【步步高】高三数学一轮 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学案 理 北师大版.DOCVIP

1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2014高考会这样考1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，判断命题的真假或求参数的范围；2.考查全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进行否定复习备考要这样做1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇1 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：pq綈p綈qp或qp且q綈(p或q)綈(p且q)綈p或綈q綈p且綈q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2. 全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等3 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题4 命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.难点正本疑点清源1 逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同如“xa或xb”，是指：xa且xb；xa且xb；xa且xb三种情况再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况2 命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系3 含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题1 下列命题中，所有真命题的序号是_52且74；34或43；不是无理数答案解析52和74都真，故52且74也真34假，43真，故34或43真是无理数，故不是无理数为假命题点评对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题2 已知命题p：存在xr，x22，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p且q、p或q中是真命题的是_答案p、p或q解析x1时，p成立，所以p真，q假，p或q真，p且q假3 若命题“存在xr，有x2mxm0”是假命题，则实数m的取值范围是_答案4,0解析“存在xr有x2mxm0”是假命题，则“对任意xr有x2mxm0”是真命题即m24m0，4m0.4 (2012湖北改编)命题“存在x0rq，xq”的否定是()a存在x0d/rq，xqb存在x0rq，xd/qc任意xd/rq，x3qd任意xrq，x3d/q答案d解析“存在”的否定是“任意”，x3q的否定是x3d/q.命题“存在x0rq，xq”的否定是“任意xrq，x3d/q”，故应选d.5 有四个关于三角函数的命题：p1：存在xr，sin2cos2p2：存在x，yr，sin(xy)sin xsin yp3：对任意x0，sin xp4：sin xcos yxy其中的假命题是()ap1，p4 bp2，p4cp1，p3 dp2，p3答案a解析p1为假命题；对于p2，令xy0，显然有sin(xy)sin xsin y，即p2为真命题；对于p3，由sin2x，当x0，时，sin x0，sin x.于是可判断p3为真命题；对于p4，当x时，有sin xcos y，这说明p4是假命题.题型一含有逻辑联结词的命题的真假例1已知命题p1：函数y2x2x在r上为增函数，p2：函数y2x2x在r上为减函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(綈p1)或p2和q4：p1且(綈p2)中，真命题是()aq1，q3 bq2，q3cq1，q4 dq2，q4思维启迪：先判断命题p1、p2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假答案c解析命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真探究提高(1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解(2)解决该类问题的基本步骤：弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；明确其构成形式；根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假 写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假：(1)p：1是素数；q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2x10的两实根的符号相同；q：方程x2x10的两实根的绝对值相等解(1)p或q：1是素数或是方程x22x30的根真命题p且q：1既是素数又是方程x22x30的根假命题綈p：1不是素数真命题(2)p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题p且q：平行四边形的对角相等且互相垂直假命题綈p：有些平行四边形的对角线不相等真命题(3)p或q：方程x2x10的两实根的符号相同或绝对值相等假命题p且q：方程x2x10的两实根的符号相同且绝对值相等假命题綈p：方程x2x10的两实根的符号不相同真命题题型二含有一个量词的命题的否定例2写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：对任意xr，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x0r，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假解(1)綈p：存在x0r，xx00，真命题(4)綈s：对任意xr，x310，假命题探究提高全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论而一般命题的否定只需直接否定结论即可 (1)已知命题p：对任意xr，sin x1，则()a綈p：存在xr，sin x1b綈p：对任意xr，sin x1c綈p：存在xr，sin x1d綈p：对任意xr，sin x1(2)命题p：存在xr,2xx21的否定綈p为_答案(1)c(2)对任意xr,2xx21题型三逻辑联结词与命题真假的应用例3已知p：方程x2mx10有两个不相等的负实数根；q：不等式4x24(m2)x10的解集为r.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p，q的真假，然后判断“p且q”，“p或q”，“綈p”的真假解p为真命题m2；q为真命题4(m2)244101m3.由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，知p与q一真一假当p真，q假时，由m3；当p假，q真时，由10，设命题p：函数yax在r上单调递增；命题q：不等式ax2ax10对任意xr恒成立若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围解函数yax在r上单调递增，p：a1.不等式ax2ax10对任意xr恒成立，且a0，a24a0，解得0a4，q：0a4.“p且q”为假，“p或q”为真，p、q中必有一真一假当p真，q假时，得a4.当p假，q真时，得00，且c1，设p：函数ycx在r上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围审题视角(1)p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假规范解答解函数ycx在r上单调递减，0c1.2分即p：0c0且c1，綈p：c1.3分又f(x)x22cx1在上为增函数，c.即q：00且c1，綈q：c且c1.5分又“p或q”为真，“p且q”为假，p真q假或p假q真6分当p真，q假时，c|0c1.10分综上所述，实数c的取值范围是.12分第一步：求命题p、q对应的参数的范围第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p且q”或“p或q”第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真2要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假3全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集失误与防范1p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p且q为真命题，必须p、q同时为真2p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题4简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 下列命题中的假命题是()a存在x0r，lg x00 b存在x0r，tan x01c对任意xr，x30 d对任意xr,2x0答案c解析对于a，当x01时，lg x00，正确；对于b，当x0时，tan x01，正确；对于c，当x0时，x30，正确2 (2012湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()a任意一个有理数，它的平方是有理数b任意一个无理数，它的平方不是有理数c存在一个有理数，它的平方是有理数d存在一个无理数，它的平方不是有理数答案b3 (2012山东)设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图像关于直线x对称则下列判断正确的是 ()ap为真 b綈q为假cp且q为假 dp或q为真答案c解析p是假命题，q是假命题，因此只有c正确4 已知命题p：“对任意x1,2，x2a0”，命题q：“存在xr，使x22ax2a0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 ()aa|a2或a1 ba|a1ca|a2或1a2 da|2a1答案a解析由题意知，p：a1，q：a2或a1，“p且q”为真命题，p、q均为真命题，a2或a1，故选a.二、填空题(每小题5分，共15分)5 命题“对任意xr，exx”的否定是_答案存在xr，exx6 若命题p：关于x的不等式axb0的解集是x|x，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|ax0；命题q：1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是_答案(，3)(1,23，)解析因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，0，即2x0，解得x1或x3，由得x3或1x2或x3，所以x的取值范围是x3或1x2或x0.解(1)綈q：存在x0r，x0是5x120的根，真命题(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题(3)綈s：对任意xr，|x|0，假命题9 (12分)已知c0，设命题p：函数ycx为减函数命题q：当x时，函数f(x)x恒成立如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围解由命题p为真知，0c1，由命题q为真知，2x，要使此式恒成立，需，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0c；当p假q真时，c的取值范围是c1.综上可知，c的取值范围是.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2011安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ()a所有不能被2整除的整数都是偶数b所有能被2整除的整数都不是偶数c存在一个不能被2整除的整数是偶数d存在一个能被2整除的整数不是偶数答案d解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”2 (2012辽宁改编)已知命题p：对任意x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈p是()a存在x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0b对任意x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0c存在x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0d对任意x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)0答案c解析綈p：存在x1，x2r，(f(x2)f(x1)(x2x1)a的解集为r；q：函数f(x)(73a)x在r上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是 ()a1a2 b2ac2a d1a的解集为r；ba|f(x)(73a)x在r上是减函数由于函数y的最小值为1，故aa|a1，即a2，所以ba|a2要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为(ra)b(rb)a，而(ra)b1，)(，2)1,2)，(rb)a2，)(，1)，因此(ra)b(rb)a1,2)二、填空题(每小题5分，共15分)4 已知命题p：“对任意xr，存在mr,4x2x1m0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是_答案(，1解析若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x22xm0有实数解，由于m(4