【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题五 第三讲空间向量与立体几何.DOCVIP

第三讲空间向量与立体几何1 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同)(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角l的大小为或.1 (2012陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b.c. d.答案a解析不妨令cb1，则cacc12.可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，1(0,2，1)，1(2,2,1)，cos1，10.1与1的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.2 (2013辽宁)如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值(1)证明由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.因为bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)解方法一过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb、ca、cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故c(，0,0)，c(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为a(0,0,1)，a(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角cpba的余弦值为.方法二 过c作cmab于m，因为pa平面abc，cm平面abc，所以pacm，又paaba，故cm平面pab.所以cmpb.过m作mnpb于n，连接nc，所以pb面mnc，所以cnpb，所以cnm为二面角cpba的平面角在rtabc中，由ab2，ac1，得bc，cm，bm，在rtpab中，由ab2，pa1，得pb.因为rtbnmrtbap，所以，故mn.又在rtcnm中，cn，故coscnm.所以二面角cpba的余弦值为.题型一利用空间向量证明平行与垂直例1如图所示，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e、f、o分别为pa、pb、ac的中点，ac16，papc10.(1)设g是oc的中点，证明：fg平面boe；(2)证明：在abo内存在一点m，使fm平面boe.审题破题以o点为原点，ob、oc、op所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解(1)证明如图所示，连接op，以o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，则o(0,0,0)，a(0，8，0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0，0,6)，e(0，4,3)，f(4,0,3)，由题意得，g(0,4,0)，因(8,0,0)，(0，4,3)，因此平面boe的一个法向量n(0,3,4)，(4,4，3)，得n0，又直线fg不在平面boe内，因此有fg平面boe.(2)设点m的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)，因为fm平面boe，所以有n，因此有x04，y0，即点m的坐标为，在平面直角坐标系xoy中，aob的内部区域可表示为不等式组，经检验，点m的坐标满足上述不等式组，所以，在abo内存在一点m，使fm平面boe.反思归纳(1)空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证(2)用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证，直接计算就行了，把几何问题代数化尤其是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷，但是向量法要求计算必须准确无误变式训练1如图，在直三棱柱adebcf中，面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直，m为ab的中点，o为df的中点运用向量方法证明：(1)om平面bcf；(2)平面mdf平面efcd.证明(1)由题意，ab，ad，ae两两垂直，以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则a(0,0,0)，b(1，0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，f(1,0,1)，m，o.(1)，(1,0,0)，0, .棱柱adebcf是直三棱柱，ab平面bcf，是平面bcf的一个法向量，且om平面bcf，om平面bcf.(2)设平面mdf与平面efcd的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，由n1n10，得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1)n1n20，平面mdf平面efcd.题型二利用向量求空间角例2如图，三棱锥pabc中，pb平面abc.pbbcca4，bca90，e为pc的中点(1)求证：be平面pac；(2)求二面角eabc的余弦值审题破题本题的关键是在平面abc内找到两条互相垂直的直线，可以过点b作bc的垂线bt，分别以bc，bt，bp为x，y，z轴建立空间直角坐标系(1)证明be面pac. (2)解如图，在平面abc内过点b作btbc，分别以bc，bt，bp为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则b(0,0,0)，c(4,0,0)，a(4,4,0)，p(0,0,4)，e(2,0,2)，则(4,4,0)，(2,0,2)，平面abc的法向量为n1(0,0,1)，设平面abe的法向量为n2(x，y，z)则n20，n20，即.令z1，得x1，y1，即n2(1,1,1)设二面角eabc为，则cos .反思归纳利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系(2)求出相关点的坐标(3)写出向量坐标(4)结合公式进行论证、计算(5)转化为几何结论变式训练2(2012课标全国)如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，cdbdd，所以dc1平面bcd.因为bc平面bcd，所以dc1bc.(2)解由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1a1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1，1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m(x，y，z)是平面c1bd的法向量，则即可取m(1,2,1)从而cos n，m.故二面角a1bdc1的大小为30.题型三利用向量求空间距离例3如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，babc2，0，异面直线a1b与ac成60的角，点o、e分别是棱ac和bb1的中点，点f是棱b1c1上的动点(1)求证：a1eof；(2)求点e到面ab1c的距离；(3)求二面角b1a1cc1的大小审题破题在已知三棱柱中，直线ba，bc，bb1两两垂直，已有空间直角坐标系的框架(1)证明设棱柱的高为h，以b为坐标原点，以ba、bc、bb1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则b(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，o(1,1,0)，a1(2,0，h)，(2,0，h)，(2，2,0)，cos，即cos 60，解得h2.e(0,0,1)，a1(2,0,2)，(2,0，1)f是b1c1上的动点，设f(0，y,2)，(1，y1,2)，(2,0，1)(1，y1,2)0， 即a1eof.(2)解易求面ab1c的法向量为n(1,1,1)，(2,0，1)，所以e到面ab1c的距离为d.(3)解平面a1cc1的一个法向量是(1,1,0)设平面a1b1c的一个法向量是n(x，y，z)，(2,2，2)，(2,0,0)，则n(x，y，z)(2,2，2)2x2y2z0，n(x，y，z)(2,0,0)2x0，x0.代入并令z1得y1，n(0,1,1)，cosn，n，60，即二面角b1a1cc1的大小为60.反思归纳求点面距的常用方法：直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解；等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离变式训练3如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，平面pbc底面abcd，且pbpc.(1)求证：abcp；(2)求点b到平面pad的距离；(3)设面pad与面pbc的交线为l，求二面角alb的大小(1)证明以bc的中点o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(1,0,0)，a(1，2,0)，c(1,0,0)，p(0,0,2)，d(1，2,0)(0,2,0)，(1,0,2)，则有0，.即abcp.(2)解设平面pad的法向量为n(x，y，z)，(1，2，2)，(2,0,0)，则由得则x0，令z1y，得n(0，1,1)，又(1,0,2)，点b到平面pad的距离d.(3)解由(2)知平面pad的法向量n(0，1,1)，而平面pbc平面abcd，平面pbc的法向量m(0,1,0)二面角alb的余弦值为.由图形知二面角alb为锐二面角，二面角alb的大小为45.典例(15分)如图，在三棱锥pabc中，acbc2，acb90，apbpab，pcac，点d为bc的中点(1)求二面角apdb的余弦值；(2)在直线ab上是否存在点m，使得pm与平面pad所成角的正弦值为，若存在，求出点m的位置；若不存在，说明理由规范解答解(1)acbc，papb，pcpc，pcapcb，pcapcb，pcac，pccb，又accbc，pc平面acb，且pc，ca，cb两两垂直，2分故以c为坐标原点，分别以cb，ca，cp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(0,2,0)，d(1,0,0)，p(0,0,2)，(1，2,0)，(1,0，2)，4分设平面pad的一个法向量n(x，y，z)，即，取n(2,1,1)，平面pdb的一个法向量为(0,2,0)，6分cosn，设二面角apdb的平面角为，且为钝角，cos ，二面角apdb的余弦值为.8分(2)方法一存在，m是ab的中点或a是mb的中点10分设m(x,2x,0) (xr)，(x,2x，2)，12分|cos，n|，解得x1或x2，m(1,1,0)或m(2,4,0)，14分在直线ab上存在点m，且m是ab的中点或a是mb的中点，使得pm与平面pad所成角的正弦值为.15分方法二存在，m是ab的中点或a是mb的中点10分设，则(2，2,0)(2，2，0) (r)，(2，22，2)，8分|cos，n|.解得或1.13分m是ab的中点或a是mb的中点在直线ab上存在点m，且m是ab的中点或a是mb的中点，使得pm与平面pad所成角的正弦值为.15分评分细则(1)没有指明ca、cb、cd两两垂直，直接建系的扣1分；(2)求出平面的法向量给1分；法向量写成其他形式不扣分；(3)二面角余弦值写成的扣1分；(4)第(2)问最后不写结论的扣1分阅卷老师提醒(1)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是锐角还是钝角如果两个平面的法向量分别是m，n，两个平面所成的锐二面角的大小为，则cos |cosm，n|.在一般的二面角大小计算中要根据这个二面角的实际大小，确定其余弦值的正、负号的选取(2)探索性问题一定要写出结论1 在空间中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则异面直线ab与dc所成角的大小为()a45 b90 c120 d135答案a解析(2,4,0)，(1,3,0)，cos，.，(0，90，45.故选a.2 在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为()a. b. c. d.答案c解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ab2，则c1(，1,0)，a(0,0,2)，(，1，2)，平面bb1c1c的一个法向量为n(1,0,0)，所以ac1与平面bb1c1c所成的角的正弦值为.故选c.3如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1mana，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定答案b解析分别以c1b1、c1d1、c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示a1mana，m，n，.又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面bb1c1c的法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.4 在三棱柱abca1b1c1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点d是侧面bb1c1c的中心，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是()a30 b45 c60 d90答案c解析取bc中点e，连接ae，则ae平面bcc1b1，故ade为直线ad与平面bb1c1c所成的角设各棱长为a，则aea，dea.tanade.ade60.5 在一直角坐标系中已知a(1,6)，b(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后a、b两点间的距离为_答案2解析如图为折叠后的图形，其中作accd，bdcd，则ac6，bd8，cd4，两异面直线ac、bd所成的角为60，故由，得|2|268，|2.6 已知正方体abcda1b1c1d1中，e为c1d1的中点，则异面直线ae与bc所成角的余弦值为_答案解析在正方体abcda1b1c1d1中，adbc，所以ae与bc所成的角即为ad与ae所成的角，即是ead.连接de，在rtade中，设ada，则dea，tanead，cosead，所以异面直线ae与bc所成角的余弦值为.专题限时规范训练一、选择题1 已知点g是abc的重心，o是空间任一点，若，则的值为()a1 b2 c3 d4答案c解析，具体表示出向量后，比较即可如图所示()()()，所以3.2 若不同直线l1，l2的方向向量分别为，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是()a(1,2，1)，(0,2,4)b(3,0，1)，(0,0,2)c(0,2，3)，(0，2,3)d(1,6,0)，(0,0，4)答案b解析a项中0440，l1l2；c项中，共线，故l1l2；d项中，0000，l1l2，故选b.3 在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd平面abcd，abpda.点e为侧棱pc的中点，又作dfpb交pb于点f.则pb与平面efd所成角为()a30 b45c60 d90答案d解析建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，d为坐标原点则p(0,0，a)，b(a，a,0)，(a，a，a)，又，00，所以pbde，由已知dfpb，且dfded，所以pb平面efd，所以pb与平面efd所成角为90.4 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，aa12，acbc1，则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是()a. b. c. d.答案b解析以c为坐标原点，ca、cb、cc1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，a1(1,0,2)，b(0,1,0)，a(1,0,0)，c(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.5 已知a(1,1,0)，b(1,0,3)，且kab与2ab垂直，则k的值为()a. b1 c. d2答案a解析kab(k1，k,3)，2ab(3,2，3)，依题意，得：(k1)3k23(3)0，解得k.6 如图，过正方形abcd的顶点a，引pa平面abcd.若paba，则平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是()a30 b45c60 d90答案b解析建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面apb与平面pcd的法向量分别为n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面abp与平面cdp所成二面角(锐角)的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.7 正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，则|为()a.a b.a c.a d.a答案a解析以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.m，| a.8 将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，则下面结论错误的为()aacbdbacd是等边三角形cab与平面bcd所成的角为60dab与cd所成的角为60答案c解析取bd中点o，连接ao、co，则aobd，cobd，bd平面aoc，acbd，又acaoadcd，acd是等边三角形，而abd是ab与平面bcd所成的角，应为45.又(设aba)，则a2a22a2a22aa()2aa()2a2cos，cos，ab与cd所成的角为60.二、填空题9 到正方体abcda1b1c1d1的三条棱ab、cc1、a1d1所在直线的距离相等的点：有且只有1个；有且只有2个；有且只有3个；有无数个其中正确答案的序号是_答案解析注意到正方体abcda1b1c1d1的对角线b1d上的每一点到直线ab，cc1，a1d1的距离都相等，因此到abcda1b1c1d1的三条棱ab，cc1，a1d1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是.10如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_答案60解析以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，ef和bc1所成的角为60.11在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，设papbpca，则点p到平面abc的距离为_答案a解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系pxyz，则p(0,0,0)，a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(0,0，a)过点p作ph平面abc，交平面abc于点h，则ph的长即为点p到平面abc的距离papbpc，h为abc的外心又abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.ph a.12底面是正方形的四棱锥abcde中，ae底面bcde，且aecda，g、h分别是be、ed的中点，则gh到平面abd的距离是_答案解析建立如图所示的坐标系，则有a(0,0，a)，b(a,0,0)，g，d(0，a,0)设平面abd的法向量