山东省潍坊市高三数学一模试卷 理（含解析）.docVIP

2015年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015潍坊一模）集合m=x|（）x1，n=x|y=lg（x+2），则mn等于（） a 0，+） b （2，0 c （2，+） d （，2）0，+）【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出m和n，再利用两个集合的交集的定义求出 mn【解析】： 解：因为集合m=x|1=x|，所以m=x|x0，n=x|y=lg（x+2）=x|x2，所以ab=x|x0x|x2=x|2x0，故选：b【点评】： 本题考查解指数不等式、求对数的定义域以及集合的交集的定义与求算，属基础题2（5分）（2015潍坊一模）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=12i，则的虚部为（） a b c d 【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的对称性求出z2，然后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可【解析】： 解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=12i，z2=12i，则=复数的虚部为：故选：d【点评】： 本题考查复数的基本运算，复数的对称性，乘除运算，基本知识的考查3（5分）（2015潍坊一模）如果双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线xy+=0平行，则双曲线的离心率为（） a b c 2 d 3【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 渐近线与直线3xy+=0平行，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率【解析】： 解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线xy+=0平行双曲线的渐近线方程为y=x=，得b2=3a2，c2a2=3a2，此时，离心率e=2故选：c【点评】： 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题4（5分）（2015潍坊一模）已知函数y=f（x）的定义域为x|x0，满足f（x）+f（x）=0，当x0时，f（x）=1nxx+1，则函数）y=f（x）的大致图象是（） a b c d 【考点】： 函数的图象【专题】： 作图题【分析】： 利用已知条件判断函数的奇偶性，通过x0时，f（x）=1nxx+1判断函数的图象，然后判断选项即可【解析】： 解：因为函数y=f（x）的定义域为x|x0，满足f（x）+f（x）=0，所以函数是奇函数，排除c、d又函数当x0时，f（x）=1nxx+1，当x=10时，y=110+1=8，就是的图象在第四象限，a正确，故选a【点评】： 本题考查函数的图象的判断，注意函数的奇偶性以及函数的图象的特殊点的应用，考查判断能力5（5分）（2015潍坊一模）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22列联表： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计50岁以下 4 8 1250岁以上 16 2 18合计 20 10 30则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表：2=k 2，.706 3，.841 6，.636 10，.828p（2k） 0，.10 0，.05 0，.010 0，.001 a 90% b 95% c 99% d 99.9%【考点】： 独立性检验【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： 计算观测值，与临界值比较，即可得出结论【解析】： 解：设h0：饮食习惯与年龄无关因为2=106.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关故选：c【点评】： 本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键6（5分）（2015潍坊一模）下列结论中正确的是（）命题：x（0，2），3xx3的否定是x（0，2），3xx3；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若随机变量服从正态分布n（1，2），且p（2）=0.8，则p（01）=0.2；等差数列an的前n项和为sn，若a4=3，则s7=21 a b c d 【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 综合题；推理和证明【分析】： 对四个命题分别进行判断，即可得出结论【解析】： 解：命题：x（0，2），3xx3的否定是x（0，2），3xx3，正确；若直线l上有无数个点不在平面内，则l或l与相交，故不正确；若随机变量服从正态分布n（1，2），且p（2）=0.8，则p（2）=0.2，p（01）=0.50.2=0.3，不正确；等差数列an的前n项和为sn，若a4=3，则s7=7a4=21，正确故选：d【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强7（5分）（2015潍坊一模）如图，在abc中，点d在ac上，abbd，bc=3，bd=5，sinabc=，则cd的长为（） a b 4 c 2 d 5【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 由条件利用诱导公式求得coscbd的值，再利用余弦定理求得cd的值【解析】： 解：由题意可得sinabc=sin（+cbd）=coscbd，再根据余弦定理可得cd2=bc2+bd22bcbdcoscbd=27+25235=22，可得cd=，故选：b【点评】： 本题主要考查诱导公式、余弦定理，属于基础题8（5分）（2015潍坊一模）某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（） a b c d 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥，结和数据求出它的体积即可【解析】： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆锥的高为=2；该几何体的体积为v半圆锥=122=故选：a【点评】： 本题考查了利用空间几何体的三视图的求体积的应用问题，是基础题目9（5分）（2015潍坊一模）已知抛物线方程为y2=8x，直线l的方程为xy+2=0，在抛物线上有一动点p到y轴距离为d1，p到l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（） a 22 b 2 c 22 d 2+2【考点】： 抛物线的简单性质；抛物线的标准方程【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，过焦点f作直线xy+2=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得f，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值【解析】： 解：点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，过焦点f作直线xy+2=0的垂线，此时d1+d2最小，f（2，0），则d1+d2=2=22，故选：c【点评】： 本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，正确运用抛物线的定义是关键10（5分）（2015潍坊一模）对于实数m，n定义运算“”：mn=，设f（x）=（2x1）（x1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（） a （，0） b （，0） c （0，） d （0，）【考点】： 函数的零点与方程根的关系【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： 由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1x2x3的取值范围【解析】： 解：由2x1x1，得x0，此时f（x）=（2x1）*（x1）=（2x1）2+2（2x1）（x1）1=2x，由2x1x1，得x0，此时f（x）=（2x1）*（x1）=（x1）2（2x1）（x1）=x2+x，f（x）=（2x1）（x1）=，作出函数的图象可得，要使方程f（x）=m（mr）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1x2x3，则0x2x31，且x2和x3，关于x=对称，x2+x3=2=1则x2+x32，0x2x3，等号取不到当2x=时，解得x=，x10，0x2x3，x1x2x30，即x1x2x3的取值范围是（，0），故选：a【点评】： 本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上.11（5分）（2015潍坊一模）|x+3|+|x1|6的解集是x|x4或 x2【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 根据绝对值的意义求得不等式|x+2|+|x1|3的解集【解析】： 解：由于|x+3|+|x1|表示数轴上的x对应点到3、1对应点的距离之和，而2和4对应点到3、1对应点的距离之和正好等于6，故|x+3|+|x1|6的解集是x|x4或 x2，故答案为：x|x4或 x2【点评】： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题12（5分）（2015潍坊一模）运行右面的程序框图，如果输入的x的值在区间2，3内，那么输出的f（x）的取值范围是，9【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序，可得其功能是求分段函数f（x）=的值，根据实数x的取值范围即可求出函数的值域【解析】： 解：模拟执行程序，可得其功能是求分段函数f（x）=的值，所以，当x2，2时，f（x）=2x，4，当x（2，3时，f（x）=x2（4，9故如果输入的x的值在区间2，3内，那么输出的f（x）的取值范围是，9故答案为：，9【点评】： 本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应读懂框图，得出分段函数，从而做出正确解答，属于基础题13（5分）（2015潍坊一模）若变量x，y满足约束条件，且z=x+3y的最小值为4，则k=1【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解析】： 解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点b时，直线，的截距最小，此时z取得最小值为4，即x+3y=4，由，解得，即b（1，1），b同时也在直线y=k上，则k=1，故答案为：1【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法14（5分）（2015潍坊一模）对于实数x，x表示不超过x的最大整数，观察下列等式：按照此规律第n个等式的等号右边的结果为2n2+n【考点】： 归纳推理【专题】： 推理和证明【分析】： 由x表示不超过x的最大整数，分别研究等式的左边和右边，归纳出规律即可求出第n个等式的等号右边的结果【解析】： 解：因为x表示不超过x的最大整数，所以=1，=2，因为等式：，所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=13=3，第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=25=10，第3个式子的左边有7项、右边37=21，则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边=n（2n+1）=2n2+n，故答案为：2n2+n【点评】： 本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力15（5分）（2015潍坊一模）如图，正方形abcd中，e为ab上一点，p为以点a为圆心，以ab为半径的圆弧上一点，若=x+y（xy0），则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）若点e和a重合，点p和b重合，则x=1，y=1；若点e是线段ab的中点，则点p是圆弧的中点；若点e和b重合，且点p为靠近d点的圆弧的三等分点，则x+y=3；若点e与b重合，点p为上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 数形结合；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 以ab为x轴，ad为y轴建立直角坐标系，设正方形abcd的边长为1，若点e和a重合，点p和b重合，可求得e、p的坐标及向量=（0，1），=（1，0），利用=x+y（xy0）及向量的坐标运算可求得x=1，y=1，从而可判断；，若点e是线段ab的中点，点p是圆弧的中点，同理可求得，此方程组无解，从而可判断；，若点e和b重合，且点p为靠近d点的圆弧的三等分点，可求得x+y=，可判断；，若点e与b重合，点p（a，b）为上任一点，=x+y（1，1）=x（1，1）+y（a，b），利用a2+b2=1可得：+=1，整理得：x2=1，从而可判断【解析】： 解：以ab为x轴，ad为y轴建立直角坐标系，设正方形abcd的边长为1，如图，则a（0，0），b（1，0），c（1，1），d（0，1），=（1，1）因为=x+y（xy0），所以，对于，若点e和a重合，点p和b重合，则e（0，0），p（1，0），=（0，1），=（1，0），=x+y（1，1）=x（0，1）+y（1，0），即，故正确；则x=1，y=1；对于，若点e是线段ab的中点，则e（，0），=（，1）；若点p是圆弧的中点，则p（cos45，sin45），即p（，），=（，），=x+y（1，1）=x（，1）+y（，），即，此方程组无解，故错误；对于，若点e和b重合，则e（1，0），=（1，1）；又点p为靠近d点的圆弧的三等分点，则p（cos60，sin60），即p（，），=（，），=x+y（1，1）=x（1，1）+y（，），即，解得，则x+y=，故错误；对于，若点e与b重合，则e（1，0），=（1，1）；又点p（a，b）为上任一点，则=（a，b）（0a1，0b1，a2+b2=1），=x+y（1，1）=x（1，1）+y（a，b），即，由a2+b2=1得：+=1，整理得：x2=1，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分，故正确综上所述，说法正确的是，故答案为：【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积的坐标运算，考查等价转化思想、方程思想与运算求解能力、作图能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015潍坊一模）已知函数f（x）=sin（2wx）4sin2wx+2（w0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（，0），求当m取得最小值时，g（x）在，上的单调增区间【考点】： 函数y=asin（x+）的图象变换；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2wx+），再根据正弦函数的周期性求出的值，可得函数f（x）的解析式（2）由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律、g（x）的图象恰好经过点（，0），求得g（x）=sin（2x+）令2k2x+2k+，kz，求得x的范围可得函数的增区间，再结合合x，进一步确定g（x）的增区间【解析】： 解：（1）函数f（x）=sin（2wx）4sin2wx+2（w0）=sin2wxcos2wx4+2=sin2wx+cos2wx=sin（2wx+），根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2=，求得=1，故函数f（x）=sin（2x+）（2）将f（x）的图象向左平移m（m0）个长度单位得到函数g（x）=sin2（x+m）+=sin（2x+2m+）的图象，再根据g（x）的图象恰好经过点（，0），可得sin（2m）=0，故 m=，g（x）=sin（2x+）令2k2x+2k+，kz，求得kxk，故函数g（x）的增区间为k，k，kz再结合x，可得增区间为，、，【点评】： 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题17（12分）（2015潍坊一模）如图，已知平行四边形abcd与直角梯形abef所在的平面互相垂直，其中beaf，abaf，ab=be=af，bc=ab，cba=，p为df的中点（1）求证：pe平面abcd；（2）求平面def与平面abcd所成角（锐角）的余弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】： （i）如图所示，取ad的中点m，连接mp，mb又p为df的中点利用三角形的中位线定理可得，验证，可得，四边形bmpe为平行四边形，得到pebm，可得pe平面abcd；（ii）连接ac，在abc中，由余弦定理可得ac=ab，acab由平面abcd平面abef，可得ac平面abef分别以ab，af，ac为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设ab=1，设平面def的法向量为=（x，y，z），则，可得取平面abcd的一个法向量=（0，1，0），利用=，即可得出【解析】： （i）证明：如图所示，取ad的中点m，连接mp，mb又p为df的中点，又，四边形bmpe为平行四边形，pebm，而pe平面abcd，bm平面abcd，pe平面abcd；（ii）解：连接ac，在abc中，bc=ab，cba=，由余弦定理可得：ac2=bc2+ab22bcabcoscba=ab2，ac=ab，abc是等腰直角三角形，acab平面abcd平面abef，平面abcd平面abef=ab，ac平面abef分别以ab，af，ac为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设ab=1，则a（0，0，0），b（1，0，0），e（1，1，0），c（0，0，1），d（1，0，1），f（0，2，0）=（2，1，1），=（1，2，1）设平面def的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=3=（1，1，3）取平面abcd的一个法向量=（0，1，0），则=平面def与平面abcd所成角（锐角）的余弦值为【点评】： 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2015潍坊一模）某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：80，90），90，100），100，110），110，120（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90，100）内的人数为随机变量x，求x的分布列及数学期望ex【考点】： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： （1）根据频率分布直方图，求出a的值，计算成绩在各分数段内的学生数，计算满足条件的事件的概率即可；（2）根据题意得出x的可能取值，计算对应的概率，求出x的分布列与数学期望即可【解析】： 解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1（+）10=，解得a=；成绩在80，90）分的学生有3610=3人，成绩在90，100）分的学生有3610=6人，成绩在100，110）分的学生有3610=18人，成绩在110，120）分的学生有3610=9人；记事件a为“抽取3名学生中同时满足条件的事件”，包括事件a1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在90，100）分之间”，事件a2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在90，100）分之间”，且a1、a2是互斥事件；p（a）=p（a1+a2）=p（a1）+p（a2）=+=+=；（2）随机变量x的可能取值为0，1，2，3；p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=；x的分布列为 x 0 1 2 3p 数学期望为ex=0+1+2+3=2【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了互斥事件的概率以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目19（12分）（2015潍坊一模）已知各项为正数的等比数列数列an的前n项和为sn，数列bn的通项公式bn=（nn*），若s3=b5+1，b4是a2和a4的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和为tn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由已知得b5=6，b4=4，从而q=2，a1=1，由此能求出数列an的通项公式（2）当n为偶数时，利用分组求和法和错位相减法能求出+=（n）2n+当n为奇数，且n3时，tn=tn1+（n+1）2n1=+，由此能求出tn【解析】： 解：（1）数列bn的通项公式bn=（nn*），b5=6，b4=4，设各项为正数的等比数列数列an的公比为q，q0，s3=b5+1=7，b4是a2和a4的等比中项，解得，由得3q24q4=0，解得q=2，或q=（舍），a1=1，（2）当n为偶数时，tn=（1+1）20+22+（3+1）22+423+（5+1）24+（n1）+12n2+n2n1=（20+22+322+423+n2n1）+（20+22+2n2），设hn=20+22+322+423+n2n1，2hn=2+222+323+424+n2n，得hn=20+2+22+23+2n1n2n=n2n=（1n）2n1，hn=（n1）2n+1，+=（n）2n+当n为奇数，且n3时，tn=tn1+（n+1）2n1=+，经检验，t1=2符合上式，tn=【点评】： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、分组求和法和错位相减法的合理运用20（13分）（2015潍坊一模）已知点m是圆心为c1的圆（x1）2+y2=8上的动点，点c2（1，0），若线段mc2的中垂线交mc1于点n（1）求动点n的轨迹方程；（2）若直线l：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且l与n 点轨迹交于不同的两点p，q，o为坐标原点，若=且u，求opq面积的取值范围【考点】： 轨迹方程；平面向量数量积的运算；直线与圆锥曲线的关系【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）利用椭圆的定义，可得动点n的轨迹是以c1，c2为焦点，以2为长轴长的椭圆，即可求出动点n的轨迹方程；（2）利用韦达定理确定|pq|的范围，即可求出opq面积的取值范围【解析】： 解：（1）由已知得|mn|=|nc2|，则|nc1|+|nc2|=|nc1|+|mn|=2|c1c2|=2，故动点n的轨迹是以c1，c2为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b2=1，动点n的轨迹方程为+y2=1；（2）直线l：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线，=1，t2=k2+1，直线l：y=kx+t代