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九年级数学 证明（三） 第3章 证明三1:本章知识结构框图四边形平行四边形矩形菱形正方形互相平分相等且互相垂直垂直相等相等垂直相等且互相平分互相垂直平分互相垂直平分且相等 2:对角线的纽带作用3性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分.有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=ab(2)S菱形= LlL2 (Ll L2菱形对角线S正方形=a2=m2(a、m分为正方形边长和对角线考点一: 平行四边形的性质1. 下列命题平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的对角线互相平分且相等；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形短边间的距离大于长边之间的距离。其中正确的命题个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ）A88，108，88 B88，104，10888，92，92 D88，92，883平行四边形ABCD中，ABCD可以是（ ）A、1221 B、2112 C、2211 D、2121 4平行四边形ABCD的周长是10，ABC的周长是8，则对角线AC的长是（ ）A、2 B、3 C、4 D、55如图，ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）A1m11； B2m22； C10m12； D5m66以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）A1个B2个C3个D4个7如图在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设OCD的面积为m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）AB C D8E是ABCD的一边AD上任意一点，若EBC的面积为，ABCD的面积为，则下列与的大小关系正确的是（ ）A、 B、 C、 D、无法确定ADCBFE 第7题 第9题 第10题9. 如图，在 ABCD中，AB、BC、CD的长度分别为2x+1，3x，x+4，则 ABCD的周长是_10如图，在平行四边形ABCD中，CE是DCB的平分线，F是AB的中点，AB6，BC4，则AEEFFB为（） A123 B 213 C 321 D 31211.ABCD的周长为60，AOB的周长比BOC大8，则AB 、BC 12.如图，ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，若ABCD的周长为48，DE=5，DF=10。求ABCD的面积。12.(1)如图,平行四边形ABCD中,AB=5cm,BC=3cm, D与C的平分线分别交AB于点F、E，求AE、EF、BF的长；（2）改变（1）题中BC的长度，其他条件保持不变，能否使点E、F重合，点E、F重合时BC长是多少？求AE、BE的长；（3）由（2）题，你还发现什么结论？请写出来，并证明你的结论（只写一个即可）。考点二：平行四边形的判定1.下列说法，属于平行四边形判别方法的有（ ）个两组对边分别平行的四边形； 平行四边形的对角线互相平分；两组对边分别相等的四 边形； 平行四边形的每组对边平行且相等；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。A.6个 B.5个 C.4个 D.3个2四边形ABCD中，ADBC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）AA+C180BB+D180 CA+B180DA+D1803两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（ ）A一般平行四边形B菱形C矩形D正方形4在四边形ABCD中，给出下列条件： ABCD，AD=BC，AC，ADBC能判断四边形是平行四边形的组合是_5四边形四边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足等式，则顺次连结此四边形各边的中点所组成的四边形必是_。ABCDEF6已知：如图，ABCD中，E、F分别是边AB，CD的中点。求证：EF=BC。要说明EF=BC，我们只需说明_要说明AEFD是平行四边形，只需说明_那为什么AE=DF？写出证明过程7 如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O,E、F分别在OB、OD上，且OE=OF,又OC=_,所以_是平行四边形，理由是_ (2)若点E、F在OB、OD的中点上试说明四边形BFDE是平行四边形8.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可） （1）连接_；（2）猜想_ （3）说明理由.9. (2009年安顺)如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。图1ABCD考点三：等腰梯形的性质与判定1. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC= a cm，A=60，BD平分ABC，则这个梯形的周长是（ ） A.4a cm； B. 5a cm； C.6a cm； D. 7a cm；2一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为 （ ） A B C D3.等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角为（ ）A30o B45 o C60 o D75 o4从等腰三角形底边上任意一点，分别作两腰的平行线，那么所构成的平行四边形的周长等于这个三角形的（ ）A.周长的一半 B.周长 C.两腰的和 D.腰长5如图，梯形ABCD中AD/BC，ABCD=AD，AC=BC。（1）图中有多少个等腰三角形？请你找出来。 （2）求梯形各个角的度数。DAEBC6如图19-12，已知四边形ABCD是等腰梯形， CD/BA,四边形AEBC是平行四边形请说明：ABDABE7.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B 90 ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，问：t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形？考点四：三角形和梯形的中位线1. 在ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若ABC的周长为30 cm，则DCE的周长为_2已知梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是 cm.3如图1，EF是ABC的中位线，BD平分ABC交EF于D，若DE2，则EB_4如图2，ABC中，AD、BE是中线且交于G，那么 . 图1 图2 图3 图45如图3，ABC中，如果AB30cm，BC24cm，AC27cm，AEEFFB，EGDFBC，FMENAC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )A.70cm B.75cm C.80cm D.81mc6如图4，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于H，则AHHE等于（）A11 B21 C12 D327:已知，如图在ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点。求证：四边形AFDE是平行四边形； 周长等于AB+AC。8: 已知，如图，ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。求证：EF=DG且EFDG9如图，ABC中，BM平分ABC，AMBM，垂足为M，点N为AC的中点，设AB10，BC6，求MN的长度. 10：已知：如图，ABC，AD为高，M为BC的中点，且B=2C，求证：BM=AB。考点五:矩形性质定理及推论1：下列命题中正确的是（）：矩形的对角线相等且互相垂直。：对角形相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线长不一定等于斜边的一半2:矩形中较短的边长为3.6cm ,两条对角线的夹角为60度，则矩形对角线的长度是_3：直角三角形两直边分别为 6和8，则斜边上的中线长_4.如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A2 B4 C D 第4题 第5题 5：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD于E，则：（1）图中与BAE相等的角有_；（2）若AOB=60，则AB：BD_。 图中DOC是_三角形6.（2009 黑龙江大兴安岭）如图,在矩形中，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：；，正确的（ ）AB CD7.如图,将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知=60，则AED的大小是（ ） A60. B50. C75. D55第8题考点六：矩形分割面积法8在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PEAC，垂足为E，PFBD，垂足为F，则PE+PF的值为（ ）A. B. C. 2 D. 9如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,AEBD于E,则=_.第9题 第10题 第11题10已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点若AB2，AD4，则图中阴影部分的面积为 ( )A8 B6 C4 D311如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG。考点七：矩形的判定定理和应用1如图, ABCD各角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形2如图ZM320所示，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，求证：四边形PMQN为矩形3（矩形基础题）（1）已知：如图，在矩形ABCD中，AFBE求证：DECF；4如图，矩形ABCD中，AC与 BD交于 O点，BEAC于 E，CFBD于 F求证：BE=CF 拔高题5如图，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在A上，设H分别是B、落在AC上的两点，E、分别是折痕、与、的交点。（1）求证：四边形是平行四边形。（2）若4cm，3cm，求线段的长。6如图，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0t6），那么： （1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论考点八：菱形的定义和性质1下列说法正确的有（）菱形具有平行四边形的一切性质。菱形的四条边都垂直。菱形的四条边都相等菱形的对角线相等且平分。菱形的对角线垂直且平分。菱形的对角线平分一组对角一组邻边相等的平行四边形是菱形。一组邻边垂直的平行四边形是菱形个个个个2矩形的各边中点所围成的四边形是（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形3菱形的一个角为120，一边长为8，那么它较短对角线长是（ ）A. 3 B. 4 C. 8 D. 4如图1, 在菱形ABCD中，BAD80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则CDF。图 1 图2 图35. 如图2，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15的可活动菱形衣架若墙上钉子间的距离ABBC15，则1_度6如图3所示，菱形花坛ABCD的边长为6m，B=60，在由两个正六边形组成的图形中种花，其余部分种草，则种花部分图形的周长（粗线部分）为7菱形的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，(1) 求菱形的另一条对角线的长；(2) 求菱形的四个内角；(3) 求菱形的面积。8如图，在菱形ABCD中，E,F分别是CB,CD上的点，且BEDF，求证：AEFAFE考点九：菱形的判定应用1下列命题中，真命题是（ ）A对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B对角线互相垂直的平行四边形是菱形C对角线互相平分且相等的四边形是菱形D对角线相等的四边形是菱形2在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH是（）A正方形 B菱形 C矩形D平行四边形3 如图所示，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD， 添加下列哪个条件不能使四边形ABCD成为菱形（ ）A. AB=AD B. BA=BC C. AB=CD D. ACBD 4一个菱形对角线之差为4，面积为62，则菱形边长为 5如图，在ABC中，BAC =，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求证：四边形AEFG是菱形；6如图，取平行四边形纸片AB，AB6cm，8cm，B90，将纸片折叠，使C点与点重合，折痕为EF，试问：（1)四边形AECF是菱形吗？（2）你能求折痕EF的长吗？7已知四边形ABCD为矩形AD=20 cm,AB=10 cm. M点从D到A,P点从B到C运动的速度为2 cm/s; N点从A到B,Q点从C到D运动的速度为1 cm/ s.若四个点同时出发(1)判断四边形MNPQ的形状(2)四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，请说明理由8（拔高题）如图，在ABC中，ACB90 ，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当上B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能为正方形吗？为什么？考点十：正方形的性质1有一组邻边_并且有一个角是_的平行四边形，叫做正方形2正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）对角线互相平分对角线相等对角线平分一组对角对角线互相垂直3矩形的各边中点所围成的四边形是（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形4如图1所示，已知在边长为8a的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F，G分别在BCCD上，且CF=CG=AB，则四边形DEFG的面积等于（ ）A. 36a2 B. 35a C. 34a2 D. 32a2 5已知：如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC边上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为_。6如图3，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后，得到正方形EFCG，EF交AD于点H，则DH=_。 图1 图2 图3 图47如图4，正方形ABCD的边长为6cm，正方形边长为3cm，则图中阴影部分面积为_。8（2009肇庆）如图 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F （1）求证：； （2）求证：9(拔高题)已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形（09年华罗庚邀请赛初三组）（提示：根据几何图形的对称性解题，这是一种经典解法，找准对称轴）APCDB考点十：正方形判定四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA。其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）2给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。3四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）AOAOBOCOD，ACBDBABCD，ACBDCADBC，ACDOAOC，OBOD，ABBC4如图 2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AEEF，则下列结论正确的是（ ）A. BAE=30 B. CE=ABCF C. CF=CD D. ABEAEF 图1 图25.（2009年莆田）如图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形 6已知：如图RtABC中，ACB90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F。求证：四边形CEDF是正方形。7已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。四边形小结一、本章基本知识点、平行四边形的概念： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。注意：（）只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形；（2）概念给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行；（3）一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。2、平行四边形的性质：（）平行四边形的两组对边分别平行；两组对角分别相等，邻角互补；（）平行四边形的两组对边分别相等；对角线互相平分；（5）平行四边形的两条对角线把它分成组全等的三角形。注意：（）平行四边形的性质的证明是通过作对角线把证明平行四边形中线段、角相等的问题转化为证明三角形全等的问题来处理；（）平行四边形的对角线互相平分，意为两对角线的交点恰为这两条线段的公用的中点；、平行四边形的判定（识别）： （）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。注意：（）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；但一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。（）平行四边形的性质和识别都是从边、角、对角线三个方面来研究的；2、梯形的概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。注意：（）平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做腰，两底间的距离叫做高；较短的底边 叫做上底；较长的底边叫做下底； （）两底平行；两腰不平行。、梯形的判定方法：（）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形；（）有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。注意：判定一个四边形为梯形，必须同时满足两个条件，即一组对边平行，另一组对边不平行，两者缺一不可。3、等腰梯形的性质：（）两底平行，两腰相等； （）等腰梯形同一底边上的两角相等；（）等腰梯形的两条对角线相等；（4）等腰梯形的两条对角线把它分成两组全等的三角形。注意：（）等腰梯形同一底上的两个角既可指下底上的两个角，也可指上底上的两个角；（）“对角线相等”“ 同一底边上的两个底角相等”“ 两腰相等”是等腰梯形特有的性质，一般梯形不具有这一性质。3.1、等腰梯形的判定：（）两腰相等的梯形是等腰梯形； （）在同一底边上的两个角相等的梯形；注意：判断一个梯形是等腰梯形，首先必须判定它是梯形，在证明同一底边上的两个底角相等或两腰相等或对角线相等。4: 中位线的概念和性质4-1三角形中位线的概念： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。4-2、三角形中位线的性质： 1：三角形中位线平行于第三边，2：并且等于第三边的一半。注意：（）三角形有三条中位线；（）中位线与中线是两个截然不同的概念；（）三角形中位线性质有两个结论，在具体运用时，要灵活根据题目要求进行选择， 4-3、梯形中位线的概念： 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。4-4、梯形中位线的性质： 1：梯形的中位线平行于两底，2：并且等于两底和的一半。注意：（）梯形的中位线只有一条。（）利用梯形中位线性质可以证明三条直线平行，也可以证明一条线段和另一条线段的倍分关系；（）梯形的面积公式为梯形（上底下底）高中位线高。4-5、中位线在解题中的作用：三角形和梯形中位线定理在同一条件下具有两个结论：一个定性的是平行于第三边（或两底）；另一个定量的就是等于第三边（或两底和）的一半，其用途比较广泛。又因为中位线具有评议角度、倍分的功能，因此当遇到中点或三角形中线时，考虑是否作中位线，这种思想方法就是常说的“遇到中点想中位线”。5 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形5-1矩形的性质：（）矩形具有平行四边形的一切性质；（）矩形的四个角都是直角；（）矩形的对角线相等；（）矩形的两条对角线把它分成四个面积相等的等腰三角形。注意：矩形是特殊的平行四边形，它特殊在角上，使得它在角和对角线方面具备与菱形、平行四边形不同的性质。5-1、矩形的判定：（）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（）有三个角是直角的四边形是矩形；（）对角线相等的平行四边形是矩形；（）对角线互相平分且相等的四边形是是矩形。注意：（）若易证是平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可得矩形；（）对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），对角线相等且互相平分的四边形为矩形6、直角三角形的性质: 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。注意：斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等。、菱形的概念； 一组邻边相等的平行四边形是菱形。9-1、菱形的性质：（）菱形具有平行四边形的所有性质； （）菱形四条边都相等；（）菱形对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分每一组对角（）菱形的两条对角线把它分成四个全等的直角三角形。注意：（）菱形周长边长，菱形面积底高对角线之积；（）菱形是特殊的平行四边形，它特殊在边上，使得它在边和对角线方面具备与矩形、平行四边形不同的性质。9-2、菱形的判定：（）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （）四条边相等的四边形是菱形；（）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。注意：（）若已知四边形是平行四边形，只需证一组邻边相等，或对角线互相垂直就能说明是菱形。（）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形。0、正方形的概念：（）有一个角是直角的菱形是正方形；（）邻边相等的矩形是正方形。0-1、正方形的性质：（）正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它们的一切性质，按边、角、对角线分类，正方形的性质有：正方形的四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分每一组对角；（）正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴，是对角线所在的直线及对边中点所在的直线；（）正方形的两条对角线把它分成四个全等的直角等腰三角形。注意：正方形的性质矩形的性质菱形的性质。0-2、正方形的性质：（）邻边相等的矩形是正方形； （）有一个角是直角的菱形是正方形；（）对角线相等的菱形是正方形； （）对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：（）以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法。如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形等。可以根据实际情况灵活选择；（）一般证明正方形的步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证出所需要的条件；（）矩形的判定条件菱形的判定条件正方形的判定条件。四边形判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形