线性代数 第三章自测题参考答案.pdf

自测题 三 参考答案与提示 自测题 三 参考答案与提示 一 1 2 n 2 方程组的未知量个数为 3 由基础解系所含向量个数与系数矩阵的秩的关系 可知 1 不妨设所求方程组为 R A 123 0axbxcx 并将代入 得 故方程组的系数矩阵为 12 1 1abc 1 1 1 A 二 1 D 2 D 三 12341234 13 11 0145 37570000 A 得基础解系 1 2 3 4 1114 45 10 01 x x x x 四 111101101 1 2 11131 0012 1 2 11231 200000 A 可见 RR AA 方程组有解 并有 124 34 1 2 21 2 xxx xx 取 则 24 0 xx 13 1 2xx 即得原方程组的一个特解 T 1 2 0 1 2 0 对应齐次线性方程组的基础解系 T 1 1 1 0 0 T 2 1 0 2 1 原方程组的通解为 1 12212 kkkkR 五 考虑向量方程 112233 0kkk 03 0422 0 321 321 31 akkk kkk kk 0 13 422 101 a 即 02 3 2 a 即2 a 六 当 Rn A时 12 n 0 线性无关 设 1122231 nn kkk 于是有 1231 0 0 0 nn kkkkkk n 可见当为偶数时 有非零解 当n为奇数时 n Bx0 Bx0无非零解 七 由的每一列均为的解 那么矩阵中列向量组的秩必小于等于的解 向量组的秩 即有 R R B A x0B A x0 B s 21 nR A 所以 RRn AB 八 1 由已知 得矩阵的 秩小于 3 又 1223123123 101 11 011 aa 123 线性无关 所以矩阵 101 11 011 a 4 一定不可逆 推出 2a 2 方程组 1223123 a x可化为 123123 1011 11 1 0112 a x 因为 123 线性无关 所以原方程组与方程组同解 1011 111 0112 a x 由此求出通解 11 12 10 k 九 方程组的系数行列式 3 3 abbb babb ab ab bbab bbba A b 1 当且时 方程组仅有零解 ab 3a 2 当时 对系数矩阵作行初等变换得原方程组的同解方程组 其基础解系为 ab A 1234 0 xxxx T 1 1 1 0 0 T 2 1 0 1 0 T 3 1 0 0 1 于是方程组的通解为 1 12233 kkk x b 4 其中为任意常数 123 k k k 3 当时 对系数矩阵作初等行变换 得原方程组的同解方程组为3a A 14 2 34 xx xx xx 由此得基础解系为 T 1 1 1 1 于是方程组的通解为 其中 k 为任意常数 k x 十 2 113112 112 0113 1 11200 1 2 3 1 aaa aaa aa a A a a 于是可知 当 a1 且 a 2 时 方程组有唯一解 当 a 2 时 方程组无解 当 a 1 时 方程组有无穷多解 通解为 x k1 k2为任意常数 1 1 0 1 0 1 2 0 0 21 3 2 1 kk x x x 十一 必要性 由及知 ABO BO A x0有非零解 所以0 A 充分性 若0 A 则 A x0有非零解 记为 令 0 x 0 BxO0 00 满足 ABO 十二 因为方程组的增广矩阵A的行向量组是的行向量组的部分组 所以CA的行向量组 可由的行向量组线性表示 于是CA的