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牛吃草问题 牛吃草问题最先在牛顿的 普通算术 中出现 所以人们又习惯上称之为牛顿的牛吃草问题 2 牛顿牧场 牛顿牧场是理想牧场 在这个牧场上草是匀速生长的 1 牛吃草问题 3 牛吃草问题三部曲 1 先算新生草量 2 再算原有草量 3 最后计算问题 例1牧场上有一片牧草 可供27头牛吃6周 或者供23头牛吃9周 如果牧草每周匀速生长 可供21头牛吃几周 分析 这个问题的难点在于草的总量在变 但牧场上的牧草时刻都在匀速生长 因此 草的总量是由两部分组成 1 某个时间期限前 草场上原有的草量 并且是不变的 2 某个时间期限后 草场每单位时间生长而新增的草量 并且也是不变的 因此 必须先设法求出这两个量来 我们可以画以下线段图 解 假设1头牛每周吃的草的数量是1份 27 6 162份 原草量 6周的生长量 23 9 207份 原草量 9周的生长量 草每周的生长量 207 162 9 6 15份 原草量 27 6 15 6 72份23 9 15 6 72份 15头吃 剩下21 15 6头 6头牛吃72份草能吃几周 72 21 15 12周 同一片牧场中的 牛吃草 问题 一般的解法可总结为 设定1头牛1天吃草量为 1 草的生长速度 对应牛的头数 对应较多天数 相应牛的头数 对应吃的少的天数 吃的较多的天数 吃的较少的天数 原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 吃的天数 原来的草量 牛的头数 草的生长速度 牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度 牛吃草 问题有很多的变例 像抽水问题 检票口检票问题等等 只有理解了 牛吃草 问题的本质和解题思路 才能以不变应万变 轻松解决此类问题 自主训练 牧场上长满了青草 而且每天还在匀速生长 这片牧场上的草可供9头牛吃20天 可供15头牛吃10天 如果要供18头牛吃 可吃几天 解 假设1头牛1天吃的草的数量是1份 9 20 180份 原草量 20天的生长量 15 10 150份 原草量 10天的生长量 草每天的生长量 180 150 20 10 3份 原草量 180 20 3 120份150 10 3 120份 3头吃 剩下18 3 15头 15头牛吃120份草能吃几天 120 18 3 8天 例2由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定速度在减少 已知某块草地上的草可供20头牛吃5天 或可供15头牛吃6天 照此计算 可供多少头牛吃10天 解 假设1头牛1天吃的草的数量是1份 20 5 100份 原草量 5天的减少量 15 6 90份 原草量 6天的减少量 草每天的减少量 100 90 6 5 10份 原草量 100 5 10 150份或90 6 10 150份 剩下150 100 50份 50份草可供多少头牛吃10天 150 10 10 10 5头 10天减少 10 10 100份 自主训练 由于天气逐渐寒冷 牧场上的牧草每天以均匀的速度减少 经测算 牧场上的草可供30头牛吃8天 可供25头牛吃9天 那么可供21头牛吃几天 解 假设1头牛1天吃的草的数量是1份 30 8 240份 原草量 8天的减少量 25 9 225份 原草量 9天的减少量 草每天的减少量 240 225 9 8 15份 原草量 240 8 15 360份或220 9 15 360份 例3一只船有一个漏洞 水以均匀的速度进入船内 发现漏洞时已经进入了一些水 如果用12人舀水 3小时舀完 如果只有5个人舀水 要10小时才能舀完 现在想在6小时舀完 需要多少人 解 假设1人1小时舀1份水 12 3 36份 原水量 3小时进水量 5 10 50份 原水量 10小时的进水量 每小时的进水量 50 36 10 3 2份 原水量 36 3 2 30份或50 10 2 30份 30 12 份水需要几个人6小时舀完 30 12 6 7小时 2 6 12份 360份草可供21头牛吃几天 360 21 15 10天 15头牛在吃 自主训练 有一口水井 持续不断地涌出水 而且每分钟涌出的水量相等 如果用3台抽水机抽水36分钟可以抽完 如果用5台抽水机抽水 20分钟可以抽完 现在用8台抽水机抽完水 需要几分钟 解 假设1台抽水机1小时抽1份水 3 36 108份 原水量 36分钟进水量 5 20 100份 原水量 20分钟的进水量 每分钟的进水量 108 100 36 20 0 5份 原水量 108 36 0 5 90份或100 20 0 5 90份 90份水需要8台抽水机几分钟舀完 90 8 0 5 12小时 8 0 5 7 5份 例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每分钟走20级梯级 女孩每分钟走15级梯级 结果男孩用了5分钟到达楼上 女孩用了6分钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 20 5 自动扶梯的级数 5分钟减少的级数 15 6 自动扶梯的级数 6分钟减少的级数 男孩 女孩 每分钟减少的级数 20 5 15 6 6 5 10 级 自动扶梯的级数 20 5 5 10 150 级 自主训练 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走 男孩每秒可走3级阶梯 女孩每秒可走2级阶梯 结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒 女孩走了300秒 问该扶梯共有多少级 3 100 自动扶梯级数 100秒新增的级数 2 300 自动扶梯级数 300秒新增的级数 自动扶梯级数 2 300 3 100 300 100 1 5 级 每秒新增的级数 3 100 100 1 5 150 级 例5某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一样多 从开始检票到等候检票的队伍消失 同时开4个检票口需30分钟 同时开5个检票口需20分钟 如果同时打开7个检票口 那么需要多少分钟 假设每分钟每个检票口进的人数为1份 4 30 原有等待的人数 30分钟新增的人数 5 20 原有等待的人数 20分钟新增的人数 每分钟新增的人数 4 30 5 20 30 20 2 份 原有等待的人数 4 30 30 2 60 份 专门安排2个检票口检新增加的人 60 7 2 12 分钟 自主训练 盛德美9时开门营业 开门前就有人等候入场 如果第一个顾客来时起 每分钟来的顾客人数同样多 那么开4个门等候的人全部进入商场要8分钟 开6个门等候的人全部进入商场只要4分钟 问第一个顾客到达时是几时几分 假设每分钟每个检票口进的人数为1份 4 8 原有等待的人数 8分钟新增的人数 6 4 原有等待的人数 6分钟新增的人数 每分钟新增的人数 4 8 6 4 8 6 4 份 原有等待的人数 4 8 8 4 0 份 例6有3个牧场长满草 第一牧场33公亩 可供22头牛吃54天 第二牧场28公亩 可供17头牛吃84天 第三牧场40公亩 可供多少头牛吃24天 解 假设1头牛1天吃1份草 22 54 1188份 平均每公顷有草量 1188 33 36份 第二块草量为 17 84 1428份 平均每公顷有草量 1428 28 51份 第一块草量为 每公顷草每天的生长量为 51 36 84 54 0 5份 每公亩的草量 36 54 0 5 9份或51 84 0 5 9份 40 9 40 0 5 24 24 35 头 第三块牧场可供 自主训练 有3个牧场长满草 第一牧场10公亩 可供20头牛吃50天 第二牧场15公亩 可供40头牛吃30天 第三牧场40公亩 可供多少头牛吃24天 每块地每公亩的草量相同而且都是匀速生长 假设每头牛每天的吃草量是1份 20 50 10公亩原有草量 10公亩50天新增量 40 30 15公亩原有草量 15公亩30天新增量 20 50 10 100 40 30 15 80 1公亩原有草量 1公亩50天新增量 1公亩原有草量 1公亩30天新增量 1公亩每天生长量 100 80 50 30 1 份 1公亩的草量 100 1 50 50 份 40 50 40 1 24 24 例7有一牧场长满牧草 每天牧草匀速生长 这个牧场可供17头牛吃30天 可供19头牛吃24天 现在有若干头牛在吃草 6天后 4头牛死亡 余下的牛吃2天将草吃完 问原来有多少头牛 解 假设1头牛1天吃1份草 草每天的生长量为 17 30 19 24 30 24 9份 原有的草量为 17 30 30 9 240份或29 24 24 9 240份 若4头牛不死 这群牛在6 2 8天内共吃草 240 9 8 2 4 320份 320份草可共几头牛吃8天 320 8 40头 自主训练 一个牧场上长满了青草 这些牧草可供5只