清华考研_电路原理课件_第15章__拉普拉斯变换.docx

清华大学 电路原理 电子课件江辑光版参考教材：电路原理（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成电路原理 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟电路（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉第15章本章重点拉普拉斯变换15.115.2拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换15.315.415.515.615.715.815.9复频域中的电路定律、电路元件与模型拉普拉斯变换法分析电路网络函数网络函数的极点和零点卷积定理本章重点15.1拉普拉斯变换15.2常用函数的拉普拉斯变换15.3拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质15.4拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型15.6拉普拉斯变换法分析电路15.7网络函数15.8网络函数的极点和零点15.9卷积定理 本章重点.常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质复频域中的电路定律运算阻抗和运算导纳拉普拉斯变换法分析电路的动态响应网络函数返回目录15.1拉普拉斯变换一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义正变换0（Laplace transformation）反变换f (t ) = + j2j jF ( s)e st ds（inverse Laplace transformation）f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplace pairs）对 。1s = + j 称为复频 率 （complex frequency）。f(t) ，t 0,)称为原函数（original function），属时域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )，u(t )。F(s) 称为象函数（transform function），属复频域（complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母表示 ，如 I(s)，U(s)。记号 f(t)表示取拉氏变换。 -1 F(s)表示取拉氏反变换。积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：00+ st0 0当f(t)含有冲激函数项时，此项 0为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从 0- 开始。二、拉氏变换存在条件当 0 时lim f (t )e t = 0t 则 f (t )et在 0的全部范围内收敛，即0 f (t )e t dt 存在，f (t )可进行拉氏变换。j不同的 f (t)，0的值不同，称0为复平面s内的收敛横坐标。0收敛轴0收敛区收敛坐标电工中常见信号为指数阶函数，即f (t ) Me Ctt 0, )式中M是正实数，C为有限实数。0f (t )etdt 0 Me( C )tdt选 CM C例f ( t ) = e 5 t，选 5( 0 = 5 )，则 e 5 t e t为 衰减函数，就可以对 f ( t )进行拉氏变换。由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。返回目录15.21. f (t ) = (t )常用函数的拉普拉斯变换0 0 st 0 +=1s2. f (t ) = e at (t ) e = 0 e e dt = j t 1 e =s j1s + ae ( s + a )t0=1s + a3. f (t ) = (t ) (t ) =0 st0 += 0 (t )dt = 11st(t)=(t)edt=0+edt=estatatst4. f (t ) = t n 0 stt nsde st= nse st0 + 0 e stsnn n1 stt nlimest = 0nns t n1 1s2 2sn nstn=tnedt=0dt=0tedtt=当n1，t=2；当n2，t=3；依次类推，得t=n+1例求图示两个函数的拉氏变换式f1(t)f2(t)10e-tt10e-tt解由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个 函数的拉氏变换式相同1F ( s) =s + 当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式11s + (t 0)返回目录=et15.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性（linearity）性质若 f1 (t ) = F1 ( s) , f 2 (t ) = F2 ( s)(t ) b f例1 A =As例2 t 1 A(1 e ) = A( s1s + )例31 j t2j=1 1 1 2j s j s + j =s 2 + 2则af12(t)=aF1(s)bF2(s)sint=(ejte)二、原函数的微分（differentiation）设 f (t ) = F ( s)df (t ) dtn1n n k 1 dt n k = 01 d例1 cos t = (sin t ) dt=1s + 2 sin t 0 =ss 2 + 2例2 (t )= ddt1s则=sF(s)f(0)dnf(t)=sF(s)sf(k)(0)s2三、原函数的积分（integration）设 f (t ) = F ( s)t0f ( )d =1sF ( s)例ts s则(t)1t=0()d=2四、时域平移（time shift）设 f (t ) = F ( s)则 f (t t0 ) (t t0 ) = e st0 F ( s)f(t-t0) (t-t0)平移f(t) (t) 不是平移f(t) (t-t0)f(t-t0) (t-t0)tf(t) (t)tf(t) (t-t0)t0t000t0例1求图示函数的拉氏变换式10f(t)Ttf (t ) = (t ) (t T )1 1 sTF ( s) = es s例2求图示函数的拉氏变换式T0f(t)Tf (t ) = t (t ) (t T )f (t ) = t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )1 1 sTs sse例3f(t)周期函数（periodic function）的拉氏变换。设 f1(t)为第一个周期的函数，1. f1 (t ) = F1 ( s)0 T/2 Tt则 f (t ) =11 e sTF1 (s )证：f (t ) = f1 (t ) (t ) + f1 (t T ) (t T ) + f1 (t 2T ) (t 2T ) + f (t ) = F1 ( s) + e sT F1 ( s) + e2 sT F1 ( s) + = F1 ( s)1 + e sT + e 2 sT + e 3 sT + =11 e sTF1 ( s)f1 (t ) = (t ) (t T2)T sF1 ( s) = (1 e 2 )sF(s) =1s(1esT)T s(1e 2 ) =1s(1 + e sT2)五、 复频域平移（frequency shift）设 f (t ) = F ( s)则 e t f (t ) = F ( s + )1例1 t1( s + )2 t t( s + )2 + 2s + ( s + )2 + 2六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理初值定理若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，则t 0终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且lim f (t )存在时 ，则t lim f (t ) = lim sF ( s)t s 0te=例2esint=例3ecost=例1 (t ) =1s (t ) t = 0+1= lim s = 1s例2I ( s) =5s + 12s + 2+s5s + 12s + 25) = lim(s 1 + 1 / s21 + 2 / s) = 3例3-t 1 1I ( s) = 1 e = s s + 11i(t ) t = lim s( s 01s + 1) = 1返回目录15.4一、由象函数求原函数拉普拉斯反变换f(t)=L-1F(s)（1）利用公式 f (t ) = + j2j jst（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表F ( s) = F1 ( s)+ F2 ( s) + + Fn ( s)f (t ) = f1(t ) + f 2 (t ) + + f n (t )二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fraction expansion）象函数的一般形式：F ( s) =F1 ( s)F2 ( s)=a0 s m + a1s m 1 + + amb0 s n + b1s n1 + + bn(n m)11. F2 ( s ) = 0有不等实根 s1 ，sn( s s1 )F ( s) = +( s s1 ) ( s s1 )s s1 s s2+ +( s s1 ) 等式两边同乘(s-s1)s snk1 = ( s s1 )F ( s) s = s1k 2 = ( s s2 )F ( s) s = s2k n = ( s sn )F ( s) s = snn=0f (t ) = k iei =1si tki也可用分解定理求等式两边同乘（s-si）( s si )F ( s) =( s si ) ( s si )F2 ( s) s s1= + +( s si )+ +s si( s si )s snk i = lims siF1 ( s)( s si )F2 ( s)00 应用洛比达法则求极限= lims siF1( s)( s si ) + F1 ( s)F2( s)=F1 ( si )F2( si )k i =F1 ( s i )F2( s i )ni =1 F2( s i )e例1F ( s) = s 2 s + 5s( s 2 + 3s + 2)= s 2 s + 5s( s + 1)( s + 2)=k1s+k 2s + 1+k 3s + 2k1 = F ( s)s S = 0 = 2.5k 2 = F ( s)( s + 1) S = 1 = 5k 3 = F ( s)( s + 2) S = 2 = 1.5f (t ) = 2.5 5e t + 1.5e2 t(t 0)例24s + 5s + 5s + 6s1 = 2 s2 = 3F2( s) = 2s + 5用分解定理F1 ( s i )k i =F2( s i )f (t ) =s= - 2 e +F2 ( s) F2 ( s)s= - 3e 3 t= 3e 2 t + 7e 3 t(t 0)例3F ( s) =2s 2 + 7s + 72m n，用长除法，得= 2 +s + 3( s + 1)( s + 2)= 2 +2s + 1+ 1s + 2f (t ) = 2 (t ) + 2e t e2 t(t 0)2. F2 ( s )有共轭复根假设只有两个根 s1,2 = jF ( s) = +s + j s + + j可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。k1 , k2也是一对共轭复数。设k1 = k e jk2 = k e jf (t ) = ( k e j e ( j ) t + k e j e ( + j ) t )= k e t e j(t + ) + e j(t + ) t=2kecos(t+)(t0)例ss + 2s + 5s1 = 1 + j2法一：部分分式展开，求系数。s2 = 1 j2k1 =s2s + 2S = 1+ j2= 1 + j2 2 + j4 + 2= 0.55926.6k 2 =s2s + 2S = 1 j2= 1 j2 2 j4 + 2= 0.559 26.6f (t ) = 2 0.559e t cos(2t + 26.6 )= 1.12e t cos(2t + 26.6 ) t 0法二：将F2(s)改写为(s )2 + 2ss 2 + 2s + 5=s( s + 1)2 + 22=s + 1 1( s + 1)2 + 2 2=s + 1221( s + 1)2 + 2 2f (t ) = e cos 2t e sin 2t (t 0)2或表示为 t (t 0)(s+1)+2t1t3. F2 ( s )有相等的实根（重根）F ( s) =F1 ( s)( s s1 )2=k1s s1+k 2( s s1 )2等式两边乘 ( s s1 )2F ( s)( s s1 )2 = k1 ( s s1 ) + k 2k 2 = ( s s1 ) 2 F ( s) S = S1k1 =dds( s s1 )2 F ( s) S = S1f (t ) = k1e s1t + k2te s1t(t 0)例1F ( s) =2s + 52=k1( S + 1)+k2( S + 1)2k 2 =2s + 5( s + 1)2( s + 1)2 S = 1 = 3k1 =dds(2s + 5) S = 1 = 2f (t ) = 2e t + 3te tt 0例2F ( s) =s 2 + 2s + 2( s + 2)3=k21( s + 2)+k22( s + 2)2+k23( s + 2)3等式两边乘( s + 2)3F ( s)( s + 2) 3 = k 21 ( s + 2) 2 + k 22 ( s + 2) + k 23k 23 =s 2 + 2s + 4( s + 2)3( s + 2)3 S = 2 = 2(s+1)F ( s)( s + 2) 3 = k 21 ( s + 2)2 + k 22 ( s + 2) + k 23ddsF ( s)( s + 2)3 = 2k 21 ( s + 2) + k 22k22 =d s 2 + 2s + 2ds ( s + 2)3( s + 2)3 S = 2 = (2s + 2) s = 2 = 2d 2ds 2F ( s)(s + 2)3 = 2k21k21 = 2 31 d 2 ( s 2 + 2s + 2 )2 ds ( s + 2)31 d2 ds2s + 2 s = 2 = 1F ( s) =1( s + 2)+ 2( s + 2)2+2( s + 2)3f (t ) = e2 t 2te2 t + t 2e2 t(t 0)(s+2)s=2=一般多重根情况F ( s) =a0 s m + a1s m 1 + + am( s s1 ) nF ( s) =k1s s1+k 2( s s1 )2+ +k n1( s s1 )n1+k n( s s1 )nkn = ( s s1 )n F ( s) S = S1k n1 =dds(s s1 )n F ( s) S = S1k n 2 =1 d 22 ds 2(s s1 )n F ( s) S = S1k1 =1 d n1(n 1)! ds n1( s s1 )n F ( s) S = S1返回目录15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型一、电路元件的运算形式（operator form）电阻Ri(t)Ru = R i+u-取拉氏变换I(s) RU ( s) = RI ( s)+U(s)-I ( s) = GU ( s)电感LiL L+uL-uL = Ldi Ldt取拉氏变换i L =1 tL 0 uLdt + i L (0 )U L ( s) = L( sI L ( s) i L (0 )= sLI L ( s) Li L (0 )I L ( s) =U L ( s)sL+i L ( 0 )ssLIL(s) sL-Li L (0 )+i L (0 ) / s+UL(s)-IL(s )+UL(s)-电容CiC+uC-uC =1 tC 0 iC dt + uC (0 )取拉氏变换iC = CduCdtU C ( s) =1sCI C ( s) +uC ( 0 )sI C ( s) = sCU C ( s) CuC (0 )1/sCIC(s)1/sCuC(0-)/s+ -CuC(0-)+UC(s)-IC(s)+UC(s)-互感Mi1+u1 L1-Mi 2+L2 u 2- di1 di2u = L di2 + M di12取拉氏U 1 ( S ) = SL1 I1 ( s) L1i1 (0 ) + sMI 2 ( s) Mi2 (0 )U 2 ( S ) = SL2 I 2 ( s) L2i2 (0 ) + sMI1 ( s) Mi1 (0 )变换+I1(s)sMI2(s)+U1(s)sL1sL2U2(s)-+- + -+ -+-L1i1 (0 ) Mi2 (0 )L2i2 (0 ) Mi1 (0 )u1=L1dt+Mdt2dtdt受控电源i1+u 1 R-+-+u1 u2-u1 = i1 Ru2 = u1I1(s)U 1 ( s) = I1 ( s)R+U 2 ( s) = U 1 ( s) U1(s)-二、电路定律的运算形式R U1(s) U2(s)-KCLKVL i = 0 u = 0 I ( s) = 0 U ( s) = 0+u-iRLC设电路无初始储能di 1 tu = iR + L +dt CI(s) RsLU ( s) = I ( s) R + sLI ( s) +1sCI ( s)+U(s) 1/sC-运算形式的欧姆定律U ( s) = Z ( s)I ( s)I ( s) = Y ( s)U ( s)1= I ( s)( R + sL + )sC1Z ( s) = R + sL + 运算阻抗sC（operational impedance）1运算导纳 Y ( s) =Z ( s)（operational admittance）0idt三、运算电路模型+E(t)-i1 RRLi2CI1(s)+E/s-RRsLI2(s)1/sCuC (0 ) = 0 i L (0 ) = 0时域电路运算电路（1）电压、电流用象函数形式。（2）元件用运算阻抗或运算导纳。（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。例20+50V-解2F+uC-iL0.5H105uC(0-) = 25ViL(0-) = 5A换路后 运算电路10t =0 时打开开关+20IL(s)0.5s时域电路UC(s)-1/2s+25/s-2.5+5返回目录15.6拉普拉斯变换法分析电路步骤（1）由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) ；（2）画运算电路模型；（3）应用电路分析方法求出待求变量的象函数；例130（4）反变换求原函数。0.1H+-iL200V+ uL -10uC-+1000FS已知： uC (0 ) = 100 Vt = 0时闭合S，求iL，uL。解（1） i L (0 ) = 5AuC (0 ) = 100V（2）画运算电路sL = 0.1s1 1=sC s 1000 10 61000=s30I1(s)0.1s-0.5+I2(s)1000/s+-200/s10-100/s+300.1s-0.5+I2(s)I1(s)1000/s+-200/sI 1 ( s)10-100/sI 2 ( s) +200（3）回路法 10I1 ( s) + (10 + 1000 )I 2 ( s) = 100s sI1 ( s) =5( s 2 + 700s + 40000 )s( s + 200)2I1(s)(40+0.1s)10I2(s)=s+0.5I1 ( s) =5(