【立体设计】高考数学 8.9 曲线与方程挑战真题 理（通用版）.docVIP

2012高考立体设计理数通用版 8.9 曲线与方程挑战真题1.（2010重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( )a.直线 b.椭圆 c.抛物线 d.双曲线解析：在长方体abcda1b1c1d1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线ad与d1c1是异面垂直的两条直线，过直线ad与d1c1平行的平面是面abcd，设在平面abcd内动点m（x,y）满足到直线ad与d1c1的距离相等，作mm1ad于m1，mncd于n，npd1c1于p，连结mp，易知mn面cdd1c1，mpd1c1,则有mm1=mp，|y|2=x2+a2（其中a是异面直线ad与d1c1间的距离），即有y2-x2=a2，因此动点m的轨迹是双曲线，选d.答案：d2.(2008北京) 若点p到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为 ()a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线解析：点p到直线x1的距离比它到(2,0)的距离小于1，所以等价于点p到直线x2的距离等于它到(2,0)的距离，转化为圆锥曲线的统一定义答案：d3.（2010湖北）已知一条曲线c在y轴右边，c上每一点到点f（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.（1）求曲线c的方程；（2）是否存在正数m，对于过点m（m,0）且与曲线c有两个交点a，b的任一直线，都有0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解:（1）设p（x,y）是曲线c上任意一点，那么点p（x,y）满足：=1（x0），化简得y2=4x（x0）.（2）设过点m（m,0）（m0）的直线l与曲线c的交点为a（x1,y1）,b（x2,y2）.设l的方程为x=ty+m,由x=ty+m, y2=4x得，y2-4ty-4m=0,=16（t2+m）0.于是y1+y2=4t,y1y2=-4m. 又=（x1-1,y1）, =（x2-1,y2）.0（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+y1y20, 又x=,于是不等式等价于由式，不等式等价于m2-6m+14t2. 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+10，即3-2m3+2.由此可知，存在正数m，对于过点m（m,0）且与曲线c有两个交点a,b的任一直线，都有0，且m的取值范围是（3-2,3+2）.4.（2010北京）在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（-1,1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于-.（1）求动点p的轨迹方程;（2）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m、n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）因为点b与点a（-1,1）关于原点o对称，所以点b的坐标为（1,-1）.设点p的坐标为（x,y）,化简得x2+3y2=4（x1）.故动点p的轨迹方程为x2+3y2=4（x1）.（2）解:设点p的坐标为（x0,y0）,点m,n的坐标分别为（3,ym），（3,yn）,故存在点p使得pab与pmn的面积相等，此时点p的坐标为5.（2009广东）已知曲线c：yx2与直线l：xy20交于两点a(xa，ya)和b(xb，yb)，且xaxb.记曲线c在点a和点b之间那一段l与线段ab所围成的平面区域(含边界)为d.设点p(s，t)是l上的任一点，且点p与点a和点b均不重合(1)若点q是线段ab的中点，试求线段pq的中点m的轨迹方程；(2)若曲线g：x22axy24ya20与d有公共点，试求a的最小值解：(1)联立yx2与yx2得xa1，xb2，则ab中点q，设线段pq的中点m坐标为(x，y)，则x，y，即s2x，t2y，又点p在曲线c上，所以2y2，化简可得y2x2x.又点p是l上的任一点，且不与点a和点b重合，则12x2，即x，所以中点m的轨迹方程为y2x2x.(2)曲线g：x22axy24ya20，即圆e：(xa)2(y2)2，其圆心坐标为e(a,2)，半径r.由图可知，当0a时，曲线g：x22