【步步高】高考数学总复习 矩阵与变换配套文档 理 新人教A版选修42(1).docVIP

选修42矩阵与变换1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12_.(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：_.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：(4)两个二阶矩阵的乘法满足_律，但不满足_律和_律即(ab)ca(bc)，abba，由abac不一定能推出bc.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的_与后一个矩阵的_相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(kr，且k0)3逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵a、b，若有abbae，则称a是_，b称为a的_；(2)若二阶矩阵a、b均存在逆矩阵，则ab也存在逆矩阵，且(ab)1b1a1.4特征值与特征向量设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使a，那么称为a的一个_，而称为a的属于特征值的一个_5特征多项式设a是一个二阶矩阵，r，把行列式f()_，称为a的特征多项式1在切变变换m作用下，直线y2x1变为_2将椭圆1绕原点顺时针旋转45后得到新的曲线方程为_3在对应的线性变换作用下，圆(x1)2(y1)21变为_4计算：_.5矩阵的逆矩阵是_题型一求变换矩阵例1已知变换s把平面上的点a(3,0)，b(2,1)分别变换为点a(0,3)，b(1，1)，试求变换s对应的矩阵t.思维升华知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解二阶矩阵m对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵m；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程题型二求逆矩阵例2求矩阵a的逆矩阵思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设a是一个二阶可逆矩阵，abbae2；(2)公式法|a|adbc0，有a1.(2013江苏)已知矩阵a，b，求矩阵a1b.题型三特征值与特征向量例3已知矩阵m，求m的特征值及属于各特征值的一个特征向量思维升华已知a，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量已知二阶矩阵a有特征值11及对应的一个特征向量e1和特征值22及对应的一个特征向量e2，试求矩阵a.用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵m对应的变换t将点(1，1)与(2,1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵m；(2)设直线l在变换t作用下得到了直线m：xy4，求l的方程思维启迪(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解(2)知道直线l在变换t作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法规范解答解(1)设m，则，2分所以，且，解得，所以m.5分(2)因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，直线l的方程是xy20.10分温馨提醒(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1二阶矩阵与平面列向量乘法：，这是所有变换的基础2证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即abe2ba.3二元一次方程组相应的矩阵方程为axb，其中a为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量4若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值失误与防范1矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将ab写成ba.2矩阵乘法满足结合律，即(ab)ca(bc)3矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵a、b、c，当a0，且abac时，不一定有bc.a组专项基础训练1(2013江苏)已知矩阵a，b，求矩阵a1b.2(2012江苏)已知矩阵a的逆矩阵a1，求矩阵a的特征值3在直角坐标系中，oab的顶点坐标o(0,0)，a(2,0)，b(1，)，求oab在矩阵mn的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵m，n.4已知矩阵a，b.(1)求满足条件amb的矩阵m；(2)矩阵m对应的变换将曲线c：x2y21变换为曲线c，求曲线c的方程5已知矩阵p，q，若矩阵pq对应的变换把直线l1：xy40变为直线l2：xy40，求实数a、b的值6在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,0)，b(2,0)，c(2,1)设k为非零实数，矩阵m，n，点a、b、c在矩阵mn对应的变换下得到的点分别为a1、b1、c1，a1b1c1的面积是abc的面积的2倍，求k的值b组专项能力提升1设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足m，求二阶矩阵m.2(2012福建)设曲线2x22xyy21在矩阵a(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求a2的逆矩阵3已知矩阵a，其中ar，若点p(1,1)在矩阵a的变换下得到点p(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵a的特征值及特征向量4已知矩阵m的两个特征值分别为11和24.(1)求实数a，b的值；(2)求直线x2y30在矩阵m所对应的线性变换作用下的象的方程答案要点梳理1(1)a11b11a12b21(2)(4)结合交换消去列数行数3(1)可逆的逆矩阵4特征值特征向量52(ad)adbc夯基释疑1y12.7x27y22xy2403yx(2x0)4.5.题型分类深度剖析例1解设t，则t：，解得t：，解得综上可知，t.跟踪训练1解(1)设m，则有，所以，且，解得，所以m.(2)因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，整理得xy20，所以直线l的方程为xy20.例2解设逆矩阵为a1，则由，得解得所以a1.跟踪训练2解设矩阵a的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而a的逆矩阵为a1，所以a1b.例3解由(3)210，解得12，24.设矩阵m的特征向量为.当12时，由m2可得，可见，1是m的属于12的特征向量当24时，由m4可得，可见，2是m的属于24的特征向量. 跟踪训练3解设矩阵a，这里a，b，c，dr，因为是矩阵a的属于11的特征向量，则有，又因为是矩阵a的属于22的特征向量，则有，根据，则有从而a2，b1，c0，d1，因此a.练出高分a组1解设矩阵a的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而a的逆矩阵为a1，所以a1b.2解因为a1ae2，所以a(a1)1.因为a1，所以a(a1)1，于是矩阵a的特征多项式为f()234.令f()0，解得a的特征值11，24.3解mn，.可知o，a，b三点在矩阵mn作用下变换所得的点分别为o(0,0)，a(2,0)，b(2，1)可知oab的面积为1.4解(1)设m，am，得a0，b2，c3，d0.m.(2)设曲线c上任意一点p(x，y)在矩阵m对应的变换作用下变为点p(x，y)，则m，即代入曲线c：x2y21，得()2()21.曲线c的方程是1.5解因为pq，所以，在直线l1：xy40上任取一点(x，y)，则点(2bx，ay)在直线l2：xy40上，即2bxay40，所以.6解由题设得mn.由，可知a1(0,0)，b1(0，2)，c1(k，2)计算得abc的面积是1，a1b1c1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.b组1解依题设有，令a，则ma4，a2.ma4(a2)2.2解(1)设曲线2x22xyy21上任意点p(x，y)在矩阵a对应的变换作用下的象是p(x，y)由，得又点p(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，a，a2.所以|a2|1，(a2)1.3解(1)由题意得，所以a13，所以a4.(2)由(1)知a，令f()(1)240.解得a的特征值为1或3.当1时，由得矩阵a的属于特征值1的一个特征向量为，当3时，由得矩阵a的属于特征值3的一个特征向量为.4解(1)矩阵m的特征多项式为f()，f()(2)(b)2a2