【步步高】（广东专用）高考数学一轮复习 第8讲 立体几何中的向量方法（二）同步检测 文(1).docVIP

第8讲 立体几何中的向量方法（二）一、选择题1两平行平面，分别经过坐标原点o和点a(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是()a. b. c. d3解析 两平面的一个单位法向量n0，故两平面间的距离d|n0|.答案b2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为 ()a30 b60 c120 d150解析设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，30.答案a3长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 ()a. b. c. d.解析建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0，2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.答案b4已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，点b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则cd()a2 b. c. d1解析如图，建立直角坐标系dxyz，由已知条件b(0,0,1)，a(1，t,0)(t0)，由ab2解得t.答案c5如图，在四面体abcd中，ab1，ad2，bc3，cd2.abcdcb，则二面角abcd的大小为 ()a.b.c.d.解析二面角abcd的大小等于ab与cd所成角的大小.而22222|cos ，即1214922cos，cos，ab与cd所成角为，即二面角abcd的大小为.故选b.答案b6如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a. b.c2 d.解析 如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在的直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)，d(1,0,1)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面b1cd的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60，得，即a，故ad.答案 a二、填空题7若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_解析cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.答案.8若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，8 3(6)，解得2或.答案2或9已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系dxyz，设da1由已知条件a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，面aef与面abc所成的二面角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面abc的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案10在三棱锥oabc中，三条棱oa，ob，oc两两垂直，且oaoboc，m是ab边的中点，则om与平面abc所成角的正切值是_解析如图所示建立空间直角坐标系，设oaoboc1，则a(1,0,0)，b(0，1,0)，c(0,0,1)，m，故(1,1,0)，(1,0,1)，.设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以om与平面abc所成角的正弦值为，其正切值为.答案三、解答题11如图，四面体abcd中，ab、bc、bd两两垂直，abbcbd4，e、f分别为棱bc、ad的中点(1)求异面直线ab与ef所成角的余弦值；(2)求e到平面acd的距离；(3)求ef与平面acd所成角的正弦值解如图，分别以直线bc、bd、ba为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为a(0,0,4)、c(4,0，0)、d(0,4，0)，e(2,0,0)、f(0，2,2)(1)(0,0，4)，(2,2,2)，|cos，|，异面直线ab与ef所成角的余弦值为.(2)设平面acd的一个法向量为n(x，y,1)，则(4,0，4)，(4,4,0)，xy1，n(1,1,1，)f平面acd，(2,2,2)，e到平面acd的距离为d.(3)ef与平面acd所成角的正弦值为|cosn，|12如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，pa3，ad2，ab2，bc6.(1)求证：bd平面pac；(2)求二面角pbda的大小(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2，6,0)，d(0,2,0)，p(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0)0，0.bdap，bdac.又paaca，bd面pac.(2)解设平面abd的法向量为m(0,0,1)，设平面pbd的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.(2，0,3)，解得令x，则n(，3,2)，cosm，n.二面角pbda的大小为60.13如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc.(2)求二面角a1bdc1的大小(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.因为bc平面bcd，所以dc1bc.(2)解由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1a1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m(x，y，z)是平面c1bd的法向量，则即可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角a1bdc1的大小为30.14如图，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点(1)求证：af平面bce；(2)求证：平面bce平面cde；(3)求直线bf和平面bce所成角的正弦值解 方法一：(1)证法一：取ce的中点g，连接fg、bg.f为cd的中点，gfde且gfde，ab平面acd，de平面acd，abde，gfab.又abde，gfab.又de2ab，四边形gfab为平行四边形，则afbg.af平面bce，bg平面bce，af平面bce.证法二：取de的中点m，连接am、fm，f为cd的中点，fmce.ab平面acd，de平面acd，deab.又abdeme，四边形abem为平行四边形，则ambe.fm、am平面bce，ce、be平面bce，fm平面bce，am平面bce.又fmamm，平面afm平面bce.af平面afm，af平面bce.(2)证明：acd为等边三角形，f为cd的中点，afcd.de平面acd，af平面acd，deaf.又cdded，故af平面cde.bgaf，bg平面cde.bg平面bce，平面bce平面cde.(3)在平面cde内，过f作fhce于h，连接bh，平面bce平面cde，fh平面bce.fbh为bf和平面bce所成的角设adde2ab2a，则fhcfsin45a，bf2a，在rtfhb中，sinfbh.直线bf和平面bce所成角的正弦值为.方法二：设adde2ab2a，建立如图所示的坐标系axyz，则a(0,0,0)，c(2a,0,0)，b(0,0，a)，d(a，a,0)，e(a，a,2a)f为cd的中点，f.(1)证明：，(a，a，a)，(