高中数学专题函数方程.pdf

高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 1 一 代換法 對函數方程的未知函數或未知函數的自變數作代換 以達到求解 函數方程的目的 此法多用於單變數函數方程 1 已知 f x 是偶函數 g x 是奇函數 試解函數方程 f x g x 2007 x 2 5x x 2006 解 由題意可得 5 x 5 因為 f x g x 分別為偶函數與奇函數 所以 f x g x 2007 x 2 5x x 2006 f x g x 2007 x 2 5x x 2006 所以 f x x 2006 g x 2007 x 2 5x 2 已知 2 x 2 試解函數方程 f tanx 2f tanx sin2x 解 將 x代入x f tan x 2f tan x sin2 x f tanx 2 f tanx sin2x 由聯立方程式 tan 2 tan sin2 2 tan tan sin2 fxfxx fxfxx 解得 f tanx sin2x 2 2tan 1tan x x 故 f x 2 2 1 x x 其中 2 x 2 結論 由上述兩個例子可看出 在函數方程中凡是涉及函數的奇偶性時 自變數x的位置 具有對稱性 以 x代入x所得新方程式與原方程式組成方程組 從而解出未知函 數 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 2 3 解函數方程 f x log x f 1 x a x 其中x 0且b 0 b 1 解 將 1 x 代入x 得 f 1 x log 1 x f x 1 x a 所以得方程組 1 1 log 1 log x x f xx fa x x f xfa x 解得 f x 1 log 1 1log log1 x x ax a x x 2 log 1log xx aax x 結論 一般而言 對於函數方程 af x bf 1 x x ab 0 1 類型 可用 1 x 代入x而得方程組 1 11 af xbfx x bf xaf xx 當a2 b2 0時 1 就有唯一解 f x 22 1 axb x ab 4 當a2 b2 0且 1 xb a x 0時 因為ab 0 所以原方程組有無限多解 當a2 b2 0且 1 xb a x 0時 原方程組無解 2 3 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 3 4 試解函數方程 f x 1 2f x 1 且f 1 1 x為自然數 解 由條件 1 1 1 2 1 f f xf x 得 1 12 1 12 1 f f xf x f 1 1 2 且 1 1 2 1 f x f x 所以數列 是首項為2 公比為2的等比數列 因此 f x 1 2 x 故所求函數為 f x 2 x 1 結論 一般而言 解遞迴函數方程 1 1 1 f f naf nb a b為常數且a 1 時 兩邊可同時加上一個數 來構造一個等比數列 那麼該如何求這一個數呢 設此常數為m 則 1 1 f nmaf nm f naf nb 1 2 m 1 b a 代入 1 得 f n 1 1 b a a f n 1 b a 而 f 1 1 b a 1 1 b a 所以數列 為首項為1 1 b a 且公比為a的等比數列 其第n項為 f n 1 b a 1 1 b a a n 1 故 f n 1 b a 1 1 b a a n 1 a 1 1 2 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 4 5 已知f 1 0 f 2 1 試解函數方程 a2 f n 2 b2 f n 其中a 0 b 0 解 先由前幾項試著尋找規律 f 3 2 2 1 b f a 0 f 4 2 2 2 b f a 2 2 b a 2 b a f 5 2 2 3 b f a 0 f 6 2 2 4 b f a 2 2 b a 2 4 b a 至此不難發現 當n為奇數時 f n 0 當n為偶數時 f n 2 n b a a 0 且 b 0 故所求函數 f n 1 1 2 n 2 n b a 6 解函數方程 f x y f x f y f xf y 其中對所有x 0均滿足f x 0 且f x 為連續函數 解 由原式得 1 f xy f xf y f x f y 1 f x 1 f y 令g x 1 f x 則得g x 的函數方程 g x y g x g y 得其解為g x cx 其中c g 1 1 1 f 0 故所求方程式 f x 1 cx 1 f x 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 5 7 對所有實數x y 試求出滿足 f x g y x y h x y 1 之所有R R 函數f g h 解 在1中令x y f x g x 2 在1中令y 0 f x f 0 xh x 3 代入1 xh x yh y x y h x y 4 在4中令y x h x h x 2h 0 5 在4中令x x y y y x y h x y y h y x 2y h x 6 在6中x y互調 x y h x y x h x 2x y h y 7 由5 6 7 xh y yh 0 yh x xh 0 x h y h 0 y h x h 0 0 0 h xhh yh xy 令 0 0 h xhh yh xy k 得 h x kx h 0 8 將8代入3 f x kx 2 h 0 x f 0 9 故由8 9 2 得知 f x g x kx 2 ax b h x kx a 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 6 二 賦值法 1 設多項式f x 滿足f 0 0 且對任何實數x均有 f x2 1 f x 2 1 試求f x 解 令x 0 得f 1 1 令x 1 得f 2 f 1 2 1 2 令x 2 得f 5 f 2 2 1 5 令x 5 得f 26 f 5 2 1 26 令x 26 得f 26 2 1 f 26 2 1 26 2 1 如此繼續下去 得 f x x 0有無限多解 由代數基本定理知 必有 f x x 0 即 f x x 2 函數f n 定義在自然數集上 滿足 f n f n 1 an 且 f 1 1 試求f n 解 n 2時 f 2 f 1 a2 n 3時 f 3 f 2 a3 n 4時 f 4 f 3 a4 n n時 f n f n 1 an 得 f n f 1 a2 a3 an 1 21 1 1 n aa a 故 f n 21 1 1 11 1 n n a aa a a 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 7 3 設函數f n 在自然數集上定義 試解函數方程 f n 1 f n n 1 解 n 1 2 3 k 1時 得 f 2 f 1 2 f 3 f 2 3 f 4 f 3 4 f k f k 1 k 則 f k f 1 2 3 4 k 1 2 k k 1 f 1 1 故 f n 1 2 n n 1 f 1 1 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 8 4 設Q表所有有理數所成之集合 試找出所有滿足下列條件之函數 f 1 f 1 2 2 f xy f x f y f x y 1 對所有x y Q 1 解 令y 1 得 f x 2f x f x 1 1 f x 1 f x 1 x Q f x 1 f x 1 f x n f x n x Q 2 若x 0 則 f n 1 n 所以我們猜測 f x x 1 令x 1 m m Z且m 0 代入2 得 f 1 m n f 1 m n 在式1中令x m y 1 m 得 f m 1 m f m f 1 m f 1 m m 1 f 1 f m f 1 m f 1 m m 1 m 1 f 1 m f 1 m m 1 m f 1 m m 1 2 m f 1 m m 1 得 f 1 m 1 m 1 對任一有理數 n m m n均為整數且m 0 代入式1 f n m f n f 1 m f n 1 m 1 n 1 1 m 1 n 1 m 1 1 n m n 1 m 1 n 1 m n m 1 故所求函數為f x x 1 x Q 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 9 5 試求所有定義在自然數集上且滿足 f x y f x f y xy 且 f 1 1 的函數f 解 令y 1 得 f x 1 f x 1 x f x 1 f x x 1 所以 f 2 f 1 2 f 3 f 2 3 f 4 f 3 4 f n f n 1 n 得 f n f 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 n n 1 故 f x 1 2 x x 1 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 10 三 數學歸納法 1 試解函數方程 f n cos f n 1 sin 其中f 1 cos 0 2 n N 解 由已知f 1 cos 及所給的函數方程 得 f 2 cos cos sin cos 1 sin f 3 cos cos 1 sin sin cos 1 sin sin 2 f 4 cos cos 1 sin sin 2 sin cos 1 sin sin 2 sin 3 由此可猜想 f n cos 1 sin sin 2 sin 3 sin n 1 cos 1sin 1sin n 以下我們用數學歸納法來證明這個結論 1 當n 1時 f 1 cos 1sin 1sin cos 所以n 1時成立 2 令n k時成立 即 f k cos 1sin 1sin k 則n k 1時 f k 1 cos f k sin cos cos 1sin 1sin k sin cos 1sin sincos 1sin 1 sin k cos 1 sin sin 1 sin 1 sin k 1 cos 1 sin 1 sin k 所以當n k成立時 n k 1亦成立 故由數學歸納法得證 f n cos 1sin 1sin n n N 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 11 2 已知 x x 1 4 x 4 x 1 3 試解函數方程 f n f n 1 f n 1 f n 1 0 其中f 1 2 解 由已知條件得 4 f n f n 1 f n 1 1 3 f n 1 1 4 0 f n 1 1 3 4 f n f n 1 f n 1 1 0 f n 1 1 3 4 f n 3 f n 1 1 0 因為f 1 2 所以 f n 1 1 0 故得 4 f n 3 f n 1 1 0 即 f n 3 1 1 4 f n 而有 f 1 2 1 1 f 2 3 21 4 7 4 1 3 4 f 3 7 31 4 4 25 16 1 9 16 1 3 4 2 f 4 25 31 16 4 91 64 1 3 4 3 所以我們猜想 f n 1 3 4 n 1 現在我們就用數學歸納法來證明這個結論 1 當n 1時 f 1 1 3 4 0 1 1 2 所以n 1時成立 2 令n k時成立 即 f k 1 3 4 k 1 則當n k 1時 f k 1 3 1 4 f k 1 3 3 1 1 4 4 k 1 3 43 4 4 k 1 3 4 k 故由數學歸納法得證 f n 1 3 4 n 1 n N 3 設函數f n 2n 1 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 12 g n 3 1 1 2 n f g nn 其中n N 試求g n 解 g 1 3 2 2 1 g 2 f g 1 f 3 7 2 3 1 g 3 f g 2 f 7 15 2 4 1 g 4 f g 3 f 15 31 2 5 1 所以我們猜想 g n 2 n 1 1 現在我們就用數學歸納法來證明此一結果 1 當n 1時 g 1 2 2 1 3 所以n 1時成立 2 令n k時成立 即g k 2 k 1 1 當n k 1時 g k 1 f g k f 2 k 1 1 2 2 k 1 1 1 2 k 2 1 故由數學歸納法得證 g n 2 n 1 1 n N 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 13 四 參數方程法 1 已知f sinx 1 cos 2 x 2 試求 f x 解 令t sinx 1 sinx t 1 sin 2 x t 1 2 cos 2 x 1 sin 2 x 1 t 1 2 t2 2t f t t2 2t 2 故 f x x2 2x 2 2 試解函數方程 f x 1 x x6 6 1 x 解 令t x 1 x 則 x2 2 1 x x 1 x 2 2 t2 2 其中t 2 x6 6 1 x x2 2 1 x 3 3 x2 2 1 x x2 2 1 x t2 2 3 3 t2 2 t 6 6t 4 12t2 8 3t2 6 其中t 2 故 f x x6 6x4 9x2 2 其中x 2 3 試解函數方程 f 1x x 2 2 1x x 1 x 解 令 t 1x x 則 1 x t 1且 t2 2 2 21xx x 2 2 1x x 2 x 所以 f t 2 2 1x x 1 x 2 2 1x x 2 x 1 x t2 t 1 t2 t 1 故 f x x2 x 1 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 14 4 試解函數方程 f 1 x x 2 1x 其中x 0 解 令t 1 x 則x 1 t x 2 1x 1 t 2 1 1 t 2 11t t 所以 f t 2 11t t 故 f x 2 11x x 其中x 0 另解 f 1 x x 2 1x 2 1 11 1 x x 故 f x 2 11x x x 0 課後練習 1 解函數方程 f cosx 1 cos 2 x Ans f x x 1 2 2 x 0 2 解函數方程 f 31 32 x x 32 41 x x Ans f x 121 56 x x 3 解函數方程 f 2x x log 4x 1 Ans f x log x 7 log x 1 4 解函數方程 f 1x x 2 12x x 4 Ans f x x2 4x 7 x R 1 5 解函數方程 f ex x ln x Ans f x ln x ln ln x x 1 6 解函數方程 f 1x x 2 12x x 4 Ans f x log 2343 2 xx x 3 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 15 五 自然數集上的函數方程 1 試解函數方程 f n 1 2 2 3 nn f n f nnn n N 且 f 1 1 解 f n 1 2 2 3 nn f n f nnn 1 1 f n 1 f n 2 3 nn 1 1 f n 1 f n 2 3 nn 3 1 n 1 1n 令 n 1 2 3 得 1 2 f 1 1 f 3 1 1 1 2 1 3 f 1 2 f 3 1 2 1 3 1 f n 1 1 f n 3 1 1n 1 n 得 1 f n 1 1 f 3 1 1 n 所以 1 f n 1 1 f 3 3 n 4 3 n 43n n 故 f n 43 n n n N 2 設 f N N 滿足 f n 1 n 1 f n 且f 1 1 試求 f n 解 令n 1 2 3 得 f 2 2 f 1 f 3 3 f 2 f n n f n 1 所以 f n f 1 2 3 4 n n 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 16 六 函數方程與函數求值 1 設函數 f N N 滿足 1 f f n 4n 9 n N 2 f 2k 2 k 1 3 n N 0 試求 f 1789 解 由 1 知 f 4n 9 f f f n 4f n 9 又 1789 4 445 9 445 4 109 9 109 4 25 9 25 4 4 9 且 f 4 2 3 3 11 所以 f 1789 4 f 445 9 4 4 f 109 9 9 4 4 4 f 25 9 9 9 4 4 4 4 f 4 9 9 9 9 4 4 4 4 11 9 9 9 9 4 4 4 53 9 9 9 4 4 221 9 9 4 893 9 3581 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 17 2 函數 f x y 對所有的非負整數x y滿足 1 f 0 y y 1 1 2 f x 1 0 f x 1 2 3 f x 1 y 1 f x f x 1 y 3 試求 f 4 1995 之值 解 令式 2 中之x 0且式 1 中之y 1 f 1 0 f 0 1 2 令式 3 中之x 0 f 1 y 1 f 0 f 1 y f 1 y 1 f 1 y 1 f 1 0 y 1 2 y 1 4 令式 3 中之x 1 f 2 y 1 f 1 f 2 y 2 f 2 y f 2 y 1 2 y 1 f 2 0 2 y 1 f 1 1 2 y 1 3 5 令式 3 中之x 2 f 3 y 1 f 2 f 3 y 2f 3 y 3 f 3 y 1 2f 3 y 3 2 2f 3 y 1 3 3 2 2 f 3 y 1 22 3 3 22 2f 3 y 2 3 9 23 f 3 y 2 23 3 3 23 2f 3 y 3 3 21 24 f 3 y 3 24 3 3 24 2f 3 y 4 3 45 25 f 3 y 4 25 3 3 2 y 1 f 3 0 3 3 2 y 1 f 2 1 3 3 2 y 1 2 1 3 3 3 2 y 4 3 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 18 令式 3 中之x 3 f 4 y 1 f 3 f 4 y 2 f 4 y 3 3 f 4 y 1 2 f 4 y 3 3 4 1 3 2 23 fy 4 0 3 2 2 2 23 f y 1個2 又f 4 0 3 f 3 1 3 2 4 3 3 16 2 2 2 f 4 y 1 2 2 2 32 共有y 4個2 故f 4 1995 2 2 2 32 共有1998個2 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 19 3 定義在有序自然數對上的函數f滿足 1 f x x x 1 2 f x y f y x 2 3 x y f x y y f x x y 3 試計算 f 14 52 之值 解 由 3 得知 38 f 14 14 38 14 38 f 14 38 52 f 14 38 24 f 14 14 24 14 24 f 14 24 38 f 14 24 10 f 14 14 10 14 10 f 14 10 24 f 14 10 24 f 10 14 4 f 10 10 4 10 4 f 10 4 14 f 10 4 14 f 4 10 6 f 4 4 6 4 6 f 4 6 10 f 4 6 2 f 4 4 2 4 2 f 4 2 6 f 4 2 6 f 2 4 2 f 2 2 2 2 2 f 2 2 4 f 2 2 4 2 8 得 f 2 4 4 f 2 4 4 2 f 4 6 24 f 4 6 12 f 4 6 12 6 f 4 10 120 f 4 10 20 f 4 10 20 4 f 10 14 280 f 10 14 70 f 10 14 70 10 f 14 24 24 f 10 14 1680 f 14 24 168 f 14 24 168 24 f 14 38 38 f 14 24 6384 f 14 38 266 f 14 38 266 38 f 14 52 52 f 14 38 52 266 f 14 52 364 故所求 f 14 52 364 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 20 4 對任何自然數對 k h 定義函數 f k h 如下 1 f 1 1 1 2 f i 1 j f i j 2 i j f i j 1 f i j 2 i j 1 若f k h 1989 試求所有自然數對 k h 解 f 2 1 f 1 1 2 1 1 1 2 2 f 3 1 f 2 1 2 2 1 1 2 2 2 3 f 4 1 f 3 1 2 3 1 1 2 2 2 3 2 4 f k 1 1 2 2 2 3 2 k k 2 k 1 可用數學歸納法證明之 f k 2 f k 1 2 k 1 1 f k 1 2k f k 3 f k 2 2 k 2 1 f k 1 2k 2 k 1 f k 4 f k 3 2 k 3 1 f k 1 2k 2 k 1 2 k 2 f k h f k 1 2k 2 k 1 2 k 2 2 k h 2 f k 1 2 22 1 2 khh k 2 k 1 2k h 2 h 1 k 2 2kh h2 k 3h 1 k h 1 2 k h 其中k h N 現在 我們的問題轉化成求不定方程 k h 1 2 k h 1989 的自然數解 因為 k h k h 1 且 1989 44 所以 k 5 h 41 高中數學專題 函數方程 臺南一中 鄭旭峰 P 21 七 函數方程與函數的奇偶性 函數的奇偶性是函數的重要特性之一 當一個函數已經有明確的表達式 時 用奇偶函數的定義即可直接驗證函數的奇偶性 但對於一個滿足某種函數 方程的一個未知函數 由於求解一個函數方程並非易事 故欲判定其奇偶性 時 往往不能直接用