否命题是真命题考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：通过互为逆否的命题的真假性一致进行判断命题的真假解答：解：对于a，命题“若x2=4，则x=2”的逆命题是命题“若x=2，则x2=4”显然是真命题，所以命题“若x2=4，则x=2”的否命题是真命题，a正确；对于b，命题“若a+是有理数，则a是无理数”的逆命题是“a是无理数，则a+是有理数”，如a=，此命题为假命题；所以b错误；对于c，“若xa2+b2，则x2ab”为真命题；因为xa2+b22ab，则x2ab”为真命题；所以c错误；对于d，命题“若x=y，则tanx=tany”的原命题是假命题，因为x=y=k+时，tanx，tany无意义，所以其逆否命题是假命题；故d错误；故选a点评：本题考查了命题的真假判断；如果正面判断有难度的题目，可以利用其等价命题判断真假性3（5分）命题“xr，|x|+x20”的否定是（）axr，|x|+x20bxr，|x|+x20cx0r，|x0|+x020dx0r，|x0|+x020考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xr，|x|+x20”的否定x0r，|x0|+x020，故选：c点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4（5分）已知a、b、c三点不共线，对平面abc外的任一点o，下列条件中能确定定点m与点a、b、c一定共面的是（）abcd考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：由共面向量定理可得：若定点m与点a、b、c一定共面，则存在实数x，y，使得，即=+y，即可判断出解答：解：由共面向量定理可得：若定点m与点a、b、c一定共面，则存在实数x，y，使得，化为=+y，ac中的系数不满足和为1，而b的可以化为：=，因此om平行与平面abc，不满足题意，舍去而d中的系数：=1，可得定点m与点a、b、c一定共面故选：d点评：本题考查了共面向量定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=2x，则该双曲线的离心率是（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由焦点在y轴上，设出双曲线方程，求出渐近线方程，得到a=2b，再由a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到解答：解：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为=1（a0，b0）可得双曲线的渐近线方程是y=x，结合题意双曲线的渐近线方程是y=2x，得=2，b=a，可得c=a，因此，此双曲线的离心率e=故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于基础题6（5分）已知a0且a1，则ab1是（a1）b0的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：结合指数的运算性质，和实数的基本性质，分析“ab1”“（a1）b0”和“ab1”“（a1）b0”是否成立，进而根据充要条件的定义得到答案解答：解：若ab1，当0a1时，b0，此时（a1）b0成立；当a1时，b0，此时（a1）b0成立；故ab1是（a1）b0的充分条件；若（a1）b0，a0且a1，当0a1时，b0，此时ab1，当a1时，b0，此时ab1，故ab1是（a1）b0的必要条件；综上所述：ab1是（a1）b0的充要条件；故选c点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系7（5分）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点e、f、g分别为ab、ad、dc的中点，则a2等于（）a2b2c2d2考点：空间向量的数量积运算；棱锥的结构特征 专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，对各个选项中式子进行运算，可得结论解答：解：由题意可得，2=2aacos（bad）=2a2（cos60）=a2，故排除a2=2aacos60=a2，故b满足条件2=2acos=a2，故排除c2=2acos60=，故排除d，故选：b点评：本题考查棱锥的结构特征、两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，属于基础题8（5分）在空间直角坐标系oxyz中，已知a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），d（1，1，），若s1，s2，s3分别表示三棱锥dabc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，则（）as1=s2s3bs2=s3s1cs1=s3s2ds1=s2=s3考点：空间中的点的坐标 专题：空间位置关系与距离分析：求出几何体在三个平面上的射影面的面积，即可得到结果解答：解：由题意可知，d在在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影分别为：h（1，1，0）；f（0，1，），e（1，0，），s1，s2，s3分别表示三棱锥dabc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，如图：所以s1=，s2=，s3=，显然s2=s3s1故选：b分别是等腰直角三角形abc，点评：本题考查空间点的坐标的求法，射影面的面积的解法，考查计算能力以及空间想象能力9（5分）设f1，f2分别是双曲线x2的左、右两个焦点，若p为圆x2+y2=9与双曲线的一个交点，则|pf1|+|pf2|=（）a3b6cd考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的焦点，即为圆的直径的端点，即有f1pf2p，再由勾股定理和双曲线的定义，结合完全平方公式，计算即可得到解答：解：双曲线x2的左、右两个焦点f1，f2分别为（3，0），（3，0），即为圆x2+y2=9的直径的两个端点，则f1pf2p，即有|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=4c2=36，由双曲线的定义可得|pf1|pf2|=2a=2，两边平方可得|pf1|2+|pf2|22|pf1|pf2|=4，即有2|pf1|pf2|=364=32，再由，可得（|pf1|+|pf2|）2=36+32=68，则|pf1|+|pf2|=2故选d点评：本题考查双曲线的定义和性质，用好双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，是解本题的关键10（5分）如图所示，四边形abcd、abef都是矩形，它们所在的平面互相垂直，ad=af=1，ab=2，点m、n分别在它们的对角线ac、bf上，且cm=bn=a（0a），当mn的长最小时，a的值为（）abcd考点：平面与平面垂直的性质 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：作moab垂足为o，连接on，求出om，on，利用勾股定理计算mn，利用配方法，即可得出结论解答：解：如图所示，作moab垂足为o，连接on，则四边形abcd、abef都是矩形，点m、n分别在它们的对角线ac、bf上，且cm=bn=a（0a），onab，om=，on=，omon，mn=，a=时，mn的长最小，故选：b点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）若点p是抛物线y2=4x上一点，a（5，3），f为抛物线的焦点，则|pa|+|pf|的最小值为6考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：设点p在准线上的射影为d，则根据抛物线的定义可知|pf|=|pd|进而把问题转化为求|pa|+|pd|取得最小，进而可推断出当d，p，a三点共线时|pa|+|pd|最小，答案可得解答：解：设点p在准线上的射影为d，则根据抛物线的定义可知|pf|=|pd|要求|pa|+|pf|取得最小值，即求|pa|+|pd|取得最小当d，p，a三点共线时|pa|+|pd|最小，为5（1）=6故答案为6点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题12（5分）若=（2x，1，3），=（1，2y，9），且，则6x+2y的值是2考点：共线向量与共面向量 专题：空间向量及应用分析：利用空间向量平行，对应坐标成比例求出x，y即可解答：解：因为，所以，解得x=，y=，所以6x+2y=6=2；故答案为：2点评：本题考查了空间向量的平行的性质，属于基础题13（5分）已知命题p：实数m满足m2+6a25am（a0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑分析：首先解出不等式的解，进一步求出焦点在y轴上的椭圆所满足的条件，进一步利用命题的四种条件求出参数的取值范围解答：解：命题p：实数m满足m2+6a25am（a0），则：m25am+6a20解得：2am3a命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以：3mm10解得：1m2由于：p是q的充分不必要条件，所以：解得：故答案为：点评：本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，椭圆标准方程的应用，命题中四种条件的应用，属于基础题型14（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是x+2y8=0考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质 专题：计算题分析：设直线l与椭圆交于p1（x1，y1）、p2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k=再由由点斜式可得l的方程解答：解：设直线l与椭圆交于p1（x1，y1）、p2（x2，y2），将p1、p2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k=由点斜式可得l的方程为x+2y8=0点评：本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”15（5分）在平面直角坐标系中，动点p（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点p的轨迹为曲线w，给出下列四个结论：曲线w关于原点对称；曲线w关于直线y=x对称；曲线w与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；曲线w上的点到原点距离的最小值为2其中，所有正确结论的序号是考点：轨迹方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据动点p（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论解答：解：动点p（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，|x|+|y|=，|xy|+x+y1=0，xy0，（x+1）（y+1）=2或xy0，（y1）（1x）=0，函数的图象如图所示曲线w关于直线y=x对称；曲线w与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=1，曲线w上的点到原点距离的最小值为（1）=2，所有正确结论的序号是故答案为：点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知命题p：指数函数f（x）=（）x在r上单调递减，命题q：二次函数g（x）=x22ax+a+2在有且只有一个零点；若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：首先，判断当所给的两个命题为真命题时，相应的取值范围，然后，结合条件确定具体的范围即可解答：解：由命题p：指数函数f（x）=（）x在r上单调递减，得0，1a3，由命题q：二次函数g（x）=x22ax+a+2在有且只有一个零点，得g（x）=（xa）2+a+2a2，当a0时，满足：，解得，a2，当0a1时，满足：=4a24（a+2）=0解得a=1或a=2（舍去），当a2时，满足：，解得，a2，a2或a2，若p或q为真，p且q为假，p，q必一真一假，得或，a（，2）（1，218（12分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，ad垂直于ab和cd，侧棱sd底面abcd，且sd=ad=ab=2cd，点e为棱sd的中点（1）求异面直线ae和sb所成角的余弦值；（2）求直线ae和平面sbc所成角的正弦值；（3）求面sad和面sbc所成二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角 专题：空间角分析：（1）建立空间直角坐标系dxyz，利用数量积计算cos，即可；（2）所求值即为平面sbc的一个法向量与的夹角的余弦值，计算即可；（3）所求值即为平面scd的一个法向量与平面sbc的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系dxyz，不妨设cd=1，则sd=ad=ab=2，则a（2，0，0），e（0，0，1），b（2，2，0），s（0，0，2），=（2，0，1），=（2，2，2），cos，=，即异面直线ae和sb所成角的余弦值为；（2）由（1）可得，=（2，1，0），=（0，1，2），不妨设=（x，y，z）为平面sbc的一个法向量，则有，即，不妨令y=2，可得=（1，2，1），cos，=，直线ae和平面sbc所成角的正弦值为；（3）由题意可知，=（0，2，0）为平面scd的一个法向量，而cos，=，所以面sad和面sbc所成二面角的余弦值为点评：本题考查空间角的求法，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题19（12分）已知在平面直角坐标系xoy中，点p（x，y），q（x，2），且以线段pq为直径的圆经过原点o（1）求动点p的轨迹c；（2）过点m（0，2）的直线l与轨迹c交于两点a、b，点a关于y轴的对称点为a，试问直线ab是否恒过一定点，若是，并求此定点；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由于以线段pq为直径的圆经过原点o，可得=0，即可得出；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx2，a（x1，y1），b（x2，y2），则a（x1，y1）与抛物线方程联立可得x22kx+4=0，由0，可得k2或k2得到根与系数的关系，而直线直线ab的方程为：（x+x1），把根与系数的关系代入可得2y=（x2x1）x+4，令x=0，即可得出直线恒过定点解答：解：（1）以线段pq为直径的圆经过原点o，=0，（x，y）（x，2）=x22y=0，化为x2=2y，动点p的轨迹c为抛物线：x2=2y（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx2，a（x1，y1），b（x2，y2），则a（x1，y1）联立，化为x22kx+4=0，=4k2160，解得k2或k2x1+x2=2k，x1x2=4直线直线ab的方程为：（x+x1），又y1=kx12，y2=kx22，2ky2k（kx12）=（kx2kx1）x+kx1x2，化为2y=（x2x1）x+x1（2kx1），x1（2kx1）=4，2y=（x2x1）x+4，令x=0，则y=2，直线ab恒过一定点（0，2）点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（13分）如图所示，三棱柱abca1b1c1中，aa1=2ab=2ac=2a1ab=a1ac=bac=60，设=，=，=（1）试用向量，表示，并求|；（2）在平行四边形bb1c1c内是否存在一点o，使得a1o平面bb1c1c，若不存在，请说明理由；若存在，试确定o点的位置考点：直线与平面垂直的判定；平面向量的基本定理及其意义 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用向量的三角形法则可解；（2）假设在平行四边形bb1c1c内存在一点o，使得a1o平面bb1