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抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域的每一个值时，都有，那么，函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数图象上任一点关于点（或直线）的对称点仍在函数的图象上，则称函数的图象关于点（或直线）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数图象上任一点关于点（或直线）的对称点在函数的图象上；反过来，函数图象上任一点关于点（或直线）的对称点也在函数的图象上，则称函数与的图象关于点（或直线）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数的定义域为，且恒成立，则函数是以为周期的周期函数；2、若函数的定义域为，且恒成立，则函数的图象关于直线对称；3、若函数的定义域为，且恒成立，则函数的图象关于点对称；4、若函数的定义域为，且恒成立，则函数是以为周期的周期函数；5、若函数的定义域为，则函数与的图象关于直线对称；6、若函数的定义域为，则函数与的图象关于点对称.略证：1、，函数是以为周期的周期函数.2、函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为，点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线对称.3、函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为，点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于点对称.4、,函数是以为周期的周期函数.5、函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为，点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于直线的对称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于直线对称.6、函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为，点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于点的对称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于点对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数满足，则函数的图象关于轴对称；函数和函数的图象也关于轴对称.2、若函数满足，则函数的图象关于原点对称；函数和函数的图象也关于原点对称.3、若函数满足，则函数的图象关于轴对称；而函数和函数的图象关于直线对称.4、若函数满足，则函数的图象关于原点对称.而函数和函数的图象关于点对称.5、若函数满足，则函数的图象关于直线对称；而函数和函数的图象关于轴对称.6、若函数满足，则函数的图象关于点对称；而函数和函数的图象关于原点对称.7、若函数满足，则函数的图象关于直线对称；函数和函数的图象也关于直线对称.8、若函数满足，则函数的图象关于点对称；函数和函数的图象也关于点对称.9、若函数满足，则函数是以为周期的周期函数；若函数满足，则函数是以为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数.2、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数.3、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数.略证：1、=，函数是以为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数是以为周期的周期函数,又函数是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称.略证；任取，令，则，由中点公式知点与点关于点对称.由的任意性，知函数的图象关于点对称.5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的