【相约期末】高中数学 第二章数列期末知识梳理 新人教A版必修5.docVIP

第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差12、由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项若，则称为与的等差中项13、若等差数列的首项是，公差是，则 通项公式的变形：；14、若是等差数列，且（、），则；若是等差数列，且（、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前项和的公式：；16、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，若项数为，则，且，（其中，）17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比18、在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若，则称为与的等比中项19、若等比数列的首项是，公比是，则20、通项公式的变形：；21、若是等比数列，且（、），则；若是等比数列，且（、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。22、等比数列的前项和的公式： 时，即常数项与项系数互为相反数。23、等比数列的前项和的性质：若项数为，则 ，成等比数列24、与的关系：一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程求解；若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q为相除后的常数，列两个方程求解；2、由递推公式求通项公式：若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；若化简后为形式，可用叠加法求解；若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式： 检验，若满足则为，不满足用分段函数写。4、其他 （1）形式，便于求和，方法：迭加；例如：有：（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；例如：，则，即为以-2为公差的等差数列。（3）形式，方法：构造：为等比数列；例如：，通过待定系数法求得：，即等比，公比为2。（4）形式：构造：为等比数列；（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；四、综合性问题中等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相乘约掉。附：数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 例1、已知数列an的通项为an=,求这个数列的前n项和sn.解：观察后发现：an= 例2：已知数列an的通项公式为，求这个数列的前n项之和。解：由题设得： =即= 把式两边同乘2后得= 用-，即：= = 得例3. 求和sn= 解: 由得 ,令k=1、2、3、n得 21=31311 3232321 4333331 （n+1）n=3n+3n+1把以上各式两边分别相加得：（n+1）1=3(1+2+n)+3(1+2+3+n)+n =3sn+n(n+1)+n因此，snn(n+1)(2n+1)例4、已知数列：1，求它的前n项的和sn解： an1 an2则原数列可以表示为：(21)，前n项和sn(21)2n2n2n22n2例5、设等差数列an的前n项和为sn，且sn，bnan2n，求数列bn的前n项和tn解：取n1，则a1a11又sn可得：an1(nn*) an2n1tn12322523(2n1)2n 2tn122323524(2n1)2n1得：tn22324252n1(2n1)2n12(2n1)2n16(1n)2n2tn6(n1)2n2例6、设数列an的前n项和为sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求数列an和bn通项公式 设cn，求数列cn前n项和tn 解：（1）当n1时a1s12，当n2时，ansnsn14n2，故an通