【状元之路】（新课标 通用版）高考数学一轮复习 108圆锥曲线的综合问题同步检测（2）文(1).doc

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-8圆锥曲线的综合问题同步检测（2）文一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()a1b1或3c0 d1或0解析：由得ky28y160，若k0，则y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.答案：d2已知ab为过椭圆1中心的弦，f(c,0)为它的焦点，则fab的最大面积为()ab2 babcac dbc解析：设a、b两点的坐标为(x1，y1)、(x1，y1)，则sfab|of|2y1|c|y1|bc.答案：d3过抛物线y22px (p0)的焦点f且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于a、b两点，则的值等于()a5 b4c3 d2解析：记抛物线y22px的准线为l，作aa1l，bb1l，bcaa1，垂足分别是a1、b1、c，则有cos60，由此得3，选c.答案：c4设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a(0,2) b0,2c(2，) d2，)解析：x28y，焦点f的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|mf|y02.由于以f为圆心、|fm|为半径的圆与准线相交，又圆心f到准线的距离为4，故42.答案：c5已知双曲线e的中心为原点，f(3,0)是e的焦点，过f的直线l与e相交于a，b两点，且ab的中点为n(12，15)，则e的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：kab1，直线ab的方程为yx3.由于双曲线的焦点为f(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25，双曲线e的方程为1.答案：b6已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点a、b，则|ab|等于()a3 b4c3 d4解析：设直线ab的方程为yxb.由x2xb30x1x21，得ab的中点m.又m在直线xy0上，可求出b1，x2x20，则|ab| 3.答案：c7如图，已知过抛物线y22px (p0)的焦点f的直线xmym0与抛物线交于a、b两点，且oab(o为坐标原点)的面积为2，则m6m4的值是()a1 b.c2 d4解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意可知，m，将xmym代入抛物线方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根与系数的关系，得y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又oab的面积s|y1y2|(m)42，两边平方即可得m6m42.答案：c8直线l：yx3与曲线1交点的个数为()a0个 b1个c2个 d3个解析：当x0时，曲线为1；当x0时，曲线为1，如图所示，直线l：yx3过(0,3)，又由于双曲线1的渐近线yx的斜率1，故直线l与曲线1(x0)有两个交点，显然l与半椭圆1(x0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点. 答案：d9已知双曲线1(a0，b0)，m，n是双曲线上关于原点对称的两点，p是双曲线上的动点，且直线pm，pn的斜率分别为k1，k2，k1k20，若|k1|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为()a. b.c. d.解析：设m(x0，y0)，n(x0，y0)，p(x，y)，则k1，k2.又m、n、p都在双曲线1上，b2(x2x)a2(y2y).|k2|，即|k1|k2|.又|k1|k2|2.1，即4b2a2.4(c2a2)a2，即4c25a2.，即e2，e.答案：b10已知双曲线x21的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则的最小值为()a2 bc1 d0解析：设点p(x，y)，其中x1.依题意得a1(1,0)，f2(2,0)，由双曲线方程得y23(x21)(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x2y2x2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2.答案：a二、填空题11设抛物线x24y的焦点为f，经过点p(1,4)的直线l与抛物线相交于a、b两点，且点p恰为ab的中点，则|_.解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知x1x22，且x4y1，x4y2，两式相减整理得，所以直线ab的方程为x2y70.将x2y7代入x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由抛物线定义得|y1y2210.答案：1012. 已知椭圆y21的两个焦点为f1、f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则|pf2|_.解析：将x代入椭圆方程得yp，由|pf1|pf2|4|pf2|4|pf1|4.答案：13直线ykx2与抛物线y28x交于不同两点a、b，且ab的中点横坐标为2，则k的值是_解析：设a(x1，y1)、b(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由题意得即k2.答案：214已知双曲线1 (a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与(1,0)到直线1的距离之和sc，则e的取值范围是_解析：由题意知sc，2c25ab，.又，2e25，4e425(e21)，4e425e2250，e25，e.答案：三、解答题152013安徽设椭圆e：1的焦点在x轴上(1)若椭圆e的焦距为1，求椭圆e的方程；(2)设f1、f2分别是椭圆e的左、右焦点，p为椭圆e上第一象限内的点，直线f2p交y轴于点q，并且f1pf1q.证明：当a变化时，点p在某定直线上解析：(1)因为焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆e的方程为1.(2)证明：设p(x0，y0)，f1(c,0)，f2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线f1p的斜率kf1p，直线f2p的斜率kf2p，故直线f2p的方程为y(xc)当x0时，y，即点q坐标为.因此，直线f1q的斜率为kf1q.由于f1pf1q，所以kf1pkf1q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆e的方程，由于点p(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点p在定直线xy1上答案：(1)1；(2)证明略162013江西如图，椭圆c：1(ab0)经过点p，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆c的方程；(2)ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p)，设直线ab与直线l相交于点m，记pa，pb，pm的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：(1)由p在椭圆上得，1，依题设知a2c，则b23c2，代入解得c21，a24，b23.故椭圆c的方程为1.(2)方法一：由题意可设ab的斜率为k，则直线ab的方程为yk(x1)，代入椭圆方程3x24y212并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4得，m的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.注意到a，f，b共线，则有kkafkbf，即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意方法二：设b(x0，y0)(x01)，则直线fb的方程为y(x1)，令x4，求得m，从而直线pm的斜率为k3.联立得a，则直线pa的斜率为：k1，直线pb的斜率为：k2，所以k1k22k3，故存在常数2符合题意答案：(1)1；(2)存在，2.创新试题教师备选教学积累资源共享12013课标全国已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.解析：由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2,0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|ab|2.若l的倾斜角不为90，由r1r知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆m相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|ab|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|ab|.综上，|ab|2或|ab|.22013广东已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为，设p为直线l上的点，过点p作抛物线c的两条切线pa，pb，其中a，b为切点(1)求抛物线c的方程；(2)当点p(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线ab的方程；(3)当点p在直线l上移动时，求|af|bf|的最小值解析：(1)由题设条件，可得：，由c0得c1.所以c的方程为：x24y.(2)设过点p(x0，y0)的两切线的切点分别为a(x1，y1)和b(x2，y2)，则直线ab的方程可表示为：yy1(xx1)由于y，过a，b的切线的斜率分别为ka和kb.因此直线pa的方程可表示为：yy1(xx1)，结合x4y1得yy1x；同理pb的方程可表示为：yy2x.由于p(x0，y0)在这两条直线上，所以因此将代入得到直线ab的方程为：yx0xy0(或yx0xx02或y(y02)xy0)(3)由于y1为抛物线c的准线，所以|af|bf|y1(1)|y2(1)|y1y2y1y21|.由(2)可知(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的两解，由得(yy0)2x2，将代入(yy0)2x2得到：y2(2y0x)yy0.易得：y1y2x2y0，y1y2y.|af|bf|y1y2y1y21|x(y01)2|pf|2.由于点f到直线l的距离为，故|af|bf|的最小值为.32013湖南已知f1，f2分别是椭圆e：y21的左、右焦点，f1，f2关于直线xy20的对称点是圆c的一条直径的两个端点(1)求圆c的方程；(2)设过点f2的直线l被椭圆e和圆c所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程解析：(1)由题设知，f1，f2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，圆c的半径为2，圆心为原点o关于直线xy20的对称点设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆c的方程为(x2)2(y2)24.(2)由题意，可设直线l的方程为xmy2，则圆心到直线l的距离d.所以b2.由得(m25)y24my10.设l与e的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y2，y1y2.于是a .从而ab2.当且仅当，即m时等号成立故当m时，ab最大，此时，直线l的方程为xy2或xy2，即xy20，或xy20.42013重庆如图，椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a，a两点，|aa|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点p，p，过p，p作圆心为q的圆，使椭圆上的其余点均在圆q外求ppq的面积s的最大值，并写出对应的圆q的标准方程解析：(1)由题意知点a(c,2)在椭圆上，则1.从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设q(x0,0)又设m(x，y)是椭圆上任意一点，则|qm|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)设p(x1，y1)，由题意，p是椭圆上到q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|qp|28x.由对称性知p(x1，y1)，故|pp|2y1|，所以s|2y1|x1x0|2 |x0| .当x0时，ppq的面积s取到最大值2.此时对应的圆q的圆心坐标为q(，0)，半径|qp|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.52013山东椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1.(1)求椭圆c的方程；(2)点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，连接pf1，pf2.设f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2.若k0，试证明为定值，并求出这个定值解析：(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y，由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆c的方程为y21.(2)方法一：设p(x0，y0)(y00)又f1(，0)，f2(，0)，所以直线pf1，pf2的方程分别为lpf1y0x(x0)yy00，lpf2y0x(x0)yy00.由题意知.由于点p在椭圆上，所以y1，所以.因为m，2x02，可得.所以mx0.因此m.方法二：设p(x0，y0)当0x02时，当x0时，直线pf2的斜率不存在，易知p或p.若p，则直线pf1的方程为