卫星和飞船的跟踪测控.docVIP

卫星和飞船的跟踪测控 成员：刘剑飞、施明春、黄婷婷摘要本文研究的是卫星和飞船的跟踪测控问题。卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是非常重要的，而其核心问题是测控站点的布设问题。针对问题一，在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，要我们求出它的测控站的数目。我们考虑卫星或飞船的运行轨道是圆形轨道还是椭圆形轨道两种情况。在圆形轨道上，我们利用数形结合的方法，结合正弦定理求出它的圆心角。对神舟七号而言，我们可以求得测控站的个数。在椭圆形轨道上，与圆形轨道计算结果一致。针对问题二，考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中的相继两圈的经度有一些差异，我们将通过一些测控站覆盖区域以达到全程跟踪监测的目的。我们用微分方程的方法求出球冠的面积为，用球体的表面积减去球冠的面积则可以求得飞船在离地高为处的飞行面积为：，采用圆形的蜂窝状分布，我们可以求得一个测控站的有效覆盖面积为：，从而求得神舟七号飞船测控站的个数为： 。针对问题三，根据我们收集到的神七号宇宙飞船的11个测控站的经纬度信息，我们画出各个测控站的网格图（见图六）。再利用油膜法估算“神舟七号”飞船的测控覆盖率；关键词：正弦定理 球冠 油膜法 覆盖率1 问题重述1.1背景情况卫星和宇宙飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，而在卫星或飞船的发射与运行过程中，测控和通信是至关重要的。这是因为运载火箭发射和载人飞船上天飞行以及返回时，需要靠测控通信系统保持天地之间的经常性联系，完成飞船遥测参数和电视图像的接收处理，对飞船运行和轨道舱留轨工作的测控管理。如果将航天器比作是风筝，那么测控站点就是牵住风筝的那一根线，地面的控制系统就像放风筝的人，因此测控与通信总体方案设计水平的高低，直接关系着载人航天工程的成败。因此，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。1.2相关信息 测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。1.3 问题的提出请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：问题一：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？问题三：收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。2 问题分析卫星或飞船的发射以及运行过程中对卫星的测控是非常重要的，而它的核心问题则是测控站点的布设问题。一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。2.1问题一的分析所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的，而卫星或飞船可能沿圆形轨道或者椭圆轨道运行，所以我们要把卫星或飞船运行轨道的分两种情况讨论即卫星或飞船在圆形轨道运行或者在椭圆轨道运行。若卫星或飞船沿圆形轨道运行，根据题目所提示和给出的信息，我们可以借助几何画板画出运行轨道图（见图一）。题中要我们求出测控站的个数，使它能进行全程跟踪测控，而测控站的个数与测控的范围(图一中的)有关。 结合数形结合的方法，我们用正弦定理将求解出测控站的个数。若卫星或飞船沿椭圆轨道运行，则与在圆形轨道相类似。2.2问题二的分析问题二是在问题一的基础上深入考虑的。卫星或飞船在离地面高度为的球面上运行，此时卫星或飞船的运行区域落在一个赤道周围的球面的带形区域中。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中的相继两圈的经度有一些差异，我们将通过一些测控站覆盖区域以达到全程跟踪监测的目的。测控站的个数，则是卫星或飞船飞行的面积与一个测控站覆盖面积的比值。而卫星或飞船飞行的面积可以根据球的表面积减去两个球冠的面积。要使所有测控站的覆盖面积都能监控到卫星，则每个测控站的测控范围有效区域不可能是一个圆形区域。每个测控站如果有效区域都是圆形区域，则一定会出现缝隙，不能覆盖所有的区域。故采用圆形的蜂窝状分布（见图二），以达到测控站最少的目的。三个圆的圆心连线为正三角形，所以每个圆形的有效测控范围是以半径R为边长的正六边形。根据一个圆形的有效测控范围与圆形区域的比例将可以求得所有的测控站的测控范围，从而将求得测控站的个数。2.3问题三的分析问题三是理论问题一、二的实际应用。我们选取神舟七号宇宙飞船为研究对象。首先要收集起神七号宇宙飞船的11个测控站：即主场站、喀什站、和田站、东风站、青岛站、渭南站、厦门站、卡拉奇站、马林迪站、圣地亚哥站、纳米比亚站的经纬度信息。根据收集到的信息，画出各个测控站的网格图（见图六）。将飞船运行的球形带状区域面积在地球表面上的投影展开成网格平面，画出每个测控站所能测控的范围（用圆面积表示），利用 油膜法可估算“神舟七号”飞船的测控覆盖率。而测控覆盖率可通过计算所有测控站所能测控的有效面积之和与飞船运行的区域面积的比值来求得。 3 模型假设1、假设图一中； 2、忽视卫星或飞船的发射过程；3、假设地球是规则的球形，半径为6378千米；4、假设每次监控卫星监控站都能以最大的监控范围内正常工作；5、假设监控船的位置是灵活的，可以动态的监控卫星的运行；6、忽略各个地面监控站的海拔差异，认为是分布在离地心为6378千米的地表；7、假设卫星沿闭合的圆形轨道或者椭圆形轨道运行，无其它特殊情况；4 符号说明：地球的半径； ：球冠最大开口部分圆的半径；：球冠的高度； ：卫星或飞船离地球的高度；：圆心角的一半； ：测控站的测控范围与地平面夹角；：球冠的面积； ：一个测控站的面积； ：运行轨道球体的球表面积； ：一个测控站所覆盖有效面积；：球冠的总面积； :圆内正六边形的面积；：圆形的面积； ：飞船在离地高为处的飞行面积；:所有网格的面积为； ：所有测控点的覆盖面积：测控站的覆盖率为； ：一个测控站有效面积所占比例；：测控站的测控范围与赤道平面的夹角；：所有测控站与飞船的运行轨道共面时建立测控站的个数；：要对飞船可能飞行的区域全部覆盖时建立测控站的个数；5 模型的建立与求解5.1 问题一的解答所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的，而卫星或飞船可能沿圆形轨道或者椭圆轨道运行，我们对卫星或飞船运行轨道的分两种情况讨论。 5.1.1 卫星或飞船运行轨道为圆轨道 我们知道所有测控站与卫星或飞船的运行轨道都是共面的，而每个测控站的监控范围都是一个以测控站为顶点的圆锥体。再根据我们所获知的信息，可以画出卫星或飞船运行轨道的截面图，如图一所示：图一：卫星或飞船运行轨道的截面图我们根据所画的截面图来考虑问题，则每个测控站的可监控范围的辐射图形为扇形。其中的一个测控站点所测控的范围所对应的圆心角（如图一），将一个圆分成若干个,对其进行求解求出测控站的个数。 要求出测控站的个数，我们首先求出它的。由图一可知，点为测控站，D点为卫星，是地球的半径，而卫星离地球的高度为，圆心角的一半为。在三角形中（如图二）所示： 已知 ，,由正弦定理则有： 转换整理上式可得： 图二：三角形解得：要对其进行全程跟踪测控，则有：所以， 由上面的公式我们可知：卫星到地球表面的距离越大，测控站可以观测到得范围也越大，而所需测控站的数目也就越少。经过百度文库的资料查找，我们了解到卫星或飞船运行时离地球的高度至少为，即。取地球的半径，则可以得到不同高度的控制点的个数（如下表）。表1 卫星或飞船在不同高度下所需测控站数量距离/km测控站数/个距离/km测控站数/个10024200052001630005300134000440011500045001060004600970004700880003800890003900710000310007无穷3而对于神舟七号而言，它所需要的测控站的数目为：代入数据可得： 5.1.2 卫星或飞船运行轨道为椭圆轨道卫星（或飞船）运行轨道为椭圆轨道时，其测控站数目与卫星（或飞船）运行轨道是圆轨道情形的计算结果是一致的，因为只要在近地点有测控点可以探测到，那么到了远地点则一定能探测到，这是因为离地面越远，测控站点的探测范围越大。因此测控站点更容易捕捉到离地远的卫星，所以在计算最小站点数目的时候，只要将赋以近地点距离之值即可。5.2问题二的解答与问题一不同的是卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，而且考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异。根据卫星或飞船在离地面高度为的球面上的覆盖面积和一个测控站的覆盖面积可以求得测控站的个数n。5.2.1球冠面积的求解 要求得卫星或飞船在离地面高度为的球面上的覆盖面积的关键是求出它的球冠的表面积。对于球冠，则是球面被平面所截得的一部分。而截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高。球冠也可以看作一段圆弧经过它的一个端点的直径旋转所成的曲面（如图三所示）。图三：球冠的结构图由图三可知球冠最大开口部分圆的半径为,对应球半径为,则有关系： 所以球冠面积的微分方程为： 由于积分的上下限分别为：和，所以则有 5.2.2卫星或飞船在离地面高度为的球面上的飞行面积求解 我们把卫星或飞船的运行轨道看作有规则的的球体，而卫星或飞船在离地面高度为的球面上的覆盖面积是根据它们运行轨道球体的球表面积减去两个球冠的面积。对此我们有：运行轨道球体的球表面积：而球冠的总面积为： 所以，卫星或飞船在离地面高度为的球面上的飞行面积为： 5.2.3一个测控站的有效覆盖面积的求解 要使所有测控站的覆盖面积都能监控到卫星，则每个测控站的测控范围有效区域不可能是一个圆形区域。每个测控站如果有效区域都是圆形区域，则一定会出现缝隙，不能覆盖所有的区域。故采用圆形的蜂窝状分布（见图四），以达到测控站最少的目的。图四：圆形的蜂窝状分布图根据图四，我们知道三个圆的圆心连线为正三角形，所以每个圆形的有效测控范围是以半径为边长的正六边形。而圆内正六边形的面积为六个正三角形的的面积和。圆内正六边形的面积为：圆形面积为： 则一个测控站有效面积所占比例： 结合图五，我们可以求得一个测控站的面积为：而由问题一中的， 图五： 测控面积图 可以求得： 所以，一个测控站所覆盖有效面积为：5.2.4测控站的数目求解 根据卫星或飞船在离地面高度为的球面上的覆盖面积与一个测控站的有效覆盖面积的比我们可以求得测控站的个数。则测控站的个数：对神州七号而言，代入数据，利用matlab可以求得： 5.3 问题三的解答我们选取神舟七号宇宙飞船作为分析的对象。收集了神七号宇宙飞船的11个测控站：即主场站、喀什站、和田站、东风站、青岛站、渭南站、厦门站、卡拉奇站、马林迪站、圣地亚哥站、纳米比亚站的经纬度信息。（如下表2） 表2：神舟七号11个测控站的经纬度信息站点经度纬度主场站100.35E40.58N喀什站76.91E39.05N和田站77.35E37.58N东风站98.91E39.05N青岛站120.91E36.05N渭南站109.91E34.05N厦门站117.35E24.05N卡拉奇站67.00E24.58N马林迪站40.00E2.58S圣地亚哥站70.40W33.58S纳米比亚站17.35E22.58S将经度作为横坐标，纬度作为纵坐标，用matlab画出测控站的覆盖率图（如图六）图六：测控站的覆盖率图我们将飞船运行的球形带状区域面积在地球表面上的投影展开成网格平面（如图六中的网格），将每一个网格看作是1平方米，则经过估算可以求得：所有网格的面积为：所有测控点的覆盖面积： 所以测控站的覆盖率为： 6 模型评价与推广6.1 模型的优点：（1） 本模型基本符合题目的要求，能够较好地反映实际情况。（2） 在问题一中我们采用数形结合的方法，结合正弦定理来建立模型，很好的解决了卫星在某一个高度的测控站数目问题。（3） 对于卫星的运行轨道，我们分了是在圆形轨道上运行还是在椭圆形轨道运行进行求解，考虑比较全面。（4） 在问题二中，我们采用圆形的蜂窝状分布很好的求出了一个测控站的有效测控面积，使得模型求解的误差比较小。（5） 在问题三中，我们巧用油膜法，使得模型比较精简。（6） 本文还巧妙地应用了几何画板画图和matlab求解相结合，使得模型便与理解和求解。6.2 模型的缺点：（1） 本文的假设条件比较多，过于理想化。（2） 模型中所利用的数据有限，不能够更好深入的理解。（3） 由于时间有限，使得有些问题没有考虑全面。6.3 模型的推广：本模型不仅实用于对航空飞行器的调控系统，也实用于其它一些覆盖测控问题，比如气象观测站的选址，喷灌覆盖面的问题，智能吸尘器全覆盖路径算法研究和测控系统的设计，遥测遥感网的覆盖问题等。7 参考文献1 姜启源、谢金星，数学模型M，北京：高等教育出版社，2003.82 艾冬梅、李