【聚焦中考】（陕西）中考数学总复习 第34讲 锐角三角函数和解直角三角形教学案.doc

第34讲锐角三角函数和解直角三角形陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1锐角三角函数1.通过实例认识锐角三角函数(sina，cosa，tana)，知道30，45，60角的三角函数值；2.会使用计算器由已知锐角求其相应的三角函数值，由已知三角函数值求与其对应的锐角2012填空题111实数运算，涉及45的余弦值0.3%考点2解直角三角形运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题2013解答题23(2)2圆的切线的有关证明，涉及直角三角形的边角关系2012解答题208以测量距离为背景，考查解直角三角形的简单应用2.8%陕西近几年中考对本节内容的考查主要涉及锐角三角函数、直角三角形的边角关系、解直角三角形的实际应用，考查的形式比较灵活，预计2015年中考，可能会在选择(填空)题中考查锐角三角函数，在解答题中考查直角三角形的边角关系和实际应用1锐角三角函数的意义，rtabc中，设c90，为rtabc的一个锐角，则：的正弦sin_；的余弦cos_；的正切tan_230，45，60的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30_45_1_60_3同角三角函数之间的关系：sin2cos2_1_；tan_互余两角的三角函数关系式：(为锐角)sin(90)_cos_；cos(90)_sin_函数的增减性：(090)(1)sin，tan的值都随_增大而增大_；(2)cos随_增大而减小_4解直角三角形的概念、方法及应用：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形直角三角形中的边角关系：在rtabc中，c90，a，b，c所对的边分别为a，b，c，则：(1)边与边的关系：_a2b2c2_；(2)角与角的关系：_ab90_；(3)边与角的关系：_sinacosb，cosasinb，tana，tanb_5直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题(1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即itan，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东转化思想(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即a的对边为bc，b的对边为ac，c的对边为ab.(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况方法技巧将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系进行计算，当有些图形不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决解题时可设未知数进行求解，从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回(2012陕西)如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭a处测得湖心岛上的迎宾槐c处位于北偏东65方向，然后，他从凉亭a处沿湖岸向正东方向走了100米到b处，测得湖心岛上的迎宾槐c处位于北偏东45方向(点a，b，c在同一水平面上)请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐c处与湖岸上的凉亭a处之间的距离(结果精确到1米)(参考数据：sin250.4226，cos250.9063，tan250.4663，sin650.9063，cos650.4226，tan652.1445)解：如图，作cdab交ab的延长线于点d，则bcd45，acd65，在rtacd和rtbcd中，设acx，则adxsin65，bdcdxcos65，100xcos65xsin65，x207(米)湖心岛上的迎宾槐c处与凉亭a处之间距离约为207米锐角三角函数的定义【例1】(2014武汉)如图，pa，pb切o于a，b两点，cd切o于点e，交pa，pb于c，d.若o的半径为r，pcd的周长等于3r，则tanapb的值是( b )a.b.c.d.【点评】本题主要考查了三角函数的定义及相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找准线段及角的关系1(2013兰州)abc中，a，b，c分别是a，b，c的对边，如果a2b2c2，那么下列结论正确的是( a )acsinaa bbcosbccatanab dctanbb解直角三角形【例2】(2012安徽)如图，在abc中，a30，b45，ac2，求ab的长解：过点c作cdab于d，在rtacd中，a30，ac2，cdacsina20.5，adaccosa23，在rtbcd中，b45，则bdcd，abadbd3【点评】将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件2(2014宁夏)在abc中，ad是bc边上的高，c45，sinb，ad1.求bc的长解：在rtabd中，sinb，又ad1，ab3，bd2ab2ad2，bd2.在rtadc中，c45，cdad1.bcbddc21解直角三角形的实际运用【例3】(2014广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡ab长60米，坡角(即bac)为45，bcac，现计划在斜坡中点d处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线ca的休闲平台de和一条新的斜坡be(下面两个小题结果都保留根号)(1)若修建的斜坡be的坡比为1，求休闲平台de的长是多少米？(2)一座建筑物gh距离a点33米远(即ag33米)，小亮在d点测得建筑物顶部h的仰角(即hdm)为30.点b，c，a，g，h在同一个平面内，点c，a，g在同一条直线上，且hgcg，问建筑物gh高为多少米？解：(1)fmcg，bdfbac45，斜坡ab长60米，d是ab的中点，bd30米，dfbdcosbdf3030(米)，bfdf30米，斜坡be的坡比为1，解得ef10(米)，dedfef3010(米)答：休闲平台de的长是(3010)米(2)设ghx米，则mhghgmx30(米)，dmagap333063(米)，在rtdmh中，tan30，即，解得x3021，答：建筑物gh的高为(3021)米【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用3(2014邵阳)一艘观光游船从港口a以北偏东60的方向出港观光，航行80海里至c处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船c处所需的大约时间(温馨提示：sin530.8，cos530.6)解：过点c作cdab交ab延长线于d.在rtacd中，adc90，cad30，ac80海里，cdac40海里在rtcbd中，cdb90，cbd903753，bc50(海里)，海警船到达事故船c处所需的时间大约为5040(小时)试题(2012青岛)如图，某校教学楼ab的后面有一建筑物cd，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子ce；而当光线与地面夹角是45时，教学楼顶a在地面上的影子f与墙角c有13米的距离(b，f，c在一条直线上)(1)求教学楼ab的高度；(2)学校要在a，e之间挂一些彩旗，请你求出a，e之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin22，cos22，tan22)审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求)；(2)将问题集中到一个直角三角形中；(3)利用直角三角形的边角之间关系(三角函数)求解规范解题解：(1)过点e作emab，垂足为m.设ab为x.在rtabf中，afb45，bfabx，bcbffcx13.在rtaem中，aem22，amabbmabcex2，tan22，x12.即教学楼的高度为12 m.(2)由(1)可得，mebcx13121325.在rtame中，cos22，ae27.即a，e之间的距离约为27 m.答题思路解直角三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型；第三步：求解利用三角函数有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解试题在abc中，a