有约束条件的完全四边形与数学竞赛题(上).pdf

2 0 O 7 年第 2期 1 7 有 约束条件 的完全 四边形 与数学竞赛题 上 沈 文 选 湖南师范大学数学奥林匹克研究所 4 1 0 0 S 1 有约束条件的完全四边形除具有一般完 全四边形的优美性质外 还由于各种不同的 约束条件 而具有一些特殊的优美性质 许多 数学竞赛试题就是以这些优美性质为背景或 根据这些特殊的优美性质而命制或等价表述 出来的 l 具有相等的边的完全四边形 例 1 在完全四边形 A B C D E F中 A B 1 若 B C E F 则 C D D F 反之 若 C D D F 则 B C E F 2 若 B C 或 C D D F M 为完全 四边形 的 M i q u d点 则 M D上 C F 且 A C F 的外心 0 在直线 M D上 3 若 B C E F 或 C D D F 点 在 C F上的射影为 何 A B E的外心为 0 则 0 2 为 A M 的中点 且 0 2 D 0 2 日 4 若 B C 或 C D D F M 为完全 四边 形 的 Mi q u e l 点 则 MB ME 且 MB上 A C ME上A E 证明 辅助线如图 1 1 由完全四边形的性质 1 1 中式 或 对 A C F及截线B D E应用梅涅劳斯定理 有 笪 一1 BC DF E A 一 因 A B A E 由上式知 C D DF甘 BC EF 收稿 日期 2 0 0 6 一 O l 一 2 6 修回日 期 2 1 1 O 6 1 1 1 0 A 图l 2 由 1 知 B C D和 D E F 的外接 圆是等圆 或由正弦定理计算推得 又由 四点共圆有 CBM AE M F EM 从而 C M F M 于是 D C M D F M 所以 C D M F D M 故 M D上 C F 由于 M D 是 C F 的中垂线 而点 0 在 C F的中垂线上 故 A C F的外心 0 在直线 M D 上 3 由 2 知 B C D和 D E F的外接 圆是等圆 从 而 B C M E F M 所以 B M E M 即知点 在 B A E的 平分线上 亦即 D 三点共线 因此 0 为 A M 的中点 注意到 MD上 C F A H l C F 所 以 0 2 在 线段 D H的中垂线上 故 0 D 0 日 4 由 3 知 B M E M 维普资讯 1 8 中 等 数 学 又 D 为 A M 的中点 而 D 为圆心 故 A M 为直径 所 以 M B上A C ME上A E 不妨将例 1 记作性质 1 6 以性质 1 6为背 景 可得到如下数学竞赛题 题 1 已知锐角 A B C C D是过点 c的 高线 是边A B的中点 过 的直线分别 交射线 C A C B于点 且 C K 若 C K L的外心为 5 证 明 S D S M 第 5 4 届波兰数学奥林匹克 如图 2 事实 上 此 题 为 在 完 全 四 边 形 C K A ML B 中 C 为 锐 角 顶点 C在 边 A B上 的射影为 D 且 C K C L A M MB S 为 C K L的外心 此 即为 C 图 2 例 1中的 3 过点 与 A B垂直 的直线 与 延长线交点 E即为 Mi q u e l 点 题 2 设 A M A N分别是AA B C的中线 内角平分线 过点 作 A N的垂线分别交 A M A B于点9 P 过点 P作A B的垂线交A N 于点 D 求证 O Q上B C 2 O O O 亚太地 区数学奥林匹克 以具有相等的边 含边上的线段 的完全 四边形为背景 的竞赛题还有 题3 P是 A B C内的一点 直线 A C 相交于点 9 直线 A B C P相交于点 已 知 A R l i B C P C Q P Q 求 B R C 2 0 0 3 日本数学奥林匹克 2 两组对边相互垂直的完全四边形 两组对边相互垂直的完全四边形常存在 于含有两条高线的三角形中 这类问题比较 多 这里仅举一例 例 2 在完全 四边形 A B C D E F中 A C上 BE A E l C F 1 若点 C E在对角线 B F所在直线上 的射影分别为 G H 则 C B F H 2 若对角线 A D的延长线交对角线 C 于点 P B P 的外接 圆交 A D于点 A 交 C D于点 C 交 D E于点 E 则 SZ c E 25六边黝 lBCl PEl F SZ C E 45 胛 证明 1 如 图 3 由题 设知 C E F 四点 共 圆 且 C E 的 中点 0 为其 圆心 过 点 0作 O M上 B F于点 由 弦心距性质知 BM MF G 图 3 又 C G O M E H C O O E 所以 G M MH 故 G B G M B M M H MF F H 2 在 A C E中 由题设 知 B P F的 外接 圆即为 A C E的九点 圆 从 而 知 A C E 分别为 A D C D E D的中点 于是 1 5僦 l 5 l 1 5四边形剪 lP D 1 5 茁 5 口 专5 四 边 形 聊 1 5 5 专5 四 从而 5 2 S 六 边 形 甩 F 由完全 四边形 的性质 1 2 2 即知 5 45 胛 不妨将例 2 记作性质 1 7 以性质 1 7为背 景 可得到如下数学竞赛题 题 1 锐角 A B C中 B D C E是其相应 边上的高 分别过顶点 C引直线 E D的垂 线B F C G 垂足为 F G 求证 E F D G 第 2 2 届全苏数学奥林匹克 题 2 在锐角 A B C中 A的平分线 与三角形外接圆交于另一点 A 点 C 与 此类似 直线 A A 与 C的外角平分线 相交于点A 点 c 与此类似 求证 1 5 c 0 2 5 六 边 黝c l B A l 口 l 维普资讯 2 0 O 7年第 2期 1 9 2 s c 0 4 s 朋 c 第 3 0 届 I M O 题 3 已知oD o D 交于 A 曰两点 过点 A作 D D 的平行线 分别与 o D o D 交于 C D两点 以 C D为直径的o 0 分别与o D o D 交于 P Q两点 证明 c P D Q A B三线共点 第5 4 届白俄罗斯数学奥林匹克 3 相交两对 角线为 圆中相交弦的完全四边 形 这类完全四边形就是图中的凸四边形内 接 于圆 例 3 在完全四边形 A B C D E F中 A 曰 D 四点共圆 oD 其对角线 A D B F交 于点 G 1 若 C E 的平分线 相交于点 则 C K 上E K 2 B G D的平分线与C K平行 D G F 的平分线与E K平行 3 从点 C E分别引o0的切线 切点 为 P Q 则 C E C P E Q 此题设条件下 的完全 四边 形 A B C D E F的 Mi q u e l 点在对角 线 C E上 若分别 以点 C和 E为圆心 以 C P 和 为半径作圆弧交于点 则 上E T 4 若从点 E 或 C 引 o0的两条切线 切点为 R Q 则 c 或 E R G Q四点共 线 5 过 C E G三点中任意两点 的直线 分别是另一点关于o D的极线 6 点 D是 G C E的垂心 7 过对角线 或 B F与 C E不平行时 的 A D 两端点处的o0的切线的交点在对 角线 C E所在 的直线上 3 8 设 0 0 2 分别是 A C F A B E的 外心 则 O 0 l 0 2 D C E 3 9 设 点 M 是 完全 四边形 A B C D E F的 M i q u e l 点 则 O M上 且 D G M三点共线 O M 平分 A MD O M平分 B MF 1 o 过点 E 或 C 的圆的割线交o D于 点 R P 直线 C P 或 E P 交 o 于点 s 则 R G s三点共线 1 1 设对 角线 A D 的延 长线交 对 角线 C E于点 则 WC W E的充要条件是 WA WD WC2 1 2 设 Z是对角线 C E的中点 联结 A Z 交oD于点 则 C D E四点共圆 证明 如图 4 图 4 1 联结 C E 令 D C E 1 D E C L 2 则 肋 1 2 脚 L 2 1 ABD AFD 1 8 0 即 曰 c D LD E F L 1 L2 9 0 故 C K E 18 0 一 肋 D s r 1 2 9 0 因此 C K 上 E K 2 设 D G F的平分线交 D E于点X E K 与 交于点 则 L F G X 嬲 Z C r A L C A F L F I E L G F 4一 L G F A I LA O B L C A r 维普资讯 中 等 数 学 音 G F A G A F 二 因此 G X E K 同理 B G D的平分线与 C K平行 3 设过点 C D的圆交 C E于点 联结 D M 则 A F D C B D D ME 从而 D E F四点共圆 于是 C M C E C D C F EM E C ED EB 以上两式相加得 C CD CF ED EB 又 C P E Q分别是o 0的切线 有 C D C F C P 肋 E B E Q 故 C E C P E Q 显然 是 B C D 外接 圆与 D E F外 接圆的另一个交点 此即为 Mi q u e l 点 因此 题 设 条 件 下 的 完 全 四 边 形 的 Mi q u e l 点在 C E上 由于 C T C P E T 印 故 C C E 即 C T 上 E T 4 如图 5 联结 C Q交 o 0于点 过 点 E作E H上 于点日 过点 c作圆的切线 C P 切点为 P 图 5 则 C E 一E Q C P 2 C R C Q C H H R C Q 又 C E 一E Q C H2 E H2 一 E H2 t t Q C H2 一月 r Q C H t t Q C H t t Q C H t t Q C Q 故 H R H Q 由此即可证得 R t E H R c o R t E H Q 于是 E Q E R 而 E Q E R 则 E R E R 又点 均在 o0上 故点 与点 重合 即 c R Q三点共线 为证 R G Q三点共线 联结 A R交 B F 于点 联结 F R交 A D于点 y 联结 A Q F Q 设 Q R与 A F交于点 Z 于是 A Z S A Q g A Q s i n A Q Z F Z S 一F Qs i n Z Q F 同理 RX B Rs i n RB X AX ABs i n XB A 由 E Q F p 有 A Q一 F Q E F 同 理 篾 而 A Q Z Y D R Z Q F R B X F DY X B A E Q E R 于是 1 于足 面 对 A R F应 用塞 瓦定 理 的逆 定理 知 A Y F X R Z三线共点于 G 故 R G Q三 点 共线 综上可知 c R G Q四点共线 5 由 4 即证 6 注意到 O E上Q R 即 O E上C G 同理 O C 上E G 由此 即知 0为 C C E的垂心 即 O G 上C E 7 由 5 知 直线 C E是 点 G关于 o0 的极线 从而 过点 G的弦 的两端点处的切 线的交点在直线 C E上 8 若点 0在 A D上 则 0 0 分别为 A C A E的中点 此时 有 维普资讯 2 O O 7 年第 2期 2 1 0 0l 0 2 D C E 若点 D不在 A D上 则点 D D 不在 A C A E 上 如 图 6 联 结01 A 0 l C AD 0D D2 A D2 E 因 A O 2 E 2 1 8 0 一 A 嬲 2 A肋 A C 图 6 02 A 02 E OA OD 所 以 A O 2 E A O D 故 又 0 2 A E O A C 则 A O 0 A D E 同理 A O C A O D A O 0 A D C 于是 由 A Ol C A O2 E 知 0l 02 AO2 AO 百 面 从而 O 0 l 0 2 D C E 9 如图7 过点 D 肘作o0的割线M D 图 7 交o0于点 联结 A T O A O T 由 A D F A 肘 E分另 U 四点共 圆知 EF D E A ME 又 由 D F A 四点共圆知 EF D AT D AT M 因 A E MT是过两相交圆交点 F D的割 线 所以 E M A T 于是 T A M A ME A T M 即 MA MT 因为 O A O T 所 以 O MJ A T 故 O MJ ME 而点 肘在 C E上 因此 O MJ C E 由 6 知 O G 上 C M 故 0 G M三点共线 由性 质 1 3 2 知 此 时 即为 2 O O 2年 中国 国家队选拔赛题 的特殊情形 故 O M 平分 A MD O M平分 B MF 1 O 如 图 8 联结 P A P B S A S B D R RF PF 有 有 图 8 由 E F R E P A C B S C P A FR EF PA CP P A 两 面 从而 F R E F C P 由 E R D E B P C B P C S A 一 S A EP G4 维普资讯 中 等 数 学 以上两式相除得 一 一C A S B RD ED CB 用 B D乘上式两边 应用完全四边形性质 1 中的式 即对 A B E及截线 C D F应用梅 涅劳斯定理 知 一 1 C B DE 一 从 而 等 对上 式应用塞 瓦定理 角元形 式 的推 论 或同 4 的证明中证 尺 G Q三点共线 即 证得 S R B F A D三线共点 故 5 G 尺三点共线 1 1 如 图 9 由 完全 四边 形 性 质 2 中 的 式 即 对 A C E及点 D应用 塞瓦定理 有 一A B CW C WE FA 1 AW DW CW2 甘 丽 C W甘 A W i 图 9 甘 DW C 甘 DC W CA W 啪 B F C E A日 F 甘丽 丽 AB EF 甘丽 一F A 1 甘 E W 由式 1 2 设 A Z不过点 D 否则点 D与点 重合 D C E的外接圆即为所求 如图 9 延长 A Z到点 y 使 Z Y A Z 则四边形 A Z Y E 为平行四边形 注意到 C DE B D F S 一 B 1 8 0 o 一 CY E 所以 C y E D 四点共圆 又 Y ND 1 8 0 o一 A N D