云南省保山市腾冲四中高二数学下学期期中试卷（含解析）.doc

云南省保山市腾冲四中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷 一、选择题（本题每小题5分，共60分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，集合a=1，3，5，集合b=3，4，则（ua）b=（）a3b4c3，4d2，3，42（5分）设xr，则“x3=x“是“x=1“的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）ab0c3d4（5分）已知数列an的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）a1b9c10d555（5分）某几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的侧视图可以是（）abcd6（5分）阅读下面的程序框图，则输出的s=（）a14b20c30d557（5分）下列函数在（0，+）上为减函数的是（）ay=|x1|by=excy=ln（x+1）dy=x（x+2）8（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）aa=1，b=1ba=1，b=1ca=1，b=1da=1，b=19（5分）已知等边三角形abc的边长为1，则=（）abcd10（5分）已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）a3b3c4d511（5分）在abc中，已知a2+b2=c2ab，则c=（）a30b45c150d13512（5分）直线4x+3y5=0与圆（x1）2+（y2）2=9相交于a、b两点，则ab的长度等于（）a1bc2d4二、填空题（本题每小题5分，共20分）13（5分）已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点（4，5），则回归直线的方程为14（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则m=15（5分）要得到y=sinx的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位16（5分）观察下列等式：12=1，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nn*，1222+3242+（1）n+1n2=三、解答题（本题共70分）17（10分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边（1）求证：=；（2）已知b=3，c=1，a=2b，求a的值18（12分）等差数列an中，a1=1，公差d0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为sn（1）求an及sn；（2）设bn=，tn=b1+b2+bn，求tn19（12分）如图，四边形abcd是正方形，pab与pad均是以a为直角顶点的等腰直角三角形，点f是pb的中点，点e是边bc上的任意一点（1）求证：afef；（2）求二面角apcb的平面角的正弦值20（12分）为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在40，100上将这些成绩分成六段40，50），50，60），90，100后得到如如图所示部分频率分布直方图（）求抽出的60名学生中分数在70，80）内的人数；（）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频 率分布直方图，估计该校的优秀人数21（12分）已知椭圆c：+=1（ab0）的焦距为2，且过点a（，）（）求椭圆的方程；（）已知l：y=kx1，是否存在k使得点a关于l的对称点b（不同于点a）在椭圆c上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由22（12分）已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围云南省保山市腾冲四中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题每小题5分，共60分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，集合a=1，3，5，集合b=3，4，则（ua）b=（）a3b4c3，4d2，3，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：先解出a的补集，再求出结果即可解答：解：因为全集u=1，2，3，4，5，集合a=1，3，5，所以cua=2，4，又因为集合b=3，4，所以（ua）b=4，故选b点评：本题主要考查集合的运算，属于基础题2（5分）设xr，则“x3=x“是“x=1“的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：结合充分必要条件的定义，分别进行判断即可解答：解：由x3=xx=0，1，不是充分条件，由x=1x3=x，是必要条件，故选：b点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题3（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）ab0c3d考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可解答：解：=（k，3），=（1，4），=（2，1）23=（2k3，6），（23），（23）=02（2k3）+1（6）=0，解得，k=3故选：c点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错4（5分）已知数列an的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）a1b9c10d55考点：等比数列的前n项和；数列的求和 专题：计算题分析：根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案解答：解：根据题意，在sn+sm=sn+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10s9，即a10=1，故选a点评：本题考查数列的前n项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法5（5分）某几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的侧视图可以是（）abcd考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：不妨令该几何体是一个柱体，由主视图与左视图都是边长为1的正方形，可得底面积为，进而得到答案解答：解：某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，故几何体的高为1，若该几何为柱体，由体积为，可得底面积为，此时该几何体的侧视图可以是腰为1的等腰直角三角形，故选：c点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，难度不大，属于基础题6（5分）阅读下面的程序框图，则输出的s=（）a14b20c30d55考点：程序框图 专题：计算题分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值解答：解：s1=0，i1=1；s2=1，i2=2；s3=5，i3=3；s4=14，i4=4；s5=30，i=54退出循环，故答案为c点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题7（5分）下列函数在（0，+）上为减函数的是（）ay=|x1|by=excy=ln（x+1）dy=x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案解答：解：y=|x1|=（0，+）不是减函数，故a不正确y=ex，在（，+）上为增函数，故b不正确y=ln（x+1）在（1，+）上为增函数，故c不正确y=x（x+2）在（1，+）上为减函数，所以在（0，+）上为减函数故d正确故选：d点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题8（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是xy+1=0，则（）aa=1，b=1ba=1，b=1ca=1，b=1da=1，b=1考点：导数的几何意义 专题：计算题；数形结合分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出a，再根据点（0，b）在切线xy+1=0上求出b即可解答：解：y=2x+a|x=0=a，曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程xy+1=0的斜率为1，a=1，又切点在切线xy+1=0上，0b+1=0b=1故选：a点评：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程，属于基础题9（5分）已知等边三角形abc的边长为1，则=（）abcd考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由向量数量积的定义，即，再将题目中条件代入计算即可解答：解：由题意，cos120=故答案选：b点评：本题是对数量积定义的考查，属于简单题，在选择时，学生往往可能因为对特殊角的三角函数值的不熟练而选错10（5分）已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）a3b3c4d5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点c时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即c（1，2），此时z的最大值为z=1+22=5，故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法11（5分）在abc中，已知a2+b2=c2ab，则c=（）a30b45c150d135考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosc，把已知等式变形后代入求出cosc的值，即可确定出c的度数解答：解：在abc中，a2+b2=c2ab，即a2+b2c2=ab，cosc=，则c=135故选：d点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键12（5分）直线4x+3y5=0与圆（x1）2+（y2）2=9相交于a、b两点，则ab的长度等于（）a1bc2d4考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可解答：解：圆心坐标为（1，2），半径r=3，圆心到直线的距离d=，则|ab|=2=2=4，故选：d点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，利用弦长公式是解决本题的关键二、填空题（本题每小题5分，共20分）13（5分）已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点（4，5），则回归直线的方程为=2x3考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：根据回归直线斜率的估计值为2，样本的中心点为（4，5），借助点斜式方程，可求得回归直线方程解答：解：回归直线斜率的估计值为2，样本的中心点为（4，5），根据回归直线方程恒过样本的中心点，可得回归直线方程=2x3故答案为：=2x3点评：本题的考点是线性回归方程，主要考查回归直线方程的求解，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本的中心点14（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则m=2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的渐近线方程为，可得=，即可求出m解答：解：双曲线的渐近线方程为，=，m=2故答案为：2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础15（5分）要得到y=sinx的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：将函数y=sin（）的图象向左最少平移单位，可得y=sin（x+）=sinx的图象，故答案为：点评：本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题16（5分）观察下列等式：12=1，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nn*，1222+3242+（1）n+1n2=考点：归纳推理 专题：压轴题；规律型分析：由已知中的等式：12=1，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10，我们易得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和，右边式子的绝对值是一等差数列的前n项和，由此不难归纳出答案解答：解：由已知中等式：12=1=，1222=3=，1222+32=6=，1222+3242=10=，由此我们可以推论出一个一般的结论：对于nn*，1222+3242+（1）n+1n2=故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题（本题共70分）17（10分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边（1）求证：=；（2）已知b=3，c=1，a=2b，求a的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由正弦定理得：a=2rsina、b=2rsinb、c=2rsinc，代入等式的左边化简即可；（2）由题意和正弦定理求出cosb，利用余弦定理得b2=a2+c22accosb，把已知的数据代入化简求出a的值解答：证明：（1）由正弦定理得，=2r（r是abc外接圆的半径），则a=2rsina、b=2rsinb、c=2rsinc，所以=；即原等式成立；解：（2）因为b=3，a=2b，所以，则，化简得cosb=，由余弦定理得，b2=a2+c22accosb，则9=a2+12a，即a2=12，解得a=点评：本题考查正弦、余弦定理的综合运用：化简、证明、求值，属于中档题18（12分）等差数列an中，a1=1，公差d0且a2，a3，a6成等比数列，前n项的和为sn（1）求an及sn；（2）设bn=，tn=b1+b2+bn，求tn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由a2，a3，a6成等比数列可得（1+d）（1+5d）=（1+2d）2，求出d后代入等差数列的通项公式可得an=1+2（n1）=2n3代入等差数列的前n项和求得sn；（2）把an代入bn=，然后由裂项相消法求得tn解答：解：（1）由题意可得，又a1=1，（1+d）（1+5d）=（1+2d）2，解得：d=2an=1+2（n1）=2n3；（2），=点评：本题考查了等比数列的性质，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题19（12分）如图，四边形abcd是正方形，pab与pad均是以a为直角顶点的等腰直角三角形，点f是pb的中点，点e是边bc上的任意一点（1）求证：afef；（2）求二面角apcb的平面角的正弦值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得paad，paab，abbc，从而pabc，进而bc面pab，又afpb，由此能证明afef（2）以a为原点，ad为x轴，ab为y轴，p为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角apcb的平面角的正弦值解答：（1）证明：四边形abcd是正方形，pab与pad均是以a为直角顶点的等腰直角三角形，paad，paab，又adab=a，abbc，pa平面abcd，又bc面abcd，pabc，abpa=a，bc面pab，bcaf，pab是以a为直角顶点的等腰直角三角形，f是pb中点，afpb，又pbbc=b，af平面pbc，ef平面pbc，afef（2）解：以a为原点，ad为x轴，ab为y轴，p为z轴，建立空间直角坐标系，设ab=1，则a（0，0，0），b（0，1，0），c（1，1，0），p（0，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面apc的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），=（0，1，1），=（1，1，1），设平面pbc的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），|cos|=|=，=60，又sin60=，二面角apcb的平面角的正弦值为点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20（12分）为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在40，100上将这些成绩分成六段40，50），50，60），90，100后得到如如图所示部分频率分布直方图（）求抽出的60名学生中分数在70，80）内的人数；（）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频 率分布直方图，估计该校的优秀人数考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图 专题：计算题分析：（）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1，求出成绩在70，80）内的频率，得出频数（）求出不小于85分的频率，再进行估计解答：解：（）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，频率的和等于1，成绩在70，80）内的频率1（0.005+0.01+0.02+0.035+0.005）10=0.25人数为0.2560=15人（4分）（）估计该校的优秀人数为不小于85分的频率再乘以样本总量600，即人（8分）点评：本题考查频率分步直方图，本题解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小正方形的面积是这组数据的频率21（12分）已知椭圆c：+=1（ab0）的焦距为2，且过点a（，）（）求椭圆的方程；（）已知l：y=kx1，是否存在k使得点a关于l的对称点b（不同于点a）在椭圆c上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；（）法1：当k=0时，验证点不在椭圆上；当k0时，可设直线，代入利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满足条件法2：设ab：x=ky+m，代入椭圆方程利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，导出对称点b与点a重合，不合题意，不存在k满足条件法3：由l：y=kx1可知直线l恒过点p（0，1），设点a关于l的对称点b坐标为（x0，y0），利用|pa|=|pb|，求出与a关于x=0对称，不存在k满足条件解答：解：（）椭圆c：+=1（ab0）的焦距为2，c=，则a2b2=2，椭圆过点a（，），解可得a2=3，b2=1，椭圆的方程：（）法1：当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；当k0时，可设直线，即2x+2ky3k=0代入整理得（4k2+12）y24k（k+3）y+（k+3）212=0因为，所以若a，b关于直线l对称，则其中点在直线y=kx1上所以，解得k=1因为此时点在直线l上，所以对称点b与点a重合，不合题意所以不存在k满足条件法2：设ab：x=ky+m，代入椭圆方程化简得（k2+3）y22kmy+m23=0，所以若a，b关于直线l对称，则其中点在直线y=kx1上，所以，即2km=k2+3又在直线ab：x=ky+m上，所以2mk=3，消m得（3+k）k=k2+3，所以k=1因为此时点在直线l上，所以对称点b与点a重合，不合题意，所以不存在k满足条件法3：由l：y=kx1可知直线l恒过点p（0，1），设点a关于l的对称点b坐标为（x0，y0），因为点a，b关于l对称，所以|pa|=|pb|所以又b在椭圆上，所以联立解