非标准分析之转化原理及其在分析中的应用.pdf

收稿日期 2003 09 19 基金项目 海南大学科研启动基金项目 作者简介 龙伦海 1965 男 重庆大足人 海南大学信息科学技术学院教授 博士 第22卷 第1期海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版Vol 22 No 1 2004年3月NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITYMar 2004 文章编号 1004 1729 2004 01 0009 06 非标准分析之转化原理及其在分析中的应用 龙伦海 海南大学 信息科学技术学院 海南 海口570228 摘 要 介绍了非标准分析的转化原理 并给出其在数学分析上的一些应用 关键词 内的 外的 标准 非标准 转化原理 中图分类号 O 141 41 文献标识码 A 1 介绍与说明 标准分析也称数学分析或经典分析 其主要内容是微积分 牛顿和莱布尼茨在创立微积分 时使用了无穷小量方法 但由于无穷小量的概念不明确 使得微积分的理论基础不严格 后来 柯西 外尔斯特拉斯等人用极限方法代替无穷小量方法 使微积分的理论基础严格化 20世纪二 三十年代 随着数理逻辑的迅猛发展 从而推动了其他学科的发展 一些新思想 新方法 新学科 应运而生 如递归论 模型论等 1961年 美国数理逻辑学家鲁滨逊A用数理逻辑方法和无穷小 量方法刻划微积分的理论基础 使微积分理论不必使用极限方法就有牢固的基石 鲁滨逊所创 立的这套理论称为非标准分析 1 也称为现代分析 该理论经过一些数学家的完善和推广 变得 更加简单化 公理化 2 3 典型的要数美国数学家尼尔森E所创立的内集论 4 6 在经典的策梅 罗的公理系统和选择公理 ZFC 基础上再增加尼尔森的非标准的三大原理 IST 而建立成的非 标准分析已在分析 微 差 分方程 微分几何学 代数几何学 拓扑学等方面有一系列的应用 特别是非标准拓扑和非标准测度论近些年来更是有重要的突破 使得数学家们不得不对非标准 分析另眼相看 以下是对文中出现的一些述语和符号的说明 新词语 指标准 非标准或由其派生出来的一些词语 内的 一个公式 或集合等 称为内的当且仅当其可以用传统语言 既未用新词语 来加以 表述 外的 指只能用新词语表述的公式 集合等 注 内的 外的本身也是新词语 标准的 指经典数学里定义的所有对象 如数 集合 函数 命题 公式等 非标准的 指在非标准分析中经典数学里没有的对象 例如小于实数c的所有实数的集合就是一个内集 当c是标准数时 该集是标准集 否则是 非标准集 同样一个内公式是标准的当且仅当里面的所有常元是标准的 从而一个非标准公式 里至少包含一个非标准常元 由于ZFC的每个公理都是内的且不包含任何常元 因此它们都是 标准公式 具体如何区分一个元素是标准的或非标准的 一个公式是内的或外的 将在文中逐步 详细介绍 本文将使用下列一些记号 F x F x t 表示以括号内的元素为变元的公式 st x 表示元素x是标准的 相当于 一个单元谓词 stx1 x2 xn表示对任意的标准变元x1 x2 xn stxF x 表示谓词公式 x st x F x 即对任意的x 若x是标准的 则命题公式 F x 成立 stxF x 表示 x st x F x 即存在标准的x且使 F x 成立 2 转化原理 转化原理 简称T原理 说的是对变域中所有的标准变元成立的标准公式 对其变域里的所 有变元该公式也成立 笔者将以特殊和一般2种情况加以表述 原理1 弱转化原理 若 F x 为只包含一个自由变元的标准谓词公式 即 F x 的叙述未 用新词语 F x 中的所有常元 包括x的变域 X 都是标准的 则 stxF x xF x 或等价叙述为 xF x stxF x 原理2 一般转化原理 若n是一个标准正整数 F x t1 t2 tn 为只包含n 1个自由 变元的标准公式 则 stt1 t2 tn stxF x t1 tn xF x t1 tn 同样可等价叙述为 stt1 t2 tn x F x t1 tn stx F x t1 tn 现就下列一些标准公式利用转化原理得出的结论进行讨论 1 定义F1 A y y A F1 A 是内的且无常元 因而是标准的 由ZFC的第一公 理 命题 A F1 A 为真 这里的A即为空集 由转化原理1 命题 stA F1 A 也为真 由 的 唯一性 得出空集 是一标准集 按通常的后继归纳定义有0 1 0 2 0 1 3 0 1 2 从而由空集 是标准的得出常用的整数是标准的以及 e N Q R sinx等都是标准的 2 定义标准公式F2 x A x A 如果 stA xF x 成立 则 stA stxF x 成 立 即非空标准集至少包含一个标准元 3 取标准公式 内的 无常元 F 3 x A B x A x B 若命题 stA B stx F3 x A B 为真 则由转化原理2 命题 stA B x F3 x A B 也为真 即标准集A 的所有标准元包含在标准集B中 有A B成立 因此可得出结论 2个标准集相等当且仅当它 们包含相同的标准元 4 令标准公式F4 x f f在x处连续 当 stf stx F4 x f 成 立 有 stf x F4 x f 也成立 即一个标准函数是连续的 可导的 当且仅当其在标准元处连续 可导 5 取标准公式F5 y x f y f x 显然有 stf x y F5 y x f 为真 从而由T 原理得出 stf x styF5 y x f 为真 即标准函数在其标准元处取标准函数值 6 设标准公式F6 x f g f x g x 若 stf g stx F6 x f g 成立 由转化 原理2的第一形式 则有 stf g x F6 x f g 成立 从而2个标准函数恒等当且仅当其在所 有的标准元处取相同的函数值 01海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2004年 7 令标准公式F7 M f f是以M为上界 由T原理命题 stf M F7 M f 为真将 导出 stf stM F7 M f 也为真 即有上界的标准函数一定有一个标准上界 当然也可得出有 界的标准函数的上 下确界都是标准的 总之 我们掌握的原则是 1 在系统ZFC 经典分析 中成立的所有定理在ZFC IST 非标 准分析 中仍然成立 如N满足递推原理 R满足 阿基米德性质 2 即使是用新方法证明的新 定理 如若可用经典语言来描述 则一定存在一种经典方法可用来证明该定理 3 无限数的运算 转化原理告诉我们实数集R中标准数的存在性及哪些是标准数 在这一节里 将给出实数 集R中的非标准实数 其存在性将由理想化原理导出 的分类定义及其运算性质 以便对非标 准实数作一些直观的了解 定义1 1 如果一个实数 的绝对值大于N中的所有标准整数 则称 是一个无限大数 用 表示 当 0时称 为正无限大数 用 表示 同样用 表示负无 限大数 2 如果一个实数 的绝对值小于R中的所有标准正实数 则称 是一个无限小数 用 0表示 例如 1 同样可定义正无限小数和负无限小数 3 若一个实数a的绝对值小于N中的某个标准整数 则称a是一个有限数 用 a 表示 4 若一个实数a既不是无限大数又不是无限小数 则称a是一个可触数 例如a 这里 0 5 当2个实数x y满足x y 0 则称x与y等价或无限接近 用x y表示 6 当2个非零实数x y满足它们的比与1等价 则称x与y是无限渐近的 用x y表示 直观上非标准分析中实数集是经典分析中实数集的扩充 后者只包含前者的所有标准元 前 者中无限小数分布在零的两边 无限大数分布在后者所有元的两边 其他非标准实数可以表示成 后者的一个非零实数加上一个无限小数 从而克服了经典分析中因没有无限数而只能用变量的极 限来定义无穷大量和无穷小量的弊端 由定义可导出以下一些非标准分析中实数的简单运算性 质 其中关于无限小数和无限大数的运算类似于经典分析中无穷小变量和无穷大变量的运算 性质 1 设a为可触数 b为有限数 和 是无限小数 是无限大数 则 0 0 a 0 a a a a a 0 a b a b 0 i 0 有 若 i 1 bi 1 由a1 n i 2 ai i 1 0和a1是标准的导出a1 0 同样可得a2 an 0 设 i i 1 n 中第i0项的绝对值最大 得和式 n i 1 i i0 ai i i 0 ai0为由n 1项 注n 1为标 准自然数 相加的可触数 从而其中至少有一项为可触数 也就有该项中的 i i0为可触数 4 在分析中的简单应用 本节将采用非标准分析方法给出标准数列的收敛性 标准实函数的连续性 一致连续性 可 导性 可积性的判别准则 从中可以看出非标准分析中对变量性质的研究不需要极限这一概念 定理1 设 an n 1为一个标准数列 l为一标准实数 则数列 an n 1收敛于l当且仅当对 所有n 有an l 证明 由数列 an n 1收敛于l 的 N定义有 st 0 N n N an l 0 stN n N an l 0 an l 0 N n N an l 0 N n N an l 0 0 x x x0 f x f x0 0 st 0 x x x0 f x f x0 0 f x f x0 0 0 x x x0 f x f x0 0 0 x x x0 f x f x0 0 0 x y x y f x f y 0 st 0 x y x y f x f y 0 f x f x 0 0 x y x y f x f y 0 0 x y x y f x f y 即f的一致连续性 例2 设f x 1 x 对任意的正无限小数 取x 有f x f x 1 2 为 一个负无限大数 所以该函数在 0 上不一致连续 定理4 设f是R上的标准实函数 x0是一标准实数 则f在x0处可导当且仅当对所有的 非零无限小数 满足f x0 f x0 与同一个标准实数l等价 且有f x 0 l 证明与前面一样 定义2 设闭区间 a b 中的n 1个点x0 x1 xn满足a x0 x1 0 存在 a b 的一个划分D满足 D f 0 st D 有 D 所以 D 设D对区间 a b 的所有无限细划分 因 D 是标准的 有 D f D D f D f 所以 D f 0 D D f 0 D D f 即f在 a b 上Riemann可积 定理6 区间 a b 上的所有连续函数一定是Riemann可积的 证明 由转化原理只需证明该定理对标准连续函数成立 设D为 a b 的一个无限细划 分 f是标准的 由f的连续性知 对所有i 0 1 n 1 i sup f x x xi xi 1 inf f x x xi xi 1 全是无限小数 另外 n 1 i 0 x i 1 xi b a 3 m 1 a