【步步高】高考数学总复习 7.1不等关系与一元二次不等式配套文档 理 新人教A版 (1).DOC

7.1不等关系与一元二次不等式1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、0).3.不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nn，n1)；(6)可开方：ab0 (nn，n2).4.“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1x|xrax2bxc0)的解集x|x1xbac2bc2.()(2)ab0，cd0.()(3)若ab0，则ab0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为r.()(6)不等式ax2bxc0在r上恒成立的条件是a0且b24ac0.()2.设abb.c.|a|bd.答案b解析由题设得aab0，所以有不成立.3.已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()a.(2,3)b.(，2)(3，)c.d.答案a解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3).4.若不存在整数x满足不等式(kxk24)(x4)0，则实数k的取值范围是_.答案1,4解析可判断k0或k0.于是原不等式即为k(x)(x4)0(x)(x4)0，1k4.5.(2013江苏)已知f(x)是定义在r上的奇函数.当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，当xx等价于或解得：x5，或5xb1，c；acloga(bc).其中所有正确结论的序号是()a.b.c.d.(2)(2012四川)设a，b为正实数.现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|b1，.又c，故结论正确； 函数yxc(cb，aclogb(bc)loga(bc)，故正确. 正确结论的序号是.(2)中，a2b2(ab)(ab)1，a，b为正实数，若ab1， 则必有ab1，不合题意，故正确.中，1，只需abab即可.如取a2，b满足上式，但ab1，故错.中，a，b为正实数，所以|1，且|ab|()()|1，故错.中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，则必有a2abb21，不合题意，故正确.思维升华判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.(1)若a，b，c，则()a.abcb.cbac.cabd.bac(2)若0，则下列不等式：0；ab；ln a2ln b2中，正确的不等式是()a.b.c.d.答案(1)c(2)c解析(1)易知a，b，c都是正数，log891，所以ba；log25321，所以ac.即cab.故选c.(2)由0，可知ba0.中，因为ab0，所以0.故有，即正确；中，因为baa0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又b，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.题型二一元二次不等式的解集例2求下列不等式的解集：(1)x28x30；(2)ax2(a1)x10，所以方程x28x30有两个不相等的实根x14，x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4x4.(2)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x0的解为x，则不等式2x2bxa0的解集是_.(2)不等式0的解集为_.答案(1)(2,3)(2)(，1 解析(1)由题意，知和是一元二次方程ax2bx20的两根且a0，所以，解得.则不等式2x2bxa0即2x22x120，其解集为x|2x3.(2)原不等式等价于(*)由(*)解得x1.题型三不等式恒成立问题例3设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.思维启迪(1)分m0和m0讨论，m0可结合图象看的条件；(2)可分离参数m，利用函数最值求m的范围.解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m0恒成立，试求实数a的取值范围.解因为x1，)时，f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立.即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立.而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)3，故a3.所以，实数a的取值范围是a|a3.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(10分)(1)(2012江苏)已知函数f(x)x2axb(a，br)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则x的取值范围为_.思维启迪(1)考虑函数f(x)、方程f(x)0和不等式的关系；(2)可把不等式看作关于a的一次不等式.解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x0对于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，联立方程解得x3.答案(1)9(2)x|x3温馨提醒本题解法中利用了转化与化归思想.(1)中利用“三个二次”之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化；(2)中将已知不等式看作关于a的一次不等式，体现了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.方法与技巧1.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差变形判断正负.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0时的情形.4.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解.失误与防范1.不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号.2.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.3.当0 (a0)的解集是r还是，要注意区别.a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()a.ab1b.ab1c.a2b2d.a3b3答案a解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分而不必要的条件是ab1.2.(2013陕西)设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有()a.xx b.2x2xc.xyxy d.xyxy答案d解析特殊值法.令x1.5，1.52，1.51，故a错；21.53,21.52，故b错；令x1.5，y0.5，xy2，xy101，故c错.3.已知pa，q，其中a2，xr，则p，q的大小关系是()a.pq b.pq c.pq d.pq答案a解析paa22224，当且仅当a3时取等号.因为x222，所以q24，当且仅当x0时取等号.所以pq.4.(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()a.x|xlg 2b.x|1xlg 2d.x|xlg 2答案d解析由已知条件010x，解得xlglg 2.5.若集合ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()a.a|0a4b.a|0a4c.a|0a4d.a|0a4答案d 解析由题意知a0时，满足条件.a0时，由得0a4，所以0a4.二、填空题6.已知a0，1b”连接)答案abab2a解析由1b0，可得bb21.又aab2a.7.函数y的定义域是_.答案(，43，)解析由x2x120得(x3)(x4)0，x4或x3.8.已知不等式x22xk210对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_.答案(，)(，)解析由题意，知441(k21)2，k或k0的解集是x|x0的解集.解(1)由题意知a0，即2x25x30，解得3x0的解集为(3，).10.(1)设xy，xy，求证：.(1)解方法一(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy).方法二xy0，xyy2，xy0.(x2y2)(xy)0，(x2y2)(xy)0，0(x2y2)(xy).(2)证明.且a，b(0，)，ba0，又xy0，bxay0，0，.b组专项能力提升(时间：30分钟)1.若a0的解集是()a.(，a)(5a，)b.(，5a)(a，)c.(5a，a)d.(a，5a)答案b解析由x24ax5a20得(x5a)(xa)0，a0，xa.2.设函数f(x)x21，对任意x，)，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_.答案m|m或m解析依据题意得14m2(x21)(x1)214(m21).在x，)上恒成立，即4m21在x，)上恒成立.当x时函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.3.设f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2)，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0，1a0，|a|1恒成立的x的取值范围.解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去.(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得，即，解得x4.5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为g(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入r(x)满足r(x)，假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要