【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 8.2空间几何体的表面积与体积 理 新人教A版.DOC

8.2空间几何体的表面积与体积2014高考会这样考1.与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体体积的计算复习备考要这样做1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题1 柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱s侧2rhvshr2h圆锥s侧rlvshr2hr2圆台s侧(r1r2)lv(s上s下)h(rrr1r2)h直棱柱s侧chvsh正棱锥s侧chvsh正棱台s侧(cc)hv(s上s下)h球s球面4r2vr32 .几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和难点正本疑点清源1 几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小2 等积法等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值1 圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_答案4s解析设圆柱的底面半径为r，则r，又侧面展开图为正方形，圆柱的高h2，s圆柱侧4s.2 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为_m3.答案4解析这个空间几何体是一个三棱锥，这个三棱锥的高为2，底面是一个一条边长为4、这条边上的高为3的等腰三角形，故其体积v4324.3 表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.4 一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，则球的表面积为_答案a2解析由题意知，球的半径r.所以s球4r2a2.5. 如图所示，在棱长为4的正方体abcda1b1c1d1中，p是a1b1上一点，且pb1a1b1，则多面体pbb1c1c的体积为_答案解析四棱锥pbb1c1c的底面积为16，高pb11，vpbb1c1c161.题型一空间几何体的表面积例1一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a48 b328c488 d80思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积答案c解析由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为.所以s表4224(24)4242488.探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是_cm2.答案412解析由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为12122，四棱柱中不重合的表面积为212222212，半圆柱中不重合的表面积为22，半球的表面积为42，所以该几何体的表面积为412.题型二空间几何体的体积例2如图所示，已知e、f分别是棱长为a的正方体abcda1b1c1d1的棱a1a、cc1的中点，求四棱锥c1b1edf的体积思维启迪：思路一：先求出四棱锥c1b1edf的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥c1b1edf化为两个三棱锥b1c1ef与dc1ef，再求四棱锥c1b1edf的体积解方法一连接a1c1，b1d1交于点o1，连接b1d，ef，过o1作o1hb1d于h.efa1c1，且a1c1平面b1edf，a1c1平面b1edf.c1到平面b1edf的距离就是a1c1到平面b1edf的距离平面b1d1d平面b1edf，平面b1d1d平面b1edfb1d，o1h平面b1edf，即o1h为棱锥的高b1o1hb1dd1，o1ha.vc1b1edfs四边形b1edfo1hefb1do1haaaa3.方法二连接ef，b1d.设b1到平面c1ef的距离为h1，d到平面c1ef的距离为h2，则h1h2b1d1a.由题意得，vc1b1edfvb1c1efvdc1efsc1ef(h1h2)a3.探究提高在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积 (2012课标全国)已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc2，则此棱锥的体积为 ()a. b. c. d.答案a解析由于三棱锥sabc与三棱锥oabc底面都是abc，o是sc的中点，因此三棱锥sabc的高是三棱锥oabc高的2倍，所以三棱锥sabc的体积也是三棱锥oabc体积的2倍在三棱锥oabc中，其棱长都是1，如图所示，sabcab2，高od，vsabc2voabc2.题型三几何体的展开与折叠问题例3(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片abcd中，ac与bd相交于o，剪去aob，将剩余部分沿oc、od折叠，使oa、ob重合，则以a、b、c、d、o为顶点的四面体的体积为_(2)有一根长为3 cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_ cm.思维启迪：(1)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)可利用圆柱的侧面展开图答案(1)(2)5解析(1)折叠后的四面体如图所示oa、oc、od两两相互垂直，且oaocod2，体积v socdoa(2)3.(2)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形abcd(如图)，由题意知bc3 cm，ab4 cm，点a与点c分别是铁丝的起、止位置，故线段ac的长度即为铁丝的最短长度ac5 (cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.探究提高(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_答案解析如图，四棱锥的高h，vsh1.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱abcabc中，底面是边长为3的等边三角形，aa4，m为aa的中点，p是bc上一点，且由p沿棱柱侧面经过棱cc到m的最短路线长为，设这条最短路线与cc的交点为n，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)pc与nc的长；(3)三棱锥cmnp的体积审题视角(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)mnnp最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好规范解答解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为.2分(2)将该三棱柱的侧面沿棱bb展开，如下图，设pcx，则mp2ma2(acx)2.mp，ma2，ac3，x2，即pc2.又ncam，故，即.nc.8分(3)spcncpcn2.在三棱锥mpcn中，m到面pcn的距离，即h3.vcmnpvmpcnhspcn.12分温馨提醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方法与技巧1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决2要注意将空间问题转化为平面问题3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解4一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决失误与防范1几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ()a6 b9 c12 d18答案b解析结合三视图知识求解三棱锥的体积由题意知，此几何体是三棱锥，其高h3，相应底面面积为s639，vsh939.2. 已知高为3的直棱柱abcabc的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥babc的体积为 ()a. b.c. d.答案d解析vbabcbbsabc312.3 正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为 ()a48(3) b48(32)c24() d144答案a解析s底64224，s侧646144，s全s侧2s底1444848(3)4 (2012北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()a286 b306c5612 d6012答案b解析根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中ae平面bcd，cdbd，且cd4，bd5，be2，ed3，ae4.ae4，ed3，ad5.又cdbd，cdae，则cd平面abd，故cdad，所以ac且sacd10.在rtabe中，ae4，be2，故ab2.在rtbcd中，bd5，cd4，故sbcd10，且bc.在abd中，ae4，bd5，故sabd10.在abc中，ab2，bcac，则ab边上的高h6，故sabc266.因此，该三棱锥的表面积为s306.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2012山东)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为_答案解析利用三棱锥的体积公式直接求解vd1edfvfdd1esd1deab111.6 (2011天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案4解析此几何体是两个长方体的组合，故v2111124.7 已知三棱锥abcd的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为_答案3解析如图，构造正方体andmfbec.因为三棱锥abcd的所有棱长都为，所以正方体andmfbec的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥abcd的外接球就是正方体andmfbec的外接球，所以三棱锥abcd的外接球的半径为.所以三棱锥abcd的外接球的表面积为s球423.三、解答题(共22分)8 (10分)如图所示，在边长为5的正方形abcd中，以a为圆心画一个扇形，以o为圆心画一个圆，m，n，k为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆o为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积解设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得r，l4，srlr210，h，vr2h2.9 (12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ac1及直三棱柱b1c1qa1d1p的组合体由pa1pd1，a1d1ad2，可得pa1pd1.故所求几何体的表面积s522222()2224(cm2)，体积v23()2210(cm3)b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()a. bc. d.答案c解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，表面积s21212.2 在四棱锥eabcd中，底面abcd为梯形，abcd,2ab3cd，m为ae的中点，设eabcd的体积为v，那么三棱锥mebc的体积为 ()a.v b.v c.v d.v答案d解析设点b到平面emc的距离为h1，点d到平面emc的距离为h2.连接md.因为m是ae的中点，所以vmabcdv.所以vembcvvemdc.而vembcvbemc，vemdcvdemc，所以.因为b，d到平面emc的距离即为到平面eac的距离，而abcd，且2ab3cd，所以.所以vembcvmebcv.3 (2011辽宁)已知球的直径sc4，a、b是该球球面上的两点，ab，ascbsc30，则棱锥sabc的体积为 ()a3 b2 c. d1答案c解析由题意知，如图所示，在棱锥sabc中，sac，sbc都是有一个角为30的直角三角形，其中ab，sc4，所以sasb2，acbc2，作bdsc于d点，连接ad，易证sc平面abd，因此v()24.二、填空题(每小题5分，共15分)4. 如图，已知正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点a出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点a1的最短路线的长为_ cm.答案13解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所