【步步高】（广东专用）高考数学二轮复习 专题训练七 第2讲 概率、随机变量及其分布 理.docVIP

第2讲概率、随机变量及其分布考情解读1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题1随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0p(a)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率p(a).(3)几何概型的概率p(a).2条件概率在a发生的条件下b发生的概率：p(b|a).3相互独立事件同时发生的概率p(ab)p(a)p(b)4独立重复试验如果事件a在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为pn(k)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.5超几何分布在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则p(xk)，k0,1,2，m，其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*.此时称随机变量x服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是m，n，n.6离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量x可能取的值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi的概率为p(xxi)pi，则称下表：xx1x2x3xixnpp1p2p3pipn为离散型随机变量x的分布列(2)离散型随机变量x的分布列具有两个性质：pi0，p1p2pipn1(i1,2,3，n)(3)e(x)x1p1x2p2xipixnpn为x的均值或数学期望(简称期望)d(x)(x1e(x)2p1(x2e(x)2p2(xie(x)2pi(xne(x)2pn叫做随机变量x的方差(4)性质e(axb)ae(x)b，d(axb)a2d(x)；xb(n，p)，则e(x)np，d(x)np(1p)；x服从两点分布，则e(x)p，d(x)p(1p)7正态分布若xn(，2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率p(x)0.682 6；p(2x2)0.954 4；p(3p2，e(1)e(2) bp1e(2)cp1p2，e(1)e(2) dp1p2，e(1)e(2)答案a解析随机变量1，2的分布列如下：112p2123p所以e(1)，e(2)，所以e(1)0，所以p1p2.押题精练1有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()a. b. c. d.答案d解析有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有c210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件a为“取出球的编号互不相同，”则事件a包含了ccccc80个基本事件，所以p(a).2箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是()a. b.c. d.答案b解析由题意得任取两球有c种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为，故4人中有3人中奖的概率为c()3.故选b.3甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为x，求x的均值e(x)解(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列设此数列为an，则易知a140，an10n30，sn300.解得n12(舍去)或n5，总决赛共比赛了5场则前4场比赛的比分必为13，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为c()4.(2)随机变量x可取的值为s4，s5，s6，s7，即220,300,390,490.又p(x220)2()4，p(x300)c()4，p(x390)c()5，p(x490)c()6.所以，x的分布列为x220300390490p所以x的均值为e(x)220300390490377.5(万元)(推荐时间：50分钟)一、选择题1(2014课标全国)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()a. b. c. d.答案d解析4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，所求概率为1.2已知菱形abcd的边长为4，abc150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为()a. b1 c. d1答案d解析p1.3已知(x，y)|，直线ymx2m和曲线y有两个不同的交点，它们围成的平面区域为m，向区域上随机投一点a，点a落在区域m内的概率为p(m)，若p(m)，1，则实数m的取值范围为()a，1 b0，c，1 d0,1答案d解析如图，由题意得m0，根据几何概型的意义，知p(m)，又p(m)，1，所以s弓形2,2故0m1.4已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是()a. b. c. d.答案d解析设事件a为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件b为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则p(a)，p(ab).则所求概率为p(b|a).5将三个骰子各掷一次，设事件a为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件b为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率p(a|b)，p(b|a)分别是()a.， b.，c.， d.，答案a解析根据条件概率的含义，p(a|b)的含义为在b发生的情况下，a发生的概率，即在“至少有一个骰子掷出3点”的情况下，“三个骰子掷出的点数都不同”的概率因为“至少有一个骰子掷出3点”的情况共有66655591(种)，“三个骰子掷出的点数都不相同且只有一个3点”的情况共有c5460(种)，所以p(a|b).p(b|a)的含义为在a发生的情况下，b发生的概率，即在“三个骰子掷出的点数都不同”的情况下，“至少有一个骰子掷出3点”的概率，所以p(b|a)，故选a.6设随机变量服从正态分布n(2,9)，若p(c)p(c)p(c2)即c与c2关于2对称，则有2c3.二、填空题7(2014江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_答案解析从10件产品中取4件，共有c种取法，取到1件次品的取法为cc种，由古典概型概率计算公式得p.8将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，故所求的概率pc6c6c6.9(2014浙江)随机变量的取值为0,1,2.若p(0)，e()1，则d()_.答案解析设p(1)a，p(2)b，则解得所以d()01.10连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列ansn是其前n项和，则s53的概率是_答案解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为1发生的概率为，结果为1发生的概率为，s53即5次试验中1发生一次，1发生四次，故其概率为c()1()4.三、解答题11一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)(1)求取出的小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为x，求随机变量x的分布列和数学期望解(1)设取出的小球中有相同编号的事件为a，编号相同可分成一个相同和两个相同p(a).(2)随机变量x的可能取值为3,4,6.p(x3)，p(x4)，p(x6).所以随机变量x的分布列为x346p所以随机变量x的数学期望e(x)346.12.(2014山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域a，b，乙被划分为两个不相交的区域c，d.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在c上记3分，在d上记1分，其他情况记0分对落点在a上的来球，队员小明回球的落点在c上的概率为，在d上的概率为；对落点在b上的来球，小明回球的落点在c上的概率为，在d上的概率为.假设共有两次来球且落在a，b上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解(1)记ai为事件“小明对落点在a上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则p(a3)，p(a1)，p(a0)1.记bj为事件“小明对落点在b上的来球回球的得分为j分”(j0,1,3)，则p(b3)，p(b1)，p(b0)1.记d为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意得da3b0a1b0a0b1a0b3，由事件的独立性和互斥性，得p(d)p(a3b0a1b0a0b1a0b3)p(a3b0)p(a1b0)p(a0b1)p(a0b3)p(a3)p(b0)p(a1)p(b0)p(a0)p(b1)p(a0)p(b3)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得p(0)p(a0b0)，p(1)p(a1b0a0b1)p(a1b0)p(a0b1)，p(2)p(a1b1)，p(3)p(a3b0a0b3)p(a3b0)p(a0b3)，p(4)p(a3b1a1b3)p(a3b1)p(a1b3)，p(6)p(a3b3).可得随机变量的分布列为所以012346p所以数学期望e()012346.13在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为x，求x的分布列