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文档简介
1 一 微分中值定理及其应用 1 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 2 2 微分中值定理的主要应用 1 研究函数或导数的性态 2 证明恒等式或不等式 3 证明有关中值问题的结论 3 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 设辅助函数 一般解题方法 证明含一个中值的等式或根的存在 可用原函数法找辅助函数 多用罗尔定理 3 2 所证式中出现两端点 可考虑用 拉格朗日定理 3 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 可考虑用 柯西中值定理 4 若结论中含两个或两个以上的中值 必须多次应用 中值定理 5 若已知条件中含高阶导数 多考虑用泰勒公式 6 若结论为不等式 要注意适当放大或缩小的技巧 有时也可考虑对导数用中值定理 4 例1 设函数f x 在 0 3 上连续 在 0 3 内可导 且 分析 所给条件可写为 试证必存在 想到找一点c 使 证 因f x 在 0 3 上连续 所以在 0 2 上连续 且在 0 2 上有最大值M与最小值m 故 由介值定理 至少存在一点 由罗尔定理知 必存在 5 例3 且 试证存在 分析 欲证 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 可考虑用 柯西中值定理 6 例3 且 试证存在 证 因f x 在 a b 上满足拉格朗日中值定理条件 故有 故有 将 代入 化简得 7 若结论中含两个或两个以上的中值 必须多次应用 中值定理 分析 问题转化为证 8 例5 设函数 在 上二阶可导 且 证明 5 若已知条件中含高阶导数 多考虑用泰勒公式 6 若结论为不等式 要注意适当放大或缩小的技巧 有时也可考虑对导数用中值定理 分析 9 例5 设函数 在 上二阶可导 且 证明 证 由泰勒公式得 两式相减得 10 求下列极限 解 例6 11 令 则 原式 解 用洛必达法则 继续用洛必达法则 12 解 原式 13 例7 求 解法1利用中值定理求极
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