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第三章复变积分 数学物理方法 3 1复变积分 定义 设曲线复平面 函数在l上有意义 将曲线l任意分割为n段 分点为 是段上任意一点 作和数 当 时 此和数的极限存在 且与的选取无关 则称此极限值为函数沿曲线l的积分 记为 一个复变积分是两个实变积分的有序组合 定理 是分段光滑曲线l上的连续函数 的复变积分一定存在 若 则 若 则 若是的逆向 则 对常数a 有 M为在l上的上界 L为l的长度 求 l为 沿实轴0 1 在平行于虚轴1 1 i 沿虚轴0 i 在平行于实轴i 1 i 沿直线0 1 i 对于 对于 对于 当时 令 则 试证 l是以a为圆心 为半径的圆周 当的整数时 单连通区域 单连通区域在区域内作任何简单的闭合围道 围道内的点都属于该区域 反之 为复连通区域 多连通区域 3 2单连通区域的柯西定理 积分值与积分路径之间的关系 柯西定理 定义 复连通区域 单连通区域的柯西定理 定理 若函数在单连通区域内解析 则沿内任何一个分段光滑的闭合围道l有 l可以是的边界 现仅在在中连续的前提下证明这个定理 利用格林定理 stokes公式 且有连续偏导数 于是 由C R条件 因为连续 连续 在单连通区域中 解析函数的积分值与积分路径无关 可知 推论 若函数在单连通区域内解析 则也在内解析 且 对求导即可 设内一点 为邻点 则 积分与路径无关 可得 复变积分性质 连续 使当时 即 定义 原函数 若 为的原函数 原函数不唯一 任意两个原函数相差一个常数 计算积分 n为整数 当n为自然数时 在C上解析 是它的一个原函数 对于任意C上的积分路线 有 当时 在C 0上解析 原函数仍可取为 在不包含的任一单连通区域内 有 当时 在C 0上解析 原函数为 故在不包含的任一单连通区域内 计算围道积分 令 可知 计算围道积分 令 得 即被积函数有奇点 均不在积分围道内 在中 被积函数仍解析 由单连通区域的柯西定理可知 如果所求积分的围道是 也就是说 被积函数在围道包围的区域内有奇点 这时单连通区域的柯西定理不再适用 3 3复连通区域的柯西定理 定理 复连通区域的柯西定理 若是复连通区域内的单值解析函数 则 其中 是构成复连通区域的边界的各个分段光滑闭合曲线 都包含在的内部 所有积分路经走向相同 如图 取均为逆时针方向 作割线将与连接起来 得到单连通区域 应用单连通区域的柯西定理 即 在内单值 即 计算 n为整数 l为逆时针方向 当n为自然数时 显然 在整个复平面解析 l围道包含的区域是单连通区域 由单连通区域柯西定理可知 当n为负整数时 在C 0内解析 若l围道内不包含则也有 若l围道内含有 由复连通区域的柯西定理可知 综上 即 一般地 3 4两个有用的引理 若函数f z 在z a点的空心邻域内连续 且当 1 arg z a 2 z a 0时 z a f z 一致地趋近于k 则 其中C 是以a为圆心 为半径 夹角为 2 1的圆弧 z a 1 arg z a 2 因为 所以 当 1 arg z a 2 z a 0时 z a f z 一致地趋近于k 这意味着 0 与arg z a 无关的 r 0 使当 z a r时 z a f z k 即 设函数f z 在 点的邻域内连续 当 1 argz 2 z 时 zf z 一致地趋近于K 则 其中CR是以原点为圆心 R为半径 夹角为 2 1的圆弧 z R 1 argz 2 因为 所以 当 1 argz 2 z 时 zf z 一致地趋近于K 这意味着 0 与argz无关的 M 0 使当 z R M时 zf z K 成立 即 3 5柯西积分公式 柯西定理从一个侧面反映了解析函数的基本特性 解析函数在它的解析区域内各点的函数值是密切相关的 处处可导 C R方程是这种关联的微分形式柯西定理是这种关联的积分形式 同样 下面的柯西积分公式也清楚地表现出这种关联性 有界区域的柯西积分公式 设f z 的单值函数 的边界C是分段光滑曲线 点a G 则 积分路线沿C的正向 逆时针方向 在G内作圆 保持 积分路线沿C的正向 逆时针方向 由复连通区域的柯西定理 有 此结果与r的大小无关 故令r 0 因为 令 则 一致趋近 由引理一 可得 所以 计算围道积分 有界区域柯西积分公式 计算围道积分 有界区域柯西积分公式 复连通区域柯西定理 计算围道积分 C为闭合曲线 周期为4p 有界区域柯西积分公式 复连通区域柯西定理 则f z 在以a为圆心R为半径的区域内解析 由单连通区域的柯西积分公式 得 柯西积分公式的特殊形式 均值定理 解析函数f z 在解析区域G内任意一点a的函数值f a 等于 完全位于G内的 以a为圆心的任一圆周上的函数值的平均 令 在C外作一个以原点为圆心 R为半径的圆CR 对于C和CR包围的复连通区域 根据单连通区域的柯西积分公式 有 CR的走向是逆时针方向 只要R足够大 结果与R无关 令R 若 对无界区域 需要假设f z 在简单闭合围道C上及C外 包括无穷远点 单值解析 a为C外一点 积分路线C的走向是绕无穷远点的正向 即顺时针方向 左侧法则 由引理二知 代入 式 所以 当K 0时 即得无界区域的柯西积分公式 无界区域的柯西积分公式 若f z 在简单闭合围道C上及C外解析 且当z 时 一致地趋于0 则 a为C外一点 积分路线为顺时针方向 令 由引理二知 由单连通区域的柯西定理知 所以 即 计算围道积分 复连通区域柯西定理 无界区域柯西积分公式 3 6解析函数的高阶导数 柯西积分公式 f z 解析 在G内f z 的任何阶导数均存在 且 C是的正向边界 以此类推 可得 一个复变函数 在一个区域内只要一阶导数存在 则它的任何阶导数都存在 且都是这个区域的解析函数 计算积分 柯西型积分 3 7柯西型积分和含参量积分的解析性 定义 在一段分段光滑的 闭合或不闭合 曲线C上连续的函数F x 所构成的积分 称为柯西型积分 它是曲线外点z的函数 且可通过积分号下求导得到 计算积分 所求积分为柯西型积分 且在 x 1上 故 当 在外 时 积分围道为顺时针方向 无界区域的柯西公式 当 在内 时 应用复连通区域的柯西定理 所以 计算积分 因为z 1是 z 1 1内的一个奇点 在 z 1 1内解析由柯西导数公式 有 在复平面内解析 由单连通区域的柯西定理可知 计算积分 计算积分 奇点z 1在C内 计算积分 方法一 奇点z1 1 z2 3均在 z 4内 作补充围道和 如右图 由柯西定理可知 方法二 被积函数可化为 f t z 在上解析 z G 由有界区域柯西积分公