高考数学一轮复习 第二章 函数 第八节 函数与方程课件 理.ppt

第八节函数与方程 总纲目录 教材研读 1 函数零点的定义 考点突破 2 函数零点的判定 零点存在性定理 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 考点二判断函数零点的个数 考点一函数零点所在区间的判断 4 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤 考点三函数零点的应用 教材研读 1 函数零点的定义 1 对于函数y f x 把使 f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与 x轴有交点 函数y f x 有 零点 2 函数零点的判定 零点存在性定理 一般地 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 f c 0 这个 c也就是方程f x 0的根 我们把这一结论称为零点存在性定理 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 4 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算f x1 i 若f x1 0 则x1就是函数的零点 ii 若f a f x1 0 则令b x1 此时零点x0 a x1 iii 若f x1 f b 0 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则 重复第二 三 四步 1 函数f x lnx 的零点所在的大致范围是 a 1 2 b 2 3 c 和 3 4 d 4 答案b易知f x 为增函数 由f 2 ln2 10 得f 2 f 3 0 故选b b 2 函数f x 的所有零点的和等于 a 1 2 b 1 c 1 d 1 答案a当x 0时 令f x 0 得x 1 当 2 x 0时 令f x 0 得x 或x 所以函数f x 所有零点的和为1 2 故选a a 3 已知函数f x 如果关于x的方程f x k有两个不同的实根 那么实数k的取值范围是 a 1 b c d ln2 答案b在同一坐标系内作出函数f x 与y k的图象 如图 b 关于x的方程f x k有两个不同的实根等价于直线y k与f x 的图象有两个不同的交点 当x 2时 f x 所以k的取值范围是 故选b 4 2017北京西城一模 4 函数f x 2x log2 x 的零点个数为 a 0b 1c 2d 3 答案c要求函数f x 的零点个数 即求2x log2 x 0的根的个数 即求2x log2 x 的根的个数 即求函数y 2x与y lo x 的图象的交点个数 如图所示 结合图象可知 函数f x 有两个零点 c 5 2017北京海淀二模 12 已知函数f x 2x 则f f 1 填 或 f x 在区间上存在零点 则正整数n 2 答案 2 解析当x 0时 y 单调递减 y 2x单调递减 从而f x 单调递减 所以f f 1 因为f 0 f 0 所以f x 的零点在上 故正整数n 2 考点一函数零点所在区间的判断典例1 1 已知函数f x lnx 的零点为x0 则x0所在的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 2 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内 考点突破 c a 解析 1 易知f x lnx 在 0 上是增函数 答案 1 c 2 a 又f 1 ln1 ln1 20 x0 2 3 故选c 2 易知f a a b a c f b b c b a f c c a c b 又a0 f b 0 又函数f x 是二次函数 且图象开口向上 故两个零点分别在 a b 和 b c 内 选a 方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 1 解方程 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落在给定区间上来判断 2 利用零点存在性定理进行判断 3 画出函数图象 通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断 1 1已知实数a 1 0 b 1 则函数f x ax x b的零点所在的区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 答案b a 1 00 由零点存在性定理可知f x 的零点在区间 1 0 内 b 1 2函数f x x2 3x 18在区间 1 8 上存在 填 存在 或 不存在 零点 答案存在 解析解法一 f 1 12 3 1 18 20 0 f 8 82 3 8 18 22 0 f 1 f 8 0 又f x x2 3x 18在区间 1 8 的图象是连续的 故f x x2 3x 18在区间 1 8 上存在零点 解法二 令f x 0 得x2 3x 18 0 x 6 x 3 0 解得x 6或x 3 6 1 8 f x x2 3x 18在区间 1 8 上存在零点 考点二判断函数零点的个数 典例2 1 已知函数f x 则函数y f f x 1的零点的个数是 a 4b 3c 2d 1 2 函数f x 的零点个数是3 a 答案 1 a 2 3 解析 1 由f f x 1 0得f f x 1 令f x 1 解得x 2或x 故f x 2或f x 时 f f x 1 若f x 2 则x 3或x 若f x 则x 或x 综上可得函数y f f x 1的零点的个数是4 故选a 2 当x 0时 作函数y lnx和y x2 2x的图象 由图知 当x 0时 f x 有2个零点 当x 0时 由f x 0得x 综上 f x 有3个零点 方法技巧函数零点个数的判断方法 2 1函数f x x 2 lnx在定义域内的零点的个数为 a 0b 1c 2d 3 答案c由题意可知f x 的定义域为 0 在同一直角坐标系中画出函数y1 x 2 x 0 y2 lnx x 0 的图象 如图所示 由图可知函数f x 在定义域内的零点个数为2 c 2 2函数f x lnx x 1的零点个数是 a 1b 2c 3d 4 答案a解法一 f x 1 则f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 则f x max f 1 0 所以f x lnx x 1的零点只有一个x 1 故选a 解法二 在同一平面直角坐标系下 作出y lnx与y x 1的图象 图略 可得两个图象的交点个数为1 故f x lnx x 1的零点个数为1 选a a 典例3已知函数f x 函数g x ax2 x 1 若函数y f x g x 恰好有2个不同的零点 则实数a的取值范围是 a 0 b 0 2 c 1 d 0 0 1 考点三函数零点的应用 d 解析令f x g x 0 则f x x 1 ax2 而f x x 1 在同一坐标系中作出y f x x 1和y ax2的图象 如图 由图象可知 当a 0时 y f x g x 恰有两个不同的零点 当0 a 1时 y f x 答案d g x 恰有两个不同的零点 当a 1时 y f x g x 只有一个零点 当a 1时 y f x g x 没有零点 综上 实数a的取值范围是 0 0 1 典例4 2017北京石景山一模 14 已知f x 1 当a 1时 f x 3 则x 4 2 当a 1时 若f x 3有三个不等的实数根 且它们成等差数列 则a 解析 1 由题意可知f x 当x0 故函数在区间 a 0 0 上单调递增 设方程的三个根分别为x1 x2 x3 且x1 x2 x3 结合a 1可知x2 1 x3 4 结合等差数列的性质可知x1 6 2a 3 a 答案 1 4 2 方法技巧 1 已知函数零点情况求参数范围的一般步骤及方法 1 步骤 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 组 解不等式 组 即得参数的取值范围 2 方法 常利用数形结合法 2 借助函数零点比较大小的思路