【状元之路】高中数学 数学归纳法证明不等式单元测评 新人教A版选修45.docVIP

单元测评(四)数学归纳法证明不等式(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分1用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nn*)”时，在验证当n1成立时，左边计算所得的结果是()a1b1ac1aa2 d1aa2a3解析：由于等式左边当n1时，幂指数的最大值为112，所以左边计算结果为1aa2.答案：c2满足122334n(n1)3n23n2的自然数n()a1 b1或2c1,2,3 d1,2,3,4解析：经验证当n1,2,3时均正确，但当n4时，左边1223344540，而右边34234238，故选c.答案：c3用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()a2b3c5d6解析：当n4时，2nn21；当n5时，2nn21.于是n0应取5.答案：c4用数学归纳法证明不等式1成立时，起始值至少应取()a7 b8 c9 d10解析：原不等式可化为，即2，即2，所以2，即，即.故262n1，即n16，故n7，所以n最小取8.答案：b5用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正整数n应为()an1 bn2cn1,2 d以上答案均不正确答案：a6若命题p(n)对nk成立，则它对nk2亦成立，又若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是()ap(n)对所有正整数n成立bp(n)对所有正偶数n成立cp(n)对所有正奇数n成立dp(n)对所有比1大的自然数n成立答案：b7利用数学归纳法证明(n2，nn*)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边()a增加了一项b增加了两项和c增加了一项，并减少了d增加了两项和，并减少了答案：d8用数学归纳法证明“sn1(nn*)”时，s1等于()a. b.c. d以上答案均不正确答案：c9用数学归纳法证明coscos3cos(2n1)(kz*，k，nn*)，在验证n1时，左边计算所得的项是()a. b.cosc.coscos3 dcos答案：b10设平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系为()af(k1)f(k)k1bf(k1)f(k)k1cf(k1)f(k)kdf(k1)f(k)k2答案：c第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11数列an中，a11，且sn、sn1、2s1成等差数列，则s2、s3、s4分别为_，猜想sn_.答案：、12用数学归纳法证明123n2，则nk1时，左端应在nk时的基础上加上_答案：(k21)(k22)(k23)(k1)213已知f(n)1(nn*)，用数学归纳法证明“f(2n)”时，f(2k1)f(2k)_.答案：14用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_答案：(k35k)3k(k1)6三、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nn.证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设nk(kn，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对nn，命题成立(12分)16(12分)求证：(n2，nn*)证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，且kn*)时命题成立即.当nk1时，从而当nk1时不等式也成立由(1)、(2)知，原不等式对一切n2，nn*均成立(12分)17(12分)用计算、归纳猜想、证明法求数列，的前n项之和sn.解：观察数列知，s1，s2，s3，由以上推导可猜想：.(4分)证明：(1)当n1时，左边，右边，等式成立；(2)假设nk时等式成立，即.当nk1时，.这就是说，当nk1时，等式成立根据(1)、(2)知，等式对于任何nn*都成立(12分)18(14分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10100.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项anlg，记sn是数列an的前n项和，试比较sn与lgbn1的大小，并证明你的结论解：(1)设数列bn的公差为d，由题意，得解得从而bn2n1.(4分)(2)由bn2n1，知snlg(11)lg(1)lglg，lgbn1lg.因此要比较sn与lgbn1的大小，可先比较(11)与的大小取n1，有(11) ；取n2，有(11) ，由此推测(11).若式成立，则由对数函数性质可断定snlgbn1.(6分)下面用数学归纳法证明式()当n1时，已验证式