【志鸿全优设计】高中数学 第一章1.4 生活中的优化问题举例讲解与例题 新人教A版选修22.doc

1.4生活中的优化问题举例问题导学一、利润最大问题活动与探究1某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(2)若年销售量关于x的函数为y3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？迁移与应用1某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品定价为p元，则销售量q(单位：件)与定价p(单位：元)有如下关系：q8 300170pp2则该商场定价为_元时，毛利润l最大2某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系为p24 200x2，且生产x吨的成本为r50 000200x元问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)第二步，求函数的导数f(x)，解方程f(x)0第三步，比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值二、费用最省问题活动与探究2如图所示，设铁路ab50，b，c之间距离为10，现将货物从a运往c，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在ab上何处修筑公路至c，可使运费由a至c最省？迁移与应用某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域三、面积(体积)最大问题活动与探究3如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底ab是半椭圆的短轴，上底cd的端点在椭圆上，记cd2x，梯形面积腰梯形的形状，下底ab是半椭圆的短轴，上底cd的端点在椭圆上，记cd2x，梯形面积为s(1)求面积s以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积s的最大值迁移与应用1有一道长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积是_2用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积(1)求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解(2)必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题答案：课前预习导学【预习导引】1利润最大用料最省效率最高2用函数表示的数学问题用导数解决数学问题预习交流提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解解：(1)由题意得：上年度的利润为(1310)5 00015 000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10(1x)；本年度每辆车的出厂价为13(10.7x)；本年度年销售量为5 000(10.4x)，因此本年度的年利润为y13(10.7x)10(1x)5 000(10.4x)(30.9x)5 000(10.4x)1 800x21 500x15 000(0x1)，由1 800x21 500x15 00015 000，解得0x所以当0x时，本年度的年利润比上年度有所增加(2)本年度的年利润为f(x)(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)，则f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)，由f(x)0，解得，或x3(舍去)，当x时，f(x)0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，f(x)是减函数所以当时，f(x)取极大值20 000万元因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元迁移与应用1.30解析：根据题意得：lpq20qp3150p211 700p166 000，l(p)3p2300p11 700令l(p)0，解得p30，或p130(舍去)此时l(30)23 000当p(0,30)时，l(p)0；当p(30，)时，l(p)0，l(30)为极大值且为最大值定价为30元时，毛利润最大为23 000元2解：每月生产x吨时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)因为f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元活动与探究2思路分析：可从ab上任取一点m，设mbx，将总费用表示为变量x的函数，转化为函数的最值求解解：设mbx，于是am上的运费为2(50x)，mc上的运费为4，则由a到c的总运费为p(x)2(50x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)当x时，p(x)0；当x时，p(x)0，所以当x时，取得最小值即在离b点距离为的点m处筑公路至c时，由a至c的货物运费最省迁移与应用解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xn*)，f(x)48，令f(x)0，得x15，或x15(舍去)，当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0，因此当x15时，f(x)取最小值f(15)2 000故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层活动与探究3思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高解：(1)依题意，以ab的中点o为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点c的横坐标为x，点c的纵坐标为y，满足方程1(y0)，解得y2(0xr)s(2x2r)22(xr)，其定义域为x|0xr(2)记f(x)4(xr)2(r2x2),0xr，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得xr，或xr(舍去)因为当0xr时，f(x)0；当rxr时，f(x)0，所以f是f(x)的最大值因此，当xr时，s也取得最大值，最大值为r2，即梯形面积s的最大值为r2迁移与应用116 m2解析：设矩形长为x m，则宽为(8x) m，矩形的面积为sx(8x)(x0)令s82x0，得x4此时smax4216(m2)2解：设容器底面短边的边长为x m，则另一边长为(x0.5) m，高为3.22x(m)由题意知x0，x0.50，且3.22x0，0x1.6设容器的容积为v m3，则有vx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)v6x24.4x1.6令v0，有15x211x40，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，v(x)0，v(x)为增函数，x(1,1.6)时，v(x)0，v(x)为减函数v在x(0,1.6)时取极大值v(1)1.8，这个极大值就是v在x(0,1.6)时的最大值，即vmax1.8这时容器的高为1.2 m当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大值为1.8 m3当堂检测1一个箱子的容积与底面边长x的关系为(0x60)，则当箱子的容积最大时，x的值为()a30 b40 c50 d60答案：b解析：v(x)30x2，v(x)60x令v(x)0，得x40(x0舍去)，且当0x40时v(x)0，当40x60时v(x)0，故v(x)在x40时取得最大值2以长为10的线段ab为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()a10 b15 c25 d50答案：c解析：设矩形垂直于ab的一边长为x，则另一边长为，于是矩形面积s(x)2x(0x5)，则s(x)，令s(x)0得(舍去)，因此当时面积取最大值为s3把长100 cm的铁丝分为两段，各围成正方形，使两个正方形的面积之和最小，则两段的长分别为_，_答案：50 cm50 cm解析：设其中一段长为x cm(0x100)，则两个正方形面积之和s(x)，s(x)，令s(x)0得x50，故当x50 cm 时两正方形面积之和最小，另一段长也为50 cm4已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y81x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案：9解析：yx281令y0得x9，x9(舍去)当0x9时，y0，函数f(x)单调递增；当x9时，y0，函数f(x)单调递减故当x9时，y取最大值5如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边a处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的b处，乙厂到海岸的垂足d与a相距50 km两厂要在此岸边a，d之间合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则