【步步高】高考数学总复习 8.2平面的基本性质与推论配套文档 理 新人教B版 (1).DOC

8.2平面的基本性质与推论1 平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线(2)平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2 直线与直线的位置关系(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于a点，并记作a. ()(4)两个平面abc与dbc相交于线段bc. ()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面 ()2 已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ()a一定是异面直线 b一定是相交直线c不可能是平行直线 d不可能是相交直线答案c解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾3 下列命题正确的个数为 ()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合a0 b1c2 d3答案c解析经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确4. 如图，l，a、b，c，且cl，直线ablm，过a，b，c三点的平面记作，则与的交线必通过()a点ab点bc点c但不过点md点c和点m答案d解析ab，mab，m.又l，ml，m.根据公理3可知，m在与的交线上同理可知，点c也在与的交线上5 已知空间四边形abcd中，m、n分别为ab、cd的中点，则下列判断：mn(acbd)；mn(acbd)；mn(acbd)；mn(acbd)其中正确的是_答案解析如图，取bc的中点o，连接mo、no，则omac，onbd，在mon中，mnomon(acbd)，正确.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e、c、d1、f四点共面；(2)ce、d1f、da三线共点思维启迪(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；(2)可以先证ce与d1f交于一点，然后再证该点在直线da上证明(1)连接ef，cd1，a1b.e、f分别是ab、aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e、c、d1、f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da.ce、d1f、da三线共点思维升华基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据；基本性质2及推论是判断或证明点、线共面的依据；基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据(1)以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a、b、c、d共面，点a、b、c、e共面，则点a、b、c、d、e共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是 ()a0 b1 c2 d3(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定_个平面答案(1)b(2)9解析(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点a、b、c，但是若a、b、c共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形(2)a、b是异面直线，a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个题型二判断空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1、b1c1的中点问：(1)am和cn是否是异面直线？说明理由；(2)d1b和cc1是否是异面直线？说明理由思维启迪第(1)问，连接mn，ac，证mnac，即am与cn共面；第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下：连接mn、a1c1、ac.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，mna1c1.又a1a綊c1c，a1acc1为平行四边形，a1c1ac，mnac，a、m、n、c在同一平面内，故am和cn不是异面直线(2)是异面直线证明如下：abcda1b1c1d1是正方体，b、c、c1、d1不共面假设d1b与cc1不是异面直线，则存在平面，使d1b平面，cc1平面，d1、b、c、c1，与abcda1b1c1d1是正方体矛盾假设不成立，即d1b与cc1是异面直线思维升华(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等(1)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是()amn与cc1垂直bmn与ac垂直cmn与bd平行dmn与a1b1平行(2)在图中，g、n、m、h分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)(3)下列命题中不正确的是_(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面答案(1)d(2)(3)解析(1)连接b1c，b1d1，则点m是b1c的中点，mn是b1cd1的中位线，mnb1d1，cc1b1d1，acb1d1，bdb1d1，mncc1，mnac，mnbd.又a1b1与b1d1相交，mn与a1b1不平行，故选d.(2)图中，直线ghmn；图中，g、h、n三点共面，但m面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g、m、n共面，但h面gmn，因此gh与mn异面所以图、中gh与mn异面(3)没有公共点的两直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb，又ca，则ab，这与a，b异面矛盾，故cb；命题也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由基本性质2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面构造衬托平面研究直线相交问题典例：(5分)在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为棱aa1，cc1的中点，则在空间中与三条直线a1d1，ef，cd都相交的直线有_条思维启迪找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面进而研究公共交线问题解析方法一在ef上任意取一点m，直线a1d1与m确定一个平面，这个平面与cd有且仅有1个交点n，当m取不同的位置时就确定不同的平面，从而与cd有不同的交点n，而直线mn与这3条异面直线都有交点如图所示方法二在a1d1上任取一点p，过点p与直线ef作一个平面，因cd与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点q，连接pq，则pq与ef必然相交，即pq为所求直线由点p的任意性，知有无数条直线与三条直线a1d1，ef，cd都相交答案无数温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1 主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3可知这些点在交线上，因此共线2 判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面失误与防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()a充分非必要条件 b必要非充分条件c充分必要条件 d既非充分又非必要条件答案a解析“两条直线为异面直线”“两条直线无公共点”“两直线无公共点”“两直线异面或平行”故选a.2 若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()a一定平行b一定相交c一定是异面直线d平行、相交、是异面直线都有可能答案d解析当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交3 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()a(0，) b(0，)c(1，) d(1，)答案a解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.选a.4. 如图所示，平面平面l，a，b，abld，c，cl，则平面abc与平面的交线是()a直线acb直线abc直线cdd直线bc答案c解析易知d，d平面abc，c，c平面abc.平面abc平面cd.5 设p表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ()pa，paabp，baab，a，pb，pbb，p，ppba b c d答案d解析当ap时，pa，p，但a，错；ap时，错；如图，ab，pb，pa，由直线a与点p确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点p，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确二、填空题6 平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面7 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(只填序号)答案解析由公理4知正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确8. 如图，正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱c1d1、c1c的中点，有以下四个结论：直线am与cc1是相交直线；直线am与bn是平行直线；直线bn与mb1是异面直线；直线am与dd1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案解析直线am与cc1是异面直线，直线am与bn也是异面直线，故错误三、解答题9 如图，空间四边形abcd中，e、f、g分别在ab、bc、cd上，且满足aeebcffb21，cggd31，过e、f、g的平面交ad于点h.(1)求ahhd；(2)求证：eh、fg、bd三线共点(1)解2，efac，ef平面acd，而ef平面efgh，平面efgh平面acdgh，efgh，acgh.3.ahhd31.(2)证明efgh，且，efgh，efgh为梯形令ehfgp，则peh，而eh平面abd，又pfg，fg平面bcd，平面abd平面bcdbd，pbd.eh、fg、bd三线共点10在三棱锥pabc中，e是pc的中点求证：ae与pb是异面直线证明假设ae与pb共面，设平面为，a，b，e，平面即为平面abe，p平面abe，这与p平面abe矛盾，所以ae与pb是异面直线b组专项能力提升(时间：30分钟)1 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案b解析当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面，故a不正确；l1l2，l2l3l1l3，故b正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故c不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故d不正确2. 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，g、h、m、n分别为de、be、ef、ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂