【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 理 新人教A版.DOC

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件复习备考要这样做1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用1 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4 充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件难点正本疑点清源1 等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假2 集合与充要条件设集合ax|x满足条件p，bx|x满足条件q，则有(1)若ab，则p是q的充分条件，若ab，则p是q的充分不必要条件；(2)若ba，则p是q的必要条件，若ba，则p是q的必要不充分条件；(3)若ab，则p是q的充要条件；(4)若ab，且ba，则p是q的既不充分也不必要条件1 下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若ab0，则a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60”的逆否命题其中真命题的序号是_(把所有真命题的序号填在横线上)答案解析“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；“若ab0，则a0”的否命题为“若ab0，则a0”，而由ab0，可得a，b都不为零，故a0，所以该命题是真命题；因为原命题“正三角形的三个角均为60”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题2 “x2”是“22x02”是“”的充分条件x2d/x2.“x2”是“”的不必要条件3 已知a，br，则“ab”是“”的_条件答案必要不充分解析因为若ab0，bxr|x0，则“xab”是“xc”的 ()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案c解析因为ax|x20x|x2(2，)，bx|x0x|x2(，0)(2，)即abc.故“xab”是“xc”的充要条件. 5 (2012天津)设r，则“0”是“f(x)cos(x)(xr)为偶函数”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析由条件推结论和结论推条件后再判断若0，则f(x)cos x是偶函数，但是若f(x)cos(x) (xr)是偶函数，则也成立故“0”是“f(x)cos(x)(xr)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()a否命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”是真命题b逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题c逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题d逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题逆否命题进行真假判断答案d解析命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例 命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是 ()a若xy是偶数，则x与y不都是偶数b若xy是偶数，则x与y都不是偶数c若xy不是偶数，则x与y不都是偶数d若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案c解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选c.题型二充要条件的判断例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点bp：1；q：yf(x)是偶函数cp：cos cos ；q：tan tan dp：aba；q：au，bu，ubua思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案d解析对于a，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件；对于b，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于c，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于d，由aba，知ab，所以ubua；反之，由ubua，知ab，即aba.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是d.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是abc三个内角a，b，c所对的边，若a1，b，则“a30”是“b60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_答案解析对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此正确；对于，当a2时，函数f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不正确；对于，由题意得，若b60，则sin a，注意到ba，故a30，反之，当a30时，有sin b，由于ba，所以b60或b120，因此正确综上所述，真命题的序号是.题型三利用充要条件求参数例3已知集合mx|x5，px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为mpx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为mpx|5x8的一个充分但不必要条件思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解解(1)由mpx|5x8，得3a5，因此mpx|5x8的充要条件是a|3a5(2)求实数a的一个值，使它成为mpx|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有mpx|5x8；反之，mpx|5x8未必有a0，故“a0”是“mpx|5x8”的一个充分但不必要条件探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验 已知p：x24x50，q：|x3|0)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围解设ax|x24x50x|1x5，bx|a3x4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p：2，q：x22x1m20 (m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围审题视角(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论规范解答解方法一 由q：x22x1m20，得1mx1m，2分綈q：ax|x1m或x0，3分由p：2，解得2x10，5分綈p：bx|x10或x9.m9.12分方法二綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，2分由q：x22x1m20，得1mx1m，q：qx|1mx1m，4分由p：2，解得2x10，p：px|2x106分p是q的充分而不必要条件，pq，或即m9或m9.m9.12分温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提2 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3 命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用ab与綈b綈a，ba与綈a綈b，ab与綈b綈a的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若ab，则a是b的充分条件或b是a的必要条件；若ab，则a是b的充要条件失误与防范1 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式2 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012湖南)命题“若，则tan 1”的逆否命题是()a若，则tan 1 b若，则tan 1c若tan 1，则 d若tan 1，则答案c解析由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan 1，则.2 (2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()ax bx1cx5 dx0答案d解析a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.3 已知集合mx|0x1，集合nx|2xy，则x|y|”的逆命题b命题“若x1，则x21”的否命题c命题“若x1，则x2x20”的否命题d命题“若x20，则x1”的逆否命题答案a解析对于a，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|，必有xy；对于b，否命题：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于c，其否命题：若x1，则x2x20，因为x2时，x2x20，所以是假命题；对于d，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选a.二、填空题(每小题5分，共15分)5 下列命题：若ac2bc2，则ab；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_答案解析对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin 30sin 150d/30150，所以错误；对于，l1l2a1b2a2b1，即2a4aa0且a1c2a2c1，所以对；对于显然对6 已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_答案3,8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3；又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得m8.故实数m的取值范围是3m8.7 (2011陕西)设nn，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.答案3或4解析x24xn0有整数根，x2，4n为某个整数的平方且4n0，n3或n4.当n3时，x24x30，得x1或x3；当n4时，x24x40，得x2.n3或n4.三、解答题(共22分)8 (10分)判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假解原命题：若a0，则x2xa0有实根逆否命题：若x2xa0无实根，则a0.判断如下：x2xa0无实根，14a0，a0，“若x2xa0无实根，则a0”为真命题9 (12分)已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解由题意得p：2x32，1x5.綈p：x5.q：m1xm1，綈q：xm1.又綈p是綈q的充分而不必要条件，且等号不能同时取到，2m4.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012上海)对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案b解析mn0，或当m0，n0且mn时，方程mx2ny21的曲线是椭圆，当m0，n0，所以“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的必要不充分条件2 已知p：1，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为()a(，3 b2,3c(2,3 d(2,3)答案c解析由1，得2x3；由|xa|1，得a1xa1.若p