【江海名师零距离】高三数学二轮总复习专题24 运用转化与化归的思想方法解题.doc

专题二十四 运用转化与化归思想方法解题 【典题导引】例1.已知圆，是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解法1:假设存在适合题意的直线，其方程为：,即.由消去得, 设被圆截得的弦的两端点坐标分别为，则是方程的两个实根，故，. 以为直径的圆过原点, 即, ,整理得, 即，,或 (此时方程的判别式都大于零).由此可知，存在斜率为的直线:或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法2:同解法1设直线方程为 ，圆的方程化为,其圆心为,半径.设弦的中点为,则有,易得直线的方程为,即,与联立得点坐标为,依题意有,即,化得,或.存在斜率为的直线:或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法3:同解法1设直线方程为，则以弦为直径的圆的方程可表示为.该圆过原点，,即 , 故该圆方程可变为,其圆心应该在直线上, ,即,由得 , 或.存在斜率为的直线:或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法4:假设存在适合题意的直线,由于以弦为直径的圆过原点,故可设其方程为,由相减得公共弦所在直线方程：,弦所在直线的斜率为,即. 又该圆圆心在直线上, 从而有, 即,解得或，直线的方程为或.故存在斜率为的直线:或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法5:假设存在适合题意的直线,设,以弦为直径的圆的圆心为, 由相减得,依题意知,且,代入上式得. 以为直径的圆过原点, ,即, , 从而得 ,即,由得,或,点的坐标为或,由点斜式得直线的方程为或.故存在斜率为的直线:或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.解法6:圆的方程化为,可设两点坐标分别是,其中.直线的斜率为,即, , 易得, 即.点坐标改写为.以为直径的圆过原点, ,即,展开化简得,令,则,解得或,或，从而知弦的中点坐标为或,由点斜式得直线的方程为或.故存在斜率为的直线:或，使以被圆截得的弦为直径的圆过原点.例2. 设的内角所对的边长分别为，且满足（1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积解：（1）,则, ,;（2），,即则，则. 由（1）知，所以， 设，则，又 在中,由余弦定理得, 即,解得,故例3. 已知函数（其中为自然对数的底数），（1）若时方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围；（2）若，求使的图象恒在图象上方的最大正整数参考数据：解：（1）令，故在上单调递减；在上单调递增；故在上恰有两个相异实根，；（2）由题设：，因为故在上单调递减；在上单调递增；，设，则，故在上单调递增；在上单调递减；而，且，故存在使，且时，时，又， 故时使的图象恒在图象的上方的最大正整数例4. 已知数列的前项和为，且 （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由；（3）证明：一定存在满足条件的正整数，使得成等差数列，并求出正整数，满足的关系解：（1）, 时， , 得：， 又，数列是等比数列，且，；（2）数列中，存在连续三项成等差数列 . 数列中，存在连续三项成等差数列，它们是； （3）成等差数列 , 时，式中，左端=0，右端= ，为奇数时，右端=0，式成立，为偶数时，右端，式不成立；若时，是满足的正整数，在式，左端，右端=，式不可能成立； 综上所述，结合得：存在满足条件的正整数，使得成等差数列，此时正整数，满足：且为奇数，【归类总结】1转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程2转化有等价转化与非等价转化等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口3常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等