【步步高】高考数学总复习 12.6随机变量的数字特征、正态分布配套文档 理 新人教B版 (1).DOC

12.6随机变量的数字特征、正态分布1 离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量x所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn.(1)数学期望：称e(x)x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量x的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平(2)方差：称d(x)(x1e(x)2p1(x2e(x)2p2(xne(x)2pn叫做这个离散型随机变量x的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，d(x)的算术平方根叫做离散型随机变量x的标准差2 二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差期望方差变量x服从二点分布e(x)pd(x)p(1p)xb(n，p)e(x)npd(x)np(1p)x服从参数为n，m，n的超几何分布e(x)3 正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)，xr(其中，为参数，且0，)4 正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x对称(2)曲线在x时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状(3)曲线的形状由参数确定，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“高瘦”5 正态变量在三个特定区间内取值的概率值(1)p(x)68.3%；(2)p(2x2)95.4%；(3)p(3xc1)p(xc1)，则c等于()a1 b2 c3 d4答案b解析2，由正态分布的定义知其图象关于直线x2对称，于是2，c2.4 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若x表示取到次品的件数，则d(x)_.答案解析由题意知取到次品的概率为，xb(3，)，d(x)3(1).5 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分x的均值是_答案0.7解析e(x)10.700.30.7.题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若e()，d()，求abc.思维启迪首先列出随机变量的所有可能的取值，然后计算的每个取值的概率解(1)由题意得2,3,4,5,6.故p(2)，p(3)，p(4)，p(5)，p(6).所以的分布列为23456p(2)由题意知的分布列为123p所以e()，d()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意性质的应用：若随机变量x的期望为e(x)，则对应随机变量axb的期望是ae(x)b，方差为a2d(x)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，e()1，d()11，试求a，b的值解(1)的分布列为01234pe()012341.5.d()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由d()a2d()，得a22.7511，即a2.又e()ae()b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或题型二二项分布的均值、方差例2(2012四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布列及数学期望e()思维启迪利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p()1p，解得p.(2)由题意，得p(0)c3，p(1)c2，p(2)c2，p(3)c3.所以，随机变量的分布列为0123p故随机变量的数学期望e()0123.(或b(3，)，e()3.)思维升华求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果b(n，p)，则用公式e()np；d()np(1p)求解，可大大减少计算量假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为x.(1)求x的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望解(1)x的所有可能取值为0,1,2,3,4，xb(4,0.5)，p(x0)c()4，p(x1)c()4，p(x2)c()4，p(x3)c()4，p(x4)c()4，x的分布列为x01234p(2)y的所有可能取值为3,4，则p(y3)p(x3)，p(y4)1p(y3)，y的期望值e(y)34.题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布n(80,52)，现已知该班同学中成绩在8085分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人思维启迪本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用解依题意，由8085分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数成绩服从正态分布n(80,52)，80，5，75，85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的68.3%34.2%.设该班有x名同学，则x34.2%17，解得x50.又2801070，2801090，成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%.成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.成绩在90分以上的同学占全班同学的50%47.7%2.3%.即有502.3%1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人思维升华解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x，只有在标准正态分布下对称轴才为x0.在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即n(100,100)，已知满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80,120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数解(1)由n(100,100)知100，10.p(80120)p(1002010020)0.954，即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.954.(2)p(90110)p(10010110)(10.683)0.159，p(90)0.6830.1590.842.及格人数为2 0000.8421 684(人)离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为p2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求p2的值；(3)设p2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值思维启迪(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，关键是求的所有可能值及每个值所对应的概率规范解答解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x104.3分(2)由已知，得，解得p2.6分(3)的所有可能值为0,1,2,3.p(0)，p(1)c，p(2)c2，p(3)2.8分所以的分布列为0123p10分所以e()0123.12分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范方法与技巧1 均值与方差的常用性质掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)e(ab)ae()b；e()e()e()；d(ab)a2d()；(2)若b(n，p)，则e()np，d()np(1p)2 基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值 、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解3 关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记p(x)，p(2x2)，p(3x3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等p(xa)1p(xa)，p(xn bmncmn d不确定答案c解析正态总体n(1,9)的曲线关于x1对称，区间(2,3)与(1,0)到对称轴距离相等，故mn.2 已知某一随机变量x的分布列如下，且e(x)6.3，则a的值为 ()x4a9p0.50.1ba.5 b6 c7 d8答案c解析由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.e(x)40.5a0.190.46.3，a7.3 (2013湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为x，则x的均值e(x)等于 ()a. b.c. d.答案b解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，从中随机取一个正方体，涂漆面数x的均值e(x)123.4 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为 ()a100 b200 c300 d400答案b解析记“不发芽的种子数为”，则b(1 000,0.1)，所以e()1 0000.1100，而x2，故e(x)e(2)2e()200.5 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目x的期望值为()a2.44 b3.376 c2.376 d2.4答案c解析x的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为x3210p0.60.240.0960.064e(x)30.620.2410.09600.0642.376.二、填空题6 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有x个红球，则随机变量x的分布列为x012p答案0.10.60.3解析p(x0)0.1，p(x1)0.6，p(x2)0.3.7 已知随机变量的分布列为p(k)，k1,2,3，n，则p(25)_.答案解析p(25)p(3)p(4)p(5).8 已知某次英语考试的成绩x服从正态分布n(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为_答案15解析由已知得116，8.p(92x140)p(3x140)(10.997)0.001 5，成绩在140分以上的人数为15.三、解答题9 某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望解(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件a，“两人都不享受折扣优惠”为事件b，则p(a)，p(b).因为事件a，b互斥，则p(ab)p(a)p(b).故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.(2)据题意，得的可能取值为0,1,2.其中p(0)p(b)，p(1)，p(2)p(a).所以的分布列为012p所以e()012.10为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选假定某基地有4名武警战士(分别记为a、b、c、d)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，.这三项测试能否通过相互之间没有影响(1)求a能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望解(1)设a通过体能、射击、反应分别记为事件m、n、p，则a能够入选包含以下几个互斥事件：mn，mp，np，mnp.p(a)p(mn)p(mp)p(np)p(mnp).所以，a能够入选的概率为.(2)记表示该训练基地得到的训练经费，则的所有可能值