线性代数答案.pdf

习题习题习题习题 3 5 1 设 则在 B C D中与 A 等价的矩阵为 并说明理由 分析分析分析分析 等价的充要条件是两个行列数相同的矩阵的秩相同 由于A是一个3 3 的秩为 2 的 矩阵 所以只要在 B C D中找出同样是3 3 的秩为 2 的那个矩阵即是与A等价的矩阵 解解解解 B是3 3 的 但是它的秩为 1 所以不是 C是3 3 的同时秩也是 2 所以与A等价 D虽然秩是 2 但是是4 3 的矩阵 所以与A不等价 综上知应填C 2 下述命题正确的是 并说明理由 A 若 A 与 B 等价 则 A B B 若方阵 A 与方阵 B 等价 则AB C 若 A 与可逆矩阵 B 等价 则 A 也是可逆矩阵 D 若 A B C D 均为 n 阶方阵 若 A 与 B 等价 C 与 D 等价 则 A C 与 B D 等价 解解解解 A 设 1001 0000 AB 由于秩 A 秩 B 所以他们必等价 但是显然 AB 据此 A 不正确 B 1010 0102 AB 由于秩 A 秩 B 所以他们必等价 但是显然 12AB 据此 B 不正确 C B是可逆矩阵 因此B是满秩的方阵 根据题意 A 与 B 等价 即有秩 A 秩 B 所以A也是满秩的方阵 因此 A 也是可逆矩阵 据此 C 正确 D 设 1001 0000 AB 1000 0010 CD 秩 A 秩 B 秩 C 秩 D 所以 A 与 B 等价 C 与 D 等价 但是显然 01 10 ACO BD 不 等价 据此 D 不正确 综上知应填C 解解解解 由于两个矩阵等价 所以两者的秩必相等 21 23 2 120120 240003 003000 RR R 可知该矩阵的秩为 2 因此 123 258 26a 的秩也 必须为 2 对它作初等行变换 3221 31 4 2 2 123123123 258012012 26040002 4 RaRRR RR aaa 所以要使得 它的秩为 2 则4a 故应填 4 4 证明 秩为 r 的矩阵可表示为 r 个秩为 1 的矩阵之和 证证证证 设A为秩为 r 的m n 矩阵 则它必与矩阵 r m n EO OO 等价 所以必存在两个可逆矩 阵 P Q使得 r m n EO APQ OO 成立 而 r m n EO OO 可以写成r 个只有一个元素为 1其 余为零的m n 矩阵的和的形式 10 01 00 00 r m n m r n rm r n r m nm n EO OO OO 00 00 10 01 m r n rm r n r m nm n OO 所以有 r m n EO APQ OO 10 00 00 01 m r n rm r n r m nm n PQ OO 10 00 00 01 m r n rm r n r m nm n PQPQ OO 这样A就表示成了 r 个矩阵之和的形式 而任一个 0 1 0 m r n r m n PQ O 由于中间那个矩阵只有一个元素非零 所以其秩为1 而 P Q可逆 所以三个矩阵的积的秩 仍然为 1 这样A就表示成了 r 个秩为 1 的矩阵之和了 5 上题的逆命题 r 个秩为 1 的矩阵之和的秩为 r 是否成立 成立请证明 否则举反例 证证证证 设 12 11 00 m r n rm r n r m nm n AA OO 1 0 r m r n r m n A O 显然 1 2 i A ir 的秩都是 1 但是他们的和 0 m r n r m n r A O 的秩是 1 而 不是 r 所以该逆命题不成立 6 若将所有 n 阶方阵按等价分类 可分成几个等价类 每一类的标准形是什么 解解解解 可以分成1n 类 秩为 0 的一类 标准形为O 秩为 1 的一类 标准形为 1 EO OO 秩为 2 的一类 标准形为 2 EO OO 秩为n的一类 标准形为 n E 7 设 A 是 n n 1 阶方阵 A O 则存在一个非零矩阵 n t B 使得ABO 的充要条件为 0A 证证证证 对于必要性的证明同习题 3 2 的第 13 个习题 下面证明该命题的充分性 若0A 则可知A是一个不满秩的 n n 1 阶方阵 据此可知线性方程组AXO 有非 零解 设 1 n aa 为一个非零解 则令 1 2 00 00 00 n n t a a B a 显然B是一个非零 的n t 矩阵 并且满足ABO 所以存在这样的非零矩阵 n t B 使得ABO 8 设 A 是 m n 矩阵 B 是 n m 矩阵 若 m n 则必有0AB 证证证证 由于秩 AB 秩 A 而A是一个m n 的矩阵且m n 所以秩 A n 据此可 得秩 AB n 由于 A 是 m n 矩阵 B 是 n m 矩阵 所以AB是一个m m 的方阵 由 于秩 AB n m 因此AB是不满秩的 因此0AB 9 设 227 036 000 A B是秩为 1 的 矩阵 问矩阵 AE B 的秩为多少 解解解解 由AE 127 026 001 可知20AE 所以AE 是可逆矩阵 因此 秩 AE B 秩 B 1 10 设 A 为 矩阵 1 秩 T AA 必 T AA 2 齐次线性方程组 T AA XO 为 A 无解 B 有惟一解 C 有无穷多解 D 解不确定 可