【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题七 第二讲概率与统计、随机变量及其分布列.docVIP

第二讲概率与统计、随机变量及其分布列1 随机抽样抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值2 总体分布的估计在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布一般地，样本容量越大，这种估计就越精确3 古典概型古典概型的概率：p(a).4 互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件a，b互斥，那么事件ab发生(即a，b中有一个发生)的概率，等于事件a，b分别发生的概率的和，即p(ab)p(a)p(b)这个公式称为互斥事件的概率加法公式(3)在一次试验中，对立事件a和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有p()1p(a)5 相互独立事件同时发生的概率p(ab)p(a)p(b)6 独立重复试验如果事件a在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为pn(k)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.7离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi的概率为p(xi)pi，则称下表：x1x2x3xipp1p2p3pi为离散型随机变量的分布列(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0，p1p2pi1(i1,2,3，)8 常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布分布列为(其中0p1)01p1pp(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件a发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，n，并且p(k)cpkqnk(其中k0,1,2，n，q1p)显然p(k)0(k0,1,2，n)，cpkqnk1.称这样的随机变量服从参数n和p的二项分布，记为b(n，p)9 离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量的分布列为x1x2xnpp1p2pn则称e()x1p1x2p2xnpn为的数学期望，简称期望d()(x1e()2p1(x2e()2p2(xne()2pn叫做随机变量的方差1 (2013陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为()a11 b12 c13 d14答案b解析由20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间481,720的人数为12(人)2 (2013福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()a588 b480 c450 d120答案b解析少于60分的学生人数600(0.050.15)120(人)，不少于60分的学生人数为480人3 (2013四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()a. b. c. d.答案c解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为p(|xy|2).4 (2012广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()a. b. c. d.答案d解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类(1)当个位为奇数时，有5420(个)符合条件的两位数(2)当个位为偶数时，有5525(个)符合条件的两位数因此共有202545(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为p.5 (2013广东)已知离散型随机变量x的分布列为x123p则x的数学期望e(x)等于()a. b2 c. d3答案a解析e(x)123.6 (2013课标全国)从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.答案8解析由题意知，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是c228，n8.7 (2013江苏)现有某类病毒记作xmyn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析p.题型一用样本估计总体例1(2012广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445审题破题(1)根据样本频率之和为1，求出参数a的值；(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值；(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在50,90)之间的人数，进而求解解(1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005101005，0041010040,0.031010030,0.021010020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,4020,3040,2025.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10(人)反思归纳频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小方差较大的波动较大，方差较小的波动较小变式训练1(1)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()a.甲m乙 b.甲乙，m甲乙，m甲m乙 d.甲乙，m甲2)0.5；x1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟所以p(x1)p(y1)p(y1)p(y2)0.10.90.40.49；x2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以p(x2)p(y1)p(y1)0.10.10.01.所以x的分布列为x012p0.50.490.01e(x)00.510.4920.010.51.反思归纳(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式求出概率(2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解变式训练4(2013天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为x，求随机变量x的分布列和数学期望解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件a，则p(a).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量x的所有可能取值为1,2,3,4.p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以随机变量x的分布列是x1234p随机变量x的数学期望e(x)1234.典例(14分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望e()规范解答解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p()1p，解得p.5分(2)由题意，p(0)c3，p(1)c2，p(2)c2，p(3)c3.9分所以，随机变量的分布列为0123p故随机变量的数学期望：e()0123.14分评分细则(1)标记事件给1分，列出式子给1分；(2)四个值，每个概率给1分；(3)只写出分布列没有四个概率式子的只给2分阅卷老师提醒(1)对于事件分类较多的，可利用对立事件求解；(2)求分布列时，一定要根据概率公式写出各个概率，而不能只写分布列；(3)e()也可以根据二项分布求解1 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是()a. b. c. d.答案b解析从5个球中随机取出一个球放回，连续取3次的所有取法有555125种，有两次取红球的所有取法有3aa36种所以概率为.2 某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370za.24 b18 c16 d12答案c解析由2 0000.19380知二年级的学生人数为380370750，由于一年级的学生人数为373377750，于是三年级的学生人数为2 000750750500，那么三年级应抽取的人数为50016(人)3 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()a. b. c. d.答案a解析设甲命中目标为事件a，乙命中目标为事件b，丙命中目标为事件c，则目标被击中的事件可以表示为abc，即击中目标表示事件a、b、c中至少有一个发生p()p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c).故目标被击中的概率为1p()1.4 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab的最大值为()a. b. c. d.答案b解析由已知得3a2b0c1，即3a2b1，ab3a2b22，当且仅当3a2b时取等号，即ab的最大值为.5 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率pc6c6c6.6 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_答案0.128解析由题设，分两类情况：第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得p10.80.20.80.80.102 4；第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率p20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得pp1p20.102 40.025 60.128.7 (2013湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中x的值为 _；(2)在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_答案(1)0.004 4(2)70解析(1)(0.002 40.003 60.006 0x0.002 40.001 2)501，x0.004 4.(2)(0.003 60.004 40.006 0)5010070.专题限时规范训练一、选择题1 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()a. b. c. d.答案c解析甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式，得p.2 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件a“取到的2个数之和为偶数”，事件b“取到的2个数均为偶数”，则p(b|a)等于()a. b. c. d.答案b解析p(a)，p(ab)，p(b|a).3 (2013湖南)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()a抽签法 b随机数法c系统抽样法 d分层抽样法答案d解析总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样4 一个电路如图所示，a、b、c、d、e、f为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()a. b.c. d.答案b解析设a与b中至少有一个不闭合的事件为t，e与f至少有一个不闭合的事件为r，则p(t)p(r)1，所以灯亮的概率p1p(t)p(r)p()p().5 如图，用k、a1、a2三类不同的元件连接成一个系统当k正常工作且a1、a2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知k、a1、a2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()a0.960 b0.864 c0.720 d0.576答案b解析方法一由题意知k，a1，a2正常工作的概率分别为p(k)0.9，p(a1)0.8，p(a2)0.8，k，a1，a2相互独立，a1，a2至少有一个正常工作的概率为p(a2)p(a12)p(a1a2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为p(k)p(a2)p(a12)p(a1a2)0.90.960.864.方法二a1，a2至少有一个正常工作的概率为1p(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为p(k)1p(1 2)0.90.960.864.6 某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()a. b. c. d.答案a解析该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是p1c2，三次全部击中目标的概率是p2c3，所以此人至少有两次击中目标的概率是pp1p2c2c3.7 (2013江西)总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481a.08 b07 c02 d01答案d解析从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.8 在三次独立重复试验中，事件a在每次试验中发生的概率相同，若事件a至少发生一次的概率为，则事件a恰好发生一次的概率为()a. b. c. d.答案c解析设事件a在每次试验中发生的概率为x，由题意有1c(1x)3，得x，则事件a恰好发生一次的概率为c2.二、填空题9 (2012上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)答案解析三位同学每人选择三项中的两项有ccc33327(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有ccc33218(种)选法所求概率为p.10在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率为，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为_答案解析若该机器人移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x轴正方向移动3次、沿y轴正方向移动3次，因此机器人移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为pc3320.11 (2013山东改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为_答案解析由题意知91，解得x4.所以s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2(16910190).12已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量x“|ab|的取值”，则x的数学期望e(x)为_答案解析依题意知0.x可能取的值为0,1,2.则p(x0)，p(x1)，p(x2)，e(x)012.三、解答题13现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加