中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件1.ppt

4 3等腰三角形与直角三角形 中考数学 湖南专用 a组2014 2018年湖南中考题组 五年中考 考点一等腰三角形 1 2016湖南怀化 8 4分 等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm 则它的周长为 a 16cmb 17cmc 20cmd 16cm或20cm 答案c已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm 当腰长是4cm时 三角形的三边长分别为4cm 4cm 8cm 这违背了三角形任意两边之和大于第三边的原理 当腰长是8cm时 三角形的三边长分别为8cm 8cm 4cm 符合三角形的三边关系 此时三角形的周长是20cm 故选c 2 2016湖南湘西 14 4分 一个等腰三角形一边长为4cm 另一边长为5cm 那么这个等腰三角形的周长是 a 13cmb 14cmc 13cm或14cmd 以上都不对 答案c当4cm为等腰三角形的腰长时 三角形的三边长分别是4cm 4cm 5cm 符合三角形的三边关系 此时 等腰三角形的周长为13cm 当5cm为等腰三角形的腰长时 三角形的三边长分别是5cm 5cm 4cm 符合三角形的三边关系 此时 等腰三角形的周长为14cm 故选c 思路分析分4cm为等腰三角形的腰长和5cm为等腰三角形的腰长 先判断是否符合三角形的三边关系 再求周长 易错警示此题是等腰三角形的性质题 主要考查了等腰三角形的性质 易在两个方面出错 忽视三角形的三边关系 没有进行分类讨论 3 2015湖南湘西 16 3分 如图 等腰三角形abc中 ab ac bd平分 abc a 36 则 1的度数为 a 36 b 60 c 72 d 108 答案c ab ac a 36 abc acb 180 a 72 bd平分 abc abd abc 36 1是 abd的外角 1 a abd 2 36 72 故选c 4 2018湖南湘潭 12 3分 如图 在等边三角形abc中 点d是边bc的中点 则 bad 答案30 解析 abc是等边三角形 bac 60 ab ac 又点d是边bc的中点 bad bac 30 思路分析根据等腰三角形三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质求解 5 2018湖南邵阳 17 3分 如图所示 在等腰 abc中 ab ac a 36 将 abc中的 a沿de向下翻折 使点a落在点c处 若ae 则bc的长是 答案 解析 ab ac a 36 b acb 72 将 abc中的 a沿de向下翻折 使点a落在点c处 ae ce a eca 36 ceb 72 bc ce ae 思路分析由折叠的性质可知ae ce 再证明 bce是等腰三角形即可得到bc ce 问题得解 解题关键本题考查了等腰三角形的判定和性质 折叠的性质以及三角形内角和定理 证明 bce是等腰三角形是解题的关键 6 2016湖南长沙 17 3分 如图 abc中 ac 8 bc 5 ab的垂直平分线de交ab于点d 交边ac于点e 则 bce的周长为 答案13 解析 de垂直平分ab ae be bce的周长为be ce bc ae ce bc ac bc 8 5 13 评析本题考查了线段垂直平分线的性质定理 即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 7 2017湖南株洲 22 8分 如图所示 正方形abcd的顶点a在等腰直角三角形def的斜边ef上 ef与bc相交于点g 连接cf 求证 dae dcf 证明 四边形abcd是正方形 edf是等腰直角三角形 adc edf 90 ad cd de df ade adf adf cdf ade cdf 在 ade和 cdf中 ade cdf 1 2018湖南衡阳 16 3分 将一副三角板如图放置 使点a落在de上 若bc de 则 afc的度数为 考点二直角三角形 答案75 解析 bc de fbc eab 45 afc是 aef的外角 afc fae e 45 30 75 2 2018湖南湘潭 15 3分 九章算术 是我国古代最重要的数学著作之一 在 匀股 章中记载了一道 折竹抵地 问题 今有竹高一丈 末折抵地 去本三尺 问折者高几何 翻译成数学问题是 如图所示 abc中 acb 90 ac ab 10 bc 3 求ac的长 如果设ac x 则可列方程为 答案x2 32 10 x 2 解析 ac x ac ab 10 ab 10 x 在rt abc中 acb 90 ac2 bc2 ab2 即x2 32 10 x 2 故可列方程为x2 32 10 x 2 3 2017湖南益阳 10 3分 如图 abc中 ac 5 bc 12 ab 13 cd是ab边上的中线 则cd 答案6 5 解析 在 abc中 ac 5 bc 12 ab 13 ac2 bc2 52 122 132 ab2 abc为直角三角形 且 acb 90 cd是ab边上的中线 cd ab 13 6 5 4 2015湖南株洲 15 3分 如图是 赵爽弦图 abh bcg cdf和 dae是四个全等的直角三角形 四边形abcd和efgh都是正方形 如果ab 10 ef 2 那么ah等于 答案6 解析设ah x 则ae x 2 bh ae x 2 在rt abh中 ab2 ah2 bh2 即102 x2 x 2 2 解得x1 6 x2 8 舍 故ah 6 5 2014湖南邵阳 17 3分 如图 在rt abc中 c 90 d为ab的中点 de ac于点e a 30 ab 8 则de的长度是 答案2 解析 d为ab的中点 ab 8 ad 4 de ac于点e a 30 de ad 2 b组2014 2018年全国中考题组 考点一等腰三角形 1 2015陕西 6 3分 如图 在 abc中 a 36 ab ac bd是 abc的角平分线 若在边ab上截取be bc 连接de 则图中等腰三角形共有 a 2个b 3个c 4个d 5个 答案d依题意 可知题图中的 abc aed bdc bde adb为等腰三角形 则共有5个等腰三角形 故选d 2 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一个底角为50 则它的顶角的度数为 答案80 解析 等腰三角形的两底角相等 180 50 2 80 顶角为80 3 2014内蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 则该等腰三角形的底角的度数为 解析如图 在 abc中 设ab ac bd ac于d 若三角形是锐角三角形 则 a 90 36 54 此时 底角 180 54 2 63 若三角形是钝角三角形 则 bac 36 90 126 此时 底角 180 126 2 27 综上 该等腰三角形底角的度数是63 或27 答案63 或27 评析本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理 属容易题 4 2017北京 19 5分 如图 在 abc中 ab ac a 36 bd平分 abc交ac于点d 求证 ad bc 证明 ab ac a 36 abc c 72 bd平分 abc abd 36 abd a ad bd bdc a abd 72 bdc c bd bc ad bc 5 2015北京 20 5分 如图 在 abc中 ab ac ad是bc边上的中线 be ac于点e 求证 cbe bad 证明 ab ac ad是bc边上的中线 ad bc bad cad be ac bec adc 90 cbe 90 c cad 90 c cbe cad cbe bad 考点二直角三角形 1 2017辽宁大连 8 3分 如图 在 abc中 acb 90 cd ab 垂足为d 点e是ab的中点 cd de a 则ab的长为 a 2ab 2ac 3ad a 答案b cd ab cd de a ce a 在 abc中 acb 90 点e是ab的中点 ab 2ce 2a 故选b 2 2016湖北荆州 8 3分 如图 在rt abc中 c 90 cab的平分线交bc于d de是ab的垂直平分线 垂足为e 若bc 3 则de的长为 a 1b 2c 3d 4 答案a de垂直平分ab da db b dab ad平分 cab cad dab c 90 3 cad 90 cad 30 ad平分 cab de ab cd ac cd de bd bc 3 cd de 1 3 2015北京 6 3分 如图 公路ac bc互相垂直 公路ab的中点m与点c被湖隔开 若测得am的长为1 2km 则m c两点间的距离为 a 0 5kmb 0 6kmc 0 9kmd 1 2km 答案d ac bc m是ab的中点 mc ab am 1 2km 故选d 4 2018福建 13 4分 如图 rt abc中 acb 90 ab 6 d是ab的中点 则cd 答案3 解析依题意可知cd是直角三角形abc斜边上的中线 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可得cd ab 3 5 2017山西 15 3分 一副三角板按如图方式摆放 得到 abd和 bcd 其中 adb bcd 90 a 60 cbd 45 e为ab的中点 过点e作ef cd于点f 若ad 4cm 则ef的长为cm 解析如图 连接de 过点e作em bd于点m 设ef交bd于点n ad 4cm a 60 ab 8cm db 4cm 点e为ab的中点 em bd de ab 4cm em ad 2cm 由等腰直角三角形的性质可知 enm fnd 45 在rt enm中 en em 2cm mn em 2cm dn dm mn db mn 2 2 cm 在rt dfn中 fn dn cm ef en fn 2 cm 答案 一题多解过点a作ag cd的延长线于点g cdb cbd 45 adb 90 adg 45 ag 2cm abd 30 bd ad 4cm cbd 45 bc 2cm ag cg ef cg cb cg ag ef bc e是ab的中点 点f为cg的中点 ef ag bc 2 2 cm 解后反思将原图形补充成梯形 利用梯形中位线的性质 梯形的中位线 上底 下底 求解 熟记一些结论有利于快速解题 c组教师专用题组 考点一等腰三角形 1 2018河北 8 3分 已知 如图 点p在线段ab外 且pa pb 求证 点p在线段ab的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 a 作 apb的平分线pc交ab于点cb 过点p作pc ab于点c且ac bcc 取ab中点c 连接pcd 过点p作pc ab 垂足为c 答案b无论作 apb的平分线pc交ab于点c 还是取ab中点c 连接pc或过点p作pc ab 垂足为c 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项a c d的作法正确 故选b 2 2017湖北武汉 10 3分 如图 在rt abc中 c 90 以 abc的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 abc的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 a 4b 5c 6d 7 答案d 如图1 以b为圆心 bc长为半径画弧 交ab于点d 则 bcd就是等腰三角形 如图2 以a为圆心 ac长为半径画弧 交ab于点e 则 ace就是等腰三角形 如图3 以c为圆心 bc长为半径画弧 交ab于m 交ac于点f 则 bcm bcf是等腰三角形 如图4 作ac的垂直平分线交ab于点h 则 ach就是等腰三角形 如图5 作ab的垂直平分线交ac于点g 则 agb就是等腰三角形 如图6 作bc的垂直平分线交ab于i 则 bci就是等腰三角形 故选d 3 2016湖南邵阳 8 3分 如图所示 点d是 abc的边ac上一点 不含端点 ad bd 则下列结论正确的是 a ac bcb ac bcc a abcd a abc 答案a ad bd a abd abc abd dbc abc a ac bc 4 2016湖南邵阳 13 3分 将等边 cba绕点c顺时针旋转 得到 cb a 使得b c a 三点在同一直线上 如图所示 则 的大小是 答案120 解析 cba是等边三角形 cba旋转到 cb a acb a cb 60 acb 60 由题意可知 bcb 是旋转角 bcb 120 5 2017湖北武汉 21 8分 如图 abc内接于 o ab ac co的延长线交ab于点d 1 求证 ao平分 bac 2 若bc 6 sin bac 求ac和cd的长 解析 1 证明 连接bo ab ac ob oc a o在线段bc的中垂线上 ao bc 又 ab ac ao平分 bac 2 如图 延长ao交bc于点h 过点d作dk ao 交ao于点k 由 1 知ao bc ob oc bc 6 bh ch bc 3 coh boc bac boc coh bac 在rt coh中 ohc 90 sin coh sin bac ch 3 sin coh co ao 5 oh 4 ah ao oh 5 4 9 tan coh tan dok 在rt ach中 ahc 90 ah 9 ch 3 tan cah ac 3 由 1 知 cah bah tan bah tan cah 设dk 3a a 0 在rt adk中 tan dak 在rt dok中 tan dok ok 4a do 5a ak 9a ao ok ak 13a 5 a do 5a cd oc do 5 一题多解 1 证明 连接ob ao ao bo co ab ac aob aoc bao cao 即ao平分 bac 2 过点c作ce ab 交ab于点e sin bac 可设ac 5m m 0 则ec 3m ae 4m be m 在rt cbe中 be2 ec2 bc2 即m2 3m 2 36 解得m 舍负 ac 3 延长ao交bc于点h 则ah bc 且bh ch 3 过点o作of ah 交ab于点f boc 2 bac boc 2 hoc bac hoc sin hoc sin bac 又hc 3 oc 5 oh 4 ah oa oh 9 tan bah of oa of bc 即 解得dc 6 2017四川成都 27 10分 问题背景 如图1 等腰 abc中 ab ac bac 120 作ad bc于点d 则d为bc的中点 bad bac 60 于是 图1迁移应用 如图2 abc和 ade都是等腰三角形 bac dae 120 d e c三点在同一条直线上 连接bd 图2 求证 adb aec 请直接写出线段ad bd cd之间的等量关系式 拓展延伸 如图3 在菱形abcd中 abc 120 在 abc内作射线bm 作点c关于bm的对称点e 连接ae并延长交bm于点f 连接ce cf 图3 证明 cef是等边三角形 若ae 5 ce 2 求bf的长 解析迁移应用 证明 abc和 ade都是等腰三角形 ad ae ab ac 又 dae bac 120 dae bae bac bae 即 dab eac adb aec sas dc ad bd 详解 由问题背景可知 在 ade中 有de ad 由 可知 bd ec dc de ec ad bd 拓展延伸 证明 如图所示 连接be c e关于bm对称 be bc fe fc ebf cbf efb cfb 四边形abcd是菱形 且 abc 120 ab bc be 过b作bg ae 则ag ge abg gbe gbf gbe ebf abc 120 60 cfb efb 30 即 efc 60 cef为等边三角形 ae 5 ge ga ef ce 2 gf ge ef 在rt gbf中 gfb 30 bf 3 思路分析迁移应用 根据sas证全等 由问题背景可知 de ad 由 可得 ec bd dc de ec ad bd 拓展延伸 要证明 cef为等边三角形 根据对称性可知 fe fc efb cfb 那么我们只需证明 efb 30 即可 在 的基础上 易得ge ae ef 2 则gf ge ef 在rt gbf中 bf 3 7 2017内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 等腰三角形abc中 bd ce分别是两腰上的中线 1 求证 bd ce 2 设bd与ce相交于点o 点m n分别为线段bo和co的中点 当 abc的重心到顶点a的距离与底边长相等时 判断四边形demn的形状 无需说明理由 解析 1 证明 ab ac是等腰 abc的两腰 ab ac bd ce是中线 ad ac ae ab ad ae 又 a a abd ace bd ce 2 四边形demn为正方形 提示 由mn de分别是 obc abc的中位线可得四边形demn是平行四边形 由 1 知bd ce 故可证oe od 从而四边形demn是矩形 再由 abc的重心到顶点a的距离与底边长相等可知四边形demn为正方形 8 2015福建龙岩 24 13分 如图 在rt abc中 acb 90 ac 6 bc 8 点d以每秒1个单位长度的速度由点a向点b匀速运动 到达b点即停止运动 m n分别是ad cd的中点 连接mn 设点d运动的时间为t 1 判断mn与ac的位置关系 2 求点d由点a向点b匀速运动的过程中 线段mn所扫过区域的面积 3 若 dmn是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 adc中 m是ad的中点 n是dc的中点 mn ac 3分 2 如图 分别取 abc三边中点e f g 并连接eg fg 根据题意可知线段mn扫过区域的面积就是 afge的面积 ac 6 bc 8 ae 3 gc 4 acb 90 s afge ae gc 12 线段mn扫过区域的面积为12 7分 3 解法一 依题意可知 md ad dn dc mn ac 3 i 当md mn 3时 dmn为等腰三角形 此时ad ac 6 t 6 9分 ii 当md dn时 ad dc 过d作dh ac交ac于h 则ah ac 3 cosa ad t 5 11分 iii 当dn mn 3时 ac dc 连接mc 则cm ad cosa 即 am ad t 2am 综上所述 当t 5或6或时 dmn为等腰三角形 13分 解法二 依题意可知 md ad dn dc mn ac 3 i 当md mn 3时 dmn为等腰三角形 此时ad ac 6 t 6 9分 ii 当md dn时 ad dc dac acd acb 90 bcd acd 90 b bac 90 b bcd bd cd ad 在rt abc中 ab 10 t ad ab 5 11分 iii 当dn mn 3时 ac dc 连接mc 则cm ab s acb bc ac ab mc cm 在rt amc中 am t ad 2am 综上所述 当t 5或6或时 dmn为等腰三角形 13分 9 2015重庆 25 12分 如图1 在 abc中 acb 90 bac 60 点e是 bac的平分线上一点 过点e作ae的垂线 过点a作ab的垂线 两垂线交于点d 连接db 点f是bd的中点 dh ac 垂足为h 连接ef hf 1 如图1 若点h是ac的中点 ac 2 求ab bd的长 2 如图1 求证 hf ef 3 如图2 连接cf ce 猜想 cef是否是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1 图2 解析 1 点h是ac的中点 ac 2 ah ac 1分 acb 90 bac 60 abc 30 ab 2ac 4 2分 da ab dh ac dab dha 90 dah 30 ad 2 3分 在rt adb中 dab 90 bd2 ad2 ab2 bd 2 4分 2 证明 连接af 如图 f是bd的中点 dab 90 af df fda fad 5分 de ae dea 90 dha 90 dah 30 dh ad ae平分 bac cae bac 30 dae 60 ade 30 ae ad ae dh 6分 fda fad hda ead 60 fda hda fad ead fdh fae 7分 fdh fae sas fh fe 8分 3 cef是等边三角形 9分 理由如下 取ab的中点g 连接fg cg 如图 f是bd的中点 fg da fg da fga 180 dag 90 又 ae ad ae fg 在rt abc中 acb 90 点g为ab的中点 cg ag 又 cab 60 gac为等边三角形 10分 ac cg acg agc 60 fgc 30 fgc eac fgc eac sas 11分 cf ce ace gcf ecf ecg gcf ecg ace acg 60 cef是等边三角形 12分 10 2014黑龙江哈尔滨 28 10分 如图 在四边形abcd中 对角线ac bd相交于点e 且ac bd adb cad abd bad 3 cbd 1 求证 abc为等腰三角形 2 m是线段bd上一点 bm ab 3 4 点f在ba的延长线上 连接fm bfm的平分线fn交bd于点n 交ad于点g 点h为bf中点 连接mh 当gn gd时 探究线段cd fm mh之间的数量关系 并证明你的结论 解析 1 证明 如图1 作 bap dae ap交bd于p 图1 设 cbd cad adb cad abd ape bap abd ape adb ap ad 1分 ac bd pae dae 2分 pad 2 bad 3 bad 3 cbd 3 3 3分 ac bd acb 90 90 abc 180 bac acb 90 acb abc 4分 ab ac abc为等腰三角形 5分 2 2mh fm cd 6分 证明 如图2 由 1 知 ap ad ab ac bap cad abp acd abe acd 7分 ac bd gdn 90 gn gd gnd gdn 90 agf ngd 2 afg bad agf 3 2 fn平分 bfm nfm fmn 90 8分 h为bf中点 bf 2mh 在fb上截取fr fm 连接rm 图2 frm fmr 90 abc 90 frm abc rm bc cbd rmb cad cbd rmb cad 9分 又 rbm acd rmb dac fb fm br cd 2mh fm cd 10分 评析本题是一道综合题 主要考查了等腰三角形的判定 三角形全等的判定及三角形相似的判定等知识 所探究的线段之间的数量关系较复杂 综合性较强 属难题 考点二直角三角形 1 2017内蒙古包头 12 3分 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab 垂足为d af平分 cab 交cd于点e 交cb于点f 若ac 3 ab 5 则ce的长为 a b c d 答案a过f作fg ab于点g af平分 cab acb 90 fc fg 易证 acf agf ac ag 5 6 90 b 6 90 5 b 3 1 5 4 2 b 1 2 3 4 ce cf ac 3 ab 5 bc 4 在rt bfg中 设cf x x 0 则fg x bf 4 x bg ab ag 5 3 2 由bf2 fg2 bg2 得 4 x 2 x2 22 解得x ce cf 选a 2 2014湖南张家界 7 3分 如图 在rt abc中 acb 60 de是斜边ac的中垂线 分别交ab ac于d e两点 若bd 2 则ac的长是 a 4b 4c 8d 8 答案b acb 60 b 90 a 30 de是ac的中垂线 ad cd ecd a 30 bcd ecd 30 又 b dec 90 cd cd ced cbd ed bd 2 ce 2 ac 2ce 4 故选b 3 2018河南 15 3分 如图 man 90 点c在边am上 ac 4 点b为边an上一动点 连接bc a bc与 abc关于bc所在直线对称 点d e分别为ac bc的中点 连接de并延长交a b所在直线于点f 连接a e 当 a ef为直角三角形时 ab的长为 答案4或4 思路分析由题意知 点b为边an上的动点 a点的对称点a 可以在直线de的下方或上方 分类讨论 当点a 在de的下方时 a ef不可能为直角三角形 当点a 在直线de上方时 a ef或 a fe为90 时分别计算ab的长 显然 ea f 90 可以排除 方法总结解对称 折叠 型问题 当对称轴过定点时 一般要找出对称中的定长线段 以定点为圆心 定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法 再根据题目中所要求的条件 结合全等 相似或勾股定理等计算得出结果 4 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 abc中 d e分别为ab bc的中点 ef ac于点f g为ef的中点 连接dg 则dg的长为 答案 疑难突破本题主要依据等边三角形的性质 勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段dg的长 dg与图中的线段无直接的关系 所以应根据条件连接de 构造直角三角形 运用勾股定理求出dg的长 思路分析连接de 根据题意可得de ac 又ef ac 可得到 fec的度数 判断出 deg是直角三角形 再根据勾股定理即可求解dg的长 5 2015山东聊城 15 3分 如图 在 abc中 c 90 a 30 bd是 abc的平分线 若ab 6 则点d到ab的距离是 答案 解析 c 90 a 30 ab 6 abc 60 bc 3 bd平分 abc cbd abc 30 点d到ab的距离等于dc 在rt bdc中 dc tan dbc bc 3 点d到ab的距离等于 6 2017河南 15 3分 如图 在rt abc中 a 90 ab ac bc 1 点m n分别是边bc ab上的动点 沿mn所在的直线折叠 b 使点b的对应点b 落在边ac上 若 mb c为直角三角形 则bm的长为 解析在rt abc中 a 90 ab ac b c 45 1 当 mb c 90 时 b mc c 45 设bm x 则b m b c x 在rt mb c中 由勾股定理得mc x x x 1 解得x 1 bm 1 2 如图 当 b mc 90 时 点b 与点a重合 此时bm b m bc 综上所述 bm的长为1或 答案或1 7 2015辽宁辽阳 15 3分 如图 在 abc中 bd ac于d 点e为ab的中点 ad 6 de 5 则线段bd的长等于 答案8 解析 bd ac于d 点e为ab的中点 de 5 ab 2de 2 5 10 在rt abd中 bd 8 8 2018浙江杭州 21 10分 如图 在 abc中 acb 90 以点b为圆心 bc长为半径画弧 交线段ab于点d 以点a为圆心 ad长为半径画弧 交线段ac于点e 连接cd 1 若 a 28 求 acd的度数 2 设bc a ac b 线段ad的长是方程x2 2ax b2 0的一个根吗 说明理由 若ad ec 求的值 解析 1 acb 90 a 28 b 62 由题意知bd bc bcd bdc 59 acd 90 bcd 31 2 线段ad的长是方程x2 2ax b2 0的一个根 理由如下 由勾股定理得ab ad a 解方程x2 2ax b2 0 得x a 线段ad的长是方程x2 2ax b2 0的一个根 ad ae ad ec ae ec 由勾股定理得a2 b2 整理得 思路分析 1 根据三角形内角和定理求出 b 再根据等腰三角形的性质求出 bcd 根据 acd为 bcd的余角计算即可 2 根据勾股定理求出ab 进而得到ad 利用求根公式解方程 比较即可 根据勾股定理及等量关系列出等式 化简 整理即可 方法总结本题考查的是勾股定理 一元二次方程的解法 掌握一元二次方程的求根公式 熟练应用勾股定理是解题的关键 9 2015广西柳州 21 6分 如图 在 abc中 d为ac边的中点 且db bc bc 4 cd 5 1 求db的长 2 在 abc中 求bc边上高的长 解析 1 db bc bc 4 cd 5 bd 3 2 过点a作ae cb 交cb的延长线于点e db bc ae bc ae db d为ac边的中点 bd ae ae 6 即bc边上高的长为6 思路分析 1 直接利用勾股定理得出bd的长 2 作bc边上的高线ae 利用三角形中位线定理得bd ae 即可得到结论 a组2016 2018年模拟 基础题组考点一等腰三角形 三年模拟 1 2018湖南邵阳模拟 8 下列命题正确的有 以40 角为内角的两个等腰三角形必相似 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则这个等腰三角形的底角为75 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 一个等腰直角三角形的三边长分别是a b c a b c 那么a2 b2 c2 2 1 1 若 abc的三边长a b c满足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 则此三角形为等腰直角三角形 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案a 以40 角为内角两个等腰三角形有2种情况 一是顶角为40 的等腰三角形 二是底角为40 的等腰三角形 那么这两个三角形不相似 所以此命题不正确 高在三角形内部时 顶角为30度 底角为75度 高在三角形外部时 顶角的补角为30度 底角为15度 所以有2种情况 所以此命题不正确 一组对边平行 另一组对边相等的四边形也可以是梯形 所以此命题不正确 一个等腰直角三角形的三边长分别是a b c a b c a为等腰直角三角形的斜边 a2 2b2 2c2 a2 b2 c2 2 1 1 此命题正确 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c a 5 2 b 12 2 c 13 2 0 a 5 0 b 12 0 c 13 0 即a 5 b 12 c 13 52 122 132 5 12 abc是直角三角形 而不是等腰直角三角形 此命题不正确 因此命题正确的有1个 故选a 评析此题主要考查三角形内角和定理 平行四边形的判定 相似三角形的判定 等腰三角形的性质 等腰直角三角形的性质 配方法的应用等知识点 属于难题 2 2017湖南株洲三模 6 等腰三角形顶角是84 则一腰上的高与底边所成的角的度数是 a 42 b 60 c 36 d 46 答案a如图 abc中 ab ac bd是边ac上的高 a 84 且ab ac abc c 180 84 2 48 在rt bdc中 bdc 90 c 48 dbc 90 48 42 故选a 3 2017湖南湘潭四模 10 如图 过边长为3的等边 abc的边ab上一点p 作pe ac于e q为bc延长线上一点 当pa cq时 连接pq交边ac于点d 则de的长为 a 1b c 2d 不能确定 答案b如图 过p作pf bc交ac于点f pf bc abc是等边三角形 pfd qcd apf b 60 afp acb 60 a 60 apf是等边三角形 ap pf af pe ac ae ef ap pf ap cq pf cq 在 pfd和 qcd中 pfd qcd fd cd ae ef ef fd ae cd ae cd de ac ac 3 de 故选b 4 2016湖南娄底新化一模 16 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2 4x 3 0的根 则该三角形的周长是 答案7 解析x2 4x 3 0 解得x1 3 x2 1 当三角形的腰为3 底为1时 三角形的周长为3 3 1 7 当三角形的腰为1 底为3时不符合三角形三边的关系 舍去 故该三角形的周长为7 考点二直角三角形 1 2018湖南益阳模拟 8 直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角度数为 a 150 b 135 c 120 d 120 或135 答案b直角三角形中 两锐角的度数和为90 则两锐角的各一半的度数和为45 根据三角形内角和为180 可得钝角度数为135 故选b 2 2018湖南长沙周南中学模拟 8 如图 mon 90 矩形abcd的顶点a b分别在边om on上 当b在边on上运动时 a随之在边om上运动 矩形abcd的形状保持不变 其中ab 2 bc 1 则运动过程中 点d到点o的最大距离为 a 1b c d 答案a如图 取ab的中点e 连接oe de od od oe de 当o e d三点共线时 点d到点o的距离最大 此时 矩形abcd中 ab 2 bc 1 oe ae ab 1 de od的最大值为 1 故选a 解题关键取ab的中点e 连接oe de od 根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当o e d三点共线时 点d到点o的距离最大 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出oe的长 再根据勾股定理求出de的长 两者相加即可得解 评析本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 三角形的三边关系 矩形的性质 勾股定理 根据三角形的三边关系判断出o e d三点共线时 点d到点o的距离最大是解题的关键 3 2017辽宁沈阳一模 9 如图 折叠直角三角形abc纸片 使两锐角顶点a c重合 设折痕为de 若ab 4 bc 3 则bd的长是 a b 1c d 答案a由题意知ad dc 设db x 则ad 4 x 故dc 4 x dbc 90 db2 bc2 dc2 即x2 32 4 x 2 解得x bd 故选a 4 2018湖南株洲模拟 16 如图 在 abc中 c 90 bac 60 d为bc上一点 过点d作de ab 垂足为e 连接ad 若cd de 1 则ab的长为 答案2 解析 在 abc中 c 90 de ab cd de 1 bac 60 cad bad bac 30 在 ade中 aed 90 ead 30 ad 2de 2 在 adc中 c 90 ac 在 abc中 c 90 b 90 bac 30 ab 2ac 2 5 2018湖南永州模拟 15 如图 已知 abc中 ab ac c 30 ab ad ad 4 则bc 答案12 解析 ab ac c 30 b 30 又 ab ad adb 60 dac 30 ad dc 4 在rt abd中 b 30 ad 4 bd 8 bc bd dc 8 4 12 一 选择题 每小题3分 共3分 b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 15分钟分值 25分 1 2017湖南长沙周南中学联考 10 为增加绿化面积 某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖 更换后 图中阴影部分为植草区域 设正八边形与其内部小正方形的边长都为a 则阴影部分的面积为 a 2a2b 3a2c 4a2d 5a2 答案a如图 由题可知 ab a 且 cab cba 45 ac bc a s abc a a 又 正八边形中间是边长为a的正方形 阴影部分的面积为a2 4 a2 2a2 故选a 二 填空题 每小题4分 共4分 2 2017湖南邵阳五模 15 如图 在平行四边形abcd中 e是ad边上的中点 若 abe ebc ab 2 则平行四边形abcd的周长是 答案12 解析 ad bc aeb ebc abe ebc abe aeb ab ae e是ad边上的中点 ad 2ab ab 2 ad 4 平行四边形abcd的周长 2 4 2 12 3 2018湖南新化模拟 25 已知 如图所示 abc是边长为6cm的等边三角形 动点p q同时从a b两点出发 分别在ab bc边上匀速移动 它们的速度分别为vp 2cm s vq 1cm s 当点p到达点b时 p q两点停止运动 设点p的运动时间为ts 1 当t何值时 pbq为等边三角形 2 当t何值时 pbq为直角三角形 三 解答题 共18分 解析由题意可知ap 2tcm bq tcm 则bp ab ap 6 2t cm 其中0 t 3 1 当 pbq为等边三角形时 有bp bq 即6 2t t 解得t 2 经检验 符合题意 当t 2s时 pbq为等边三角形 2 当pq bq时 pbq为直角三角形 b 60 bpq 30 在rt pbq中 bp 2bq 即6 2t 2t 解得t 1 5 经检验 符合题意 当pq bp时 同理可得bq 2bp 即t 2 6 2t 解得t 2 4 经检验 符合题意 综上可知当t为1 5s或2 4s时 pbq为直角三角形 解题关键本题主要考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的性质 利用t表示出bp和bq 化 动 为 静 是解题的关键 4 2018湖南新晃模拟 26 abc的边bc在直线l上 点d e是直线l上的两点 且ba bd ca ce 1 如图1 若ab ac bac 90 求 dae的度数 2 如图2 若 bac 90 求 dae的度数 3 如图3 设 bac dae 请写出 之间的数量关系 并说明理由 解析 1 ba bd ca ce adb dab aec cae ab ac bac 90 abc acb 45 acb aec cae 2 aec abc adb dab 2 adb aec adb 45 22 5 dae 180 aec adb 135 2 bac 90 acb abc 90 ab bd bad bda ca ce aec cae acd 2 cae adb acd dac bad dac 90 2 cae dac dac 90 cae dac 45 dae 45 bad bda ac ce aec cae bac dae bad cae 90 3 bac abc acb 180 ab bd 解题关键本题考查了等腰三角形的性质 直角三角形的性质 三角形内角和定理 熟练掌握三角形