【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章平面解析几何第7课时椭圆(3)教学案（含最新模拟、试题改编）(1).docVIP

第九章平面解析几何第7课时椭 圆(2) 考情分析考点新知根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 掌握椭圆的简单应用.1. 已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为_答案：1解析：e，2a12，a6，b3，则所求椭圆方程为1.2. 已知f1、f2是椭圆c：1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上一点，且.若pf1f2的面积为9，则b_. 答案：3解析：依题意，有可得4c2364a2，即a2c29，故b3.3. 已知f是椭圆c的一个焦点，b是短轴的一个端点，线段bf的延长线交c于点d, 且2，则c的离心率为_答案：解析：(解法1)如图，|bf|a.作dd1y轴于点d1，则由2，得，所以|dd1|of|c，即xd，由椭圆的第二定义得|fd|ea.又由|bf|2|fd|，得a2a，即e.(解法2)设椭圆方程为1(ab，b0)，设d(x2，y2)，f分 bd所成的比为2，xfx2xfc；yfy2，代入1e.4. f1，f2是椭圆y21的左右焦点，点p在椭圆上运动则的最大值是_答案：1解析：设p(x，y)，依题意得f1(，0)，f2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22. 0x24， 2x221. 的最大值是1.5. 已知f1、f2为双曲线c：x2y21的左、右焦点，点p在c上，f1pf260，则|pf1|pf2|_答案：4解析：由余弦定理得cosf1pf2cos60，即|pf1|pf2|4.1. 椭圆的第二定义平面内动点p到定点f的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点f不在直线l上)的点的轨迹是椭圆定点f是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率2. 椭圆的焦半径(1) 对于焦点在x轴上的椭圆1(ab0)，设p(x，y)是椭圆上任一点，则|pf1|aex；|pf2|aex(2) 对于焦点在y轴上的椭圆1(ab0)，设p(x，y)是椭圆上任一点，则|pf1|aey；|pf2|aey.题型1求综合情况下椭圆的基本量例1如图，f1、f2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，点m在x轴上，且，过点f2的直线与椭圆交于a、b两点，且amx轴，0.(1) 求椭圆的离心率；(2) 若abf1的周长为4，求椭圆的方程解：(1) 设f1(c，0)，f2(c，0)，a(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则m，x0c. e， |af1|aex0.同理，|af2|aex0. 0， af1af2， |af1|2|af2|2|f1f2|2， (aex0)2(aex0)24c2, 即a2e2x2c2. x0c， a2e2c22c2, 1e42e2，即3e48e240， e2或2(舍)， 椭圆的离心率e. (2) abf2的周长为4， 4a4， a.又， c2, b22. 椭圆方程为1.已知椭圆的右焦点f，左、右准线分别为l1：xm1，l2：xm1，且l1、l2分别与直线yx相交于a、b两点(1) 若离心率为，求椭圆的方程；(2) 当7时，求椭圆离心率的取值范围解：(1) 由已知，得cm，m1，从而a2m(m1)，b2m.由e，得bc，从而m1.故a，b1，得所求椭圆方程为y21.(2)易得a(m1，m1)，b(m1，m1)，从而(2m1，m1)，(1，m1)，故2m1(m1)2m24m27，得0mb0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x4是它的右准线(1) 求椭圆的方程；(2) 设p为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线bp与椭圆相交于两点b、n，求证：nap为锐角(1) 解：依题意，得解得从而b，故椭圆的方程为1 .(2) 证明：由(1)得a(2，0)，b(2，0)，设n(x0，y0)， n点在椭圆上， y(4x)又n点异于顶点a、b， 2x00，y00， 0，于是nap为锐角如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：1(ab0)的左焦点为f，右顶点为a，动点m 为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段fm交椭圆c于点p，已知椭圆c的离心率为，点m的横坐标为.(1) 求椭圆c的标准方程；(2) 设直线pa的斜率为k1，直线ma的斜率为k2，求k1k2的取值范围解：(1) 由已知，得解得 椭圆c的标准方程为1. (2) 设点p(x1，y1)(2x13)，点m.点f、p、m三点共线，x12，y2，点m.k1，k2，k1k2.点p在椭圆c上， 1，y (x9)k1k2.2x13，k1k20)在直线x(a为长半轴，c为半焦距)上(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求以om为直径且被直线3x4y50截得的弦长为2的圆的方程；(3) 设f是椭圆的右焦点，过点f作om的垂线与以om为直径的圆交于点n，求证：线段on的长为定值，并求出这个定值(1) 解：由点m在准线上，得2，故2， c1，从而a，所以椭圆方程为y21.(2) 解：以om为直径的圆的方程为x(x2)y(yt)0，即(x1)21，其圆心为，半径r，因为以om为直径的圆被直线3x4y50截得的弦长为2，所以圆心到直线3x4y50的距离d，所以，解得t4，所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(3) 证明：设n(x0，y0)，则(x01，y0)，(2，t)，(x02，y0t)，(x0，y0) ， 2(x01)ty00， 2x0ty02. ， x0(x02)y0(y0t)0， xy2x0ty02， |为定值已知椭圆c：1(ab0)，点a、b分别是椭圆c的左顶点和上顶点，直线ab与圆g：x2y2(c是椭圆的半焦距)相离，p是直线ab上一动点，过点p作圆g的两切线，切点分别为m、n.(1) 若椭圆c经过两点、，求椭圆c的方程；(2) 当c为定值时，求证：直线mn经过一定点e，并求的值(o是坐标原点)；(3) 若存在点p使得pmn为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围(1) 解：令椭圆mx2ny21，其中m，n，得所以m，n，即椭圆方程为1.(2) 证明：直线ab：1，设点p(x0，y0)，则op的中点为，所以点o、m、p、n所在的圆的方程为，化简为x2x0xy2y0y0，与圆x2y2作差，即直线mn：x0xy0y.因为点p(x0，y0)在直线ab上，得1，所以x00，即得x，y，故定点e，.(3) 解：由直线ab与圆g：x2y2(c是椭圆的焦半距)相离，则，即4a2b2c2(a2b2)，4a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e46e240.因为0e1，所以0e23.连结on、om、op，若存在点p使pmn为正三角形，则在rtopn中，op2on2rc，所以c，a2b2c2(a2b2)，a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e43e210.因为0e1，所以e21.由得e23，所以e.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知曲线c：(5m)x2(m2)y28(mr)(1) 若曲线c是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2) 设m4，曲线c与y轴的交点为a，b(点a位于点b的上方)，直线ykx4与曲线c交于不同的两点m，n，直线y1与直线bm交于点g.求证：a，g，n三点共线学生错解：解：(1) 曲线c是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2m5，所以m的取值范围是(2，5)(2) 当m4时，曲线c的方程为x22y28，点a，b的坐标分别为(0，2)，(0，2)由得(12k2)x216kx240.设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.直线bm的方程为y2x，点g的坐标为.因为直线an和直线ag的斜率分别为kan，kag，所以kankagkk0.即kankag.故a，g，n三点共线审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；(2) 证明三点共线的常用方法规范解答： 解：(1) 曲线c是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)解得m5，所以m的取值范围是.(4分)(2) 当m4时，曲线c的方程为x22y28，点a，b的坐标分别为(0，2)，(0，2)(5分)由得(12k2)x216kx240.(6分)因为直线与曲线c交于不同的两点，所以(16k)24(12k2)240，即k2.(7分)设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.(8分)直线bm的方程为y2x，点g的坐标为.(9分)因为直线an和直线ag的斜率分别为kan，kag，(11分)所以kankagkk0.即kankag.(13分)故a，g，n三点共线(14分)错因分析： 易忽视焦点在x轴上，漏掉这一条件，从而失误联立消元后易忽视0这一前提条件1. 已知直线l经过点(1，0)且一个方向向量d(1，1)椭圆c：1(m1)的左焦点为f1.若直线l与椭圆c交于a，b两点，满足0，求实数m的值解：由已知可得直线l的方程：yx1，左焦点f1(1，0)，设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，整理得：(2m1)x22mx2mm20.当m1时，4m(2m24m2)0恒成立因为(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y20.(*)因为y1x11，y2x21，所以(*)式化简得：x1x210.由此可得10，(m1)，由此解得m2.2. 如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点a(0，1)(1) 求椭圆的方程；(2) 过点a作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点m、n，求证：直线mn恒过定点p.(1) 解：由题意知：e，b1，a2c21，解得a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2) 证明：设直线am的方程为ykx1(k0)，由方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xm，ym.用代替上面的k，可得xn，yn.因为kmp，knp，所以kmpknp，因为mp、np共点于p，所以m、n、p三点共线，故直线mn恒过定点p.3. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知f1，f2分别是椭圆e：1(ab0)的左、右焦点，a，b分别是椭圆e的左、右顶点，且50.(1) 求椭圆e的离心率；(2) 已知点d(1，0)为线段of2的中点，m为椭圆e上的动点(异于点a、b)，连结mf1并延长交椭圆e于点n，连结md、nd并分别延长交椭圆e于点p、q，连结pq，设直线mn、pq的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数，使得k1k20恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1) 50， 5. ac5(ac)，化简得2a3c，故椭圆e的离心率为.(2) 存在满足条件的常数，.点d(1，0)为线段of2的中点， c2，从而a3，b，左焦点f1(2，0)，椭圆e的方程为1，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4)，则直线md的方程为xy1，代入椭圆方程1，整理得，y2y40. y1y3， y3.从而x3，故点p.同理，点q. 三点m、f1、n共线， ，从而x1y2x2y12(y1y2)从而k2，故k10，从而存在满足条件的常数.4. 如图，正方形abcd内接于椭圆1(ab0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形mnpq的顶点m、n在椭圆上，顶点p、q在正方形的边ab上，且a、m都在第一象限(1) 若正方形abcd的边长为4，且与y轴交于e、f两点，正方形mnpq的边长为2. 求证：直线am与abe的外接圆相切； 求椭圆的标准方程；(2) 设椭圆的离心率为e，直线am的斜率为k，求证：2e2k是定值(1) 证明： 依题意：a(2，2)，m(4，1)，e(0，2)， (2，1)，(2，4)， 0， amae. ae为rtabe外接圆直径， 直线am与abe的外接圆相切 解：由解得椭圆标准方程为1.(2) 证明：设正方形abcd的边长为2s，正方形mnpq的边长为2t，则a(s，s)，m(s2t，t)，代入椭圆方程1，得即 e21. k， 2e2k2为定值5. 已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点p，a为上顶点，f为右焦点点q(0，t)是线段oa(除端点外)上的一个动点，过q作平行于x轴的直线交直线ap于点m，以qm为直径的圆的圆心为n.(1) 求椭圆方程；(2) 若圆n与x轴相切，求圆n的方程；(3) 设点r为圆n上的动点，点r到直线pf的最大距离为d，求d的取值范围解：(1) e，不妨设c3k，a5k，则b4k，其中k0，故椭圆方程为1(ab0)， p在椭圆上， 1，解得k1， 椭圆方程为1.(2) kap，则直线ap的方程为yx4，令yt(0t4)，则x， m， q(0，t)， n， 圆n与x轴相切， t，由题意m为第一象限的点，则t，解得t， n，圆n的方程为.(3) f(3，0)，kpf， 直线pf的方程为y(x3)，即12x5y360， 点n到直线pf的距离为|65t|， d|65t|(4t)， 0t4. 当0t时，d(65t)(4t)，此时d；当t4时，d(5t6)(4t)，此时db0)经过点m(2，1)，离心率为.过点m作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆c交于异于m的另外两点p、q.(1) 求椭圆c的方程；(2) 试判断直线pq的斜率是否为定值，证明你的结论解：(1) 由题设，得1，且，由、解得a26，b23，故椭圆c的方程为1.(2) 设直线mp的斜率为k，则直线mq的斜率为k，假设pmq为直角，则k(k)1，即k1.若k1，则直线mq的方程为y1(x2)，与椭圆c方程联立，得x24x40，该方程有两个相等的实数根2，不合题意；同理，若k1也不合题意故pmq不可能为直角记p(x1，y1)、q(x2，y2)设直线mp的方程为y1k(x2)，与椭圆c的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k28k40，则2，x1是该方程的两根，则2x1，即x1.设直线mq的方程为y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y21k(x22)，故kpq1，因此直线pq的斜率为定值3. 已知椭圆1(ab0)的离心率e，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b.已知点a的坐标为(a，0)若|ab|，求直线l的倾斜角解：(1) 由e，解得3a24c2.再由c2a2b2，解得a2b.由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得所以椭圆的方程为y21.(2) 由(1) 可知点a(2，0)，设点b的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的