【步步高】高考数学总复习 3.1导数的概念及其运算配套文档 理 新人教B版 (1).DOCVIP

3.1导数的概念及其运算1 函数yf(x)在区间x0，x0x的平均变化率.2 函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数yf(x)在点x0的瞬时变化率 l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f(x0)，即 f(x0)(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于f(x0)3 函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)(或yx、y)4 基本初等函数的导数公式 5. 导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)6 复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(6)函数y的导数是y.()2 已知曲线yx3在点(a，b)处的切线与直线x3y10垂直，则a的值是()a1 b1 c1 d3答案b解析由yx3知y3x2，切线斜率ky|xa3a2.又切线与直线x3y10垂直，3a2()1，即a21，a1，故选b.3 如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案d解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除a，c.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除b.故选d.4 (2013江西)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析设ext，则xln t(t0)，f(t)ln ttf(t)1，f(1)2.5 曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案解析y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为a(，)，所以三角形的面积s1.题型一利用定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处的切线与曲线f(x)x3的交点思维启迪正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是解本题的关键解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0)思维升华求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量yf(x2)f(x1)；(2)计算平均变化率；(3)计算导数f(x) .若函数yf(x)在区间(a，b)内可导，且x0(a，b)，则 的值为()af(x0) b2f(x0)c2f(x0) d0答案b解析 2 2f(x0)题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)ysin2；(4)yln(2x5)思维启迪求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导解(1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)ysin2(2x)cos(4x)故设ycos u，u4x，则yxyuuxsin u42sin u2sin(4x)(4)设yln u，u2x5，则yxyuux，因此y(2x5).思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导求下列函数的导数(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysin (12cos2)；(3)yln(x21)解(1)方法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.方法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(2)ysin (cos )sin x，y(sin x)(sin x)cos x.(3)yln(x21)(x21).题型三导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点a(2，2)的曲线f(x)的切线方程思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过a(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解已知抛物线yax2bxc通过点p(1,1)，且在点q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解y2axb，抛物线在点q(2，1)处的切线斜率为ky|x24ab.4ab1.又点p(1,1)、q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得实数a、b、c的值分别为3、11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数yx22x2的图象为c1，函数yx2axb的图象为c2，已知过c1与c2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值c1与c2有交点(可设c1与c2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数导数的几何意义利用导数求两切线的斜率：k12x02，k22x0a等价转换(2x02)(2x0a)1(交点(x0，y0)适合解析式)，即2x(a2)x02b0注意隐含条件方程同解ab (消元)aba2当a时，ab最大且最大值为.规范解答解(1)对于c1：yx22x2，有y2x2，1分对于c2：yx2axb，有y2xa，2分设c1与c2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又点(x0，y0)在c1与c2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.6分(2)由(1)知：ba，aba2.9分当a时，(ab)最大值.12分温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点p(x0，y0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导2求曲线切线时，要分清在点p处的切线与过p点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()ae2 be c. dln 2答案b解析由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.2 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于 ()a1 b2 c2 d0答案b解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.3 若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()a4xy30 bx4y50c4xy30 dx4y30答案a解析切线l的斜率k4，设yx4的切点的坐标为(x0，y0)，则k4x4，x01，切点为(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程为4xy30.4 曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为()a. b. c. d.答案b解析求导得y3x2，所以y3x2|x13，所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为(1)1，故选b.5 已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nn，则f2 015(x)等于()asin xcos x bsin xcos xcsin xcos x dsin xcos x答案a解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故选a.二、填空题6 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.答案6解析对f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2)令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)6.7 已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点p处的切线方程是_答案xy20解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点p处的切线的斜率kf(2)1，又过点p(2,0)，所以切线方程为xy20.8 若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0，ax2.三、解答题9 求下列函数的导数(1)yxnlg x；(2)y；(3)y；(4)ylogasin x(a0且a1)解(1)ynxn1lg xxnxn1(nlg x)(2)y()()()(x1)(2x2)(x3)x24x33x4.(3)y().(4)令ylogau，usin x，ylogaecos xlogae.10已知曲线yx3.(1)求曲线在点p(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点p(2,4)的切线方程解(1)p(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点p(2,4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点p(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点p(2,4)的切线相切于点a，则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点p(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.b组专项能力提升(时间：30分钟)1 在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是 ()a0 b1 c2 d3答案a解析依题意得，y3x29，令0y1得3x20，b0.又f(x)2xb，斜率为正，纵截距为负，故选a.3 已知曲线c：f(x)x3axa，若过曲线c外一点a(1,0)引曲线c的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_答案解析设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得，(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得，t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka