2010年全国各地高考数学文科真题及答案解析

2010高考真题精品解析 -文数（北京卷） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效，考试结束后，将本试卷和答题卡。 【名师简评】 作为北京进入新课改后第一年高考的数学 试题，我认为很好的完成了由老教材到新课改的过度，试题的命制在这方面做的很好 .我的总体感觉：耳目一新。 1、风格亲切，考生不意外。对这份题，考生可能感觉似曾相识，与此前的模拟练习很类似，可以说是练什么就考 什么。这也正说明出题人与教师、学生的目 的是一致的，最终是让学生掌握基本知识，而不是 找学生毛病。 2、平稳中有创新。 20 个题严格依照考试说明的要求，考查主要知识、基本方法。保持了北京卷的一贯特点：关注考生的探索意识和动手能力。如第 14、第 20 题等，情景是全新的，对学生的 “ 学习能力 ” 提出了较高要求。 3、敢于探索，创新力度大。尽管今年是北京新课程第一年 高考，但试题并没有一味求稳，依据新课程的要求，大胆取舍，甚至一步到位，创新力度出乎多数人意料。其中倒数第2 题给人印象尤其深刻，题目新颖不落俗套，学生平时常用的方法不能解决了。但问题不是偏了、怪了 ，而是回归到解析几何最本质的问题：代数方法研究几何问题。 4、难度比去年要高一点。试卷梯度明显，入手容易，但真正完全解决，还需要学生有扎实的基础和顽强的意志。考试后接触到一些水平不错的孩子，他们大都觉得这份试卷比平时的模拟练习难度要高，阅读量大，计算量大。 第卷 （选择题 共 140 分） 一、 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 集合 2 0 3 , 9 P x Z x M x Z x ，则 PMI = (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,3 在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB的中点，则点 C 对应的复数是 （ A） 4+8i (B)8+2i （ C） 2+4i (D)4+i 1 答案 C 【命题意图】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式 .求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化 . 【解析】两个复数对应的点的坐标分别为 A(6,5),B(-2,3)，则其中点的坐标为 C(2,4)，故 其对应的复数为 2+4i. 从 1,2,3,4,5中随机选取一 个数为 a，从 1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是 （ A） 45(B)35（ C） 25(D)15若 a,b 是非零向量，且 ab ， ab ，则函数 ( ) ( ) ( )f x x a b x b a 是 （ A）一次函数且是奇函数 （ B）一次函数但不是奇函数 （ C）二次函数且是偶函数 （ D）二次函数但不是偶函数 （ 5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为： (6)给定函数 12yx ，12lo g ( 1)yx， | 1|yx， 12xy ，期中在区 间（ 0，1）上单调递减的函数序号是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1， 顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 （ A） 2 s i n 2 c o s 2； （ B） s i n 3 c o s 3 （ C） 3 s i n 3 c o s 1 （ D） 2 s in c o s 1 7. 答案 A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用 （ 8）如图，正方体1 1 1 1A B C D - A B C D的棱长为 2， 动点 E、 F 在棱11AB上。点 Q 是 CD 的中点，动点 P 在棱 AD 上，若 EF=1， DP=x，1AE=y(x,y 大于零 )， 则三棱锥 P-EFQ 的体积： （ A）与 x， y 都有关； （ B）与 x， y 都无关； （ C）与 x 有关，与 y 无关； （ D）与 y 有关，与 x 无关； 第卷 （共 110 分） 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （ 9）已知函数 2l o g , 2 ,2 , 2 . xxxxy p 右图表示的是给 定 x 的值，求其对应的函数值 y 的程序框图， 处应填写 ；处应填写 。 （ 10）在 ABC 中。若 1b ， 3c ， 23c ，则 a= 。 （ 11）若点 p（ m， 3）到直线 4 3 1 0xy 的距离为 4，且点 p 在不等式 2xy 3 表示的平面区域内，则 m= 。 （ 12）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。 由图中数据可知 a= 。若要从身高在 120， 130， 130， 140， 140， 150三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动 ，则从身高在 140， 150内的学生中选取的人数 应为 。 所 以在身高在 140,150范围内抽取的 学生人数为 3106018 人 . （ 13）已知双曲线 221xyab的离心率为 2，焦点与椭圆 22125 9xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 （ 14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（ x， y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ()y f x ，则 ()fx的最小正周期为 ； ()y f x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 。 说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 三、 解答：本大题共 6 小题，共 80 分。解答 应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) 2 c o s 2 s i nf x x x （）求 ()3f 的值； （）求 ()fx的最大值和最小值 （ 16）（本小题共 13 分） 已知 |na为等差数列，且3 6a ，6 0a 。 （）求 |na的通项公式； （）若等差数列 |nb满足1 8b ，2 1 2 3b a a a ，求 |nb的前 n 项和公式 答案（共 13 分） （ 17）（本小题共 13 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF/AC， AB= 2 ,CE=EF=1 （）求证： AF/平面 BDE； （）求证： CF平面 BDF； (18) （本小题共 14 分） 设定 函数 32( ) ( 0 )3af x x b x c x d a f，且方程 ( ) 9 0f x x的两个根分别为1， 4。 （）当 a=3 且曲线 ()y f x 过原点时，求 ()fx的解析式； （）若 ()fx在 ( , ) 无极值点，求 a 的取值范围。 （ 19）（本小题共 14 分） 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( 2,0) ， ( 2,0) ，离心率是 63，直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M， N，以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P。 （）求椭圆 C 的方程； （）若圆 P 与 x 轴相切，求 圆心 P 的坐标； （）设 Q（ x， y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 （ 19）答案（共 14 分） 解：（）因为 63ca ，且 2c ， 所以 223 , 1a b a c 所以椭圆 C 的方程为 19.【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题 .问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力 . 【点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高 .求解此类问题往往要应 用到代数 的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练 . （ 20）（本 小题共 13 分） 已知集合12 | ( , , ) , 0 , 1 , 1 , 2 , , ( 2 )n n iS X X x x x x i n n ， 对于12( , , , )nA a a a ，12( , , , )nnB b b b S，定义 A 与 B 的差为 1 1 2 2( | | , | | , | | ) ；nnA B a b a b a b A 与 B 之间的距离为1( , ) | |n iiid A B a b （）当 n=5 时，设 ( 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 , 0 )AB，求 AB ， ( , )d AB ； （）证明： , , ,nnA B C S A B S 有，且 ( , ) ( , )d A C B C d A B ； ( ) 证明： , , , ( , ) , ( , ) , ( , )nA B C S d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 (20)答案 (共 13 分 ) （）解： ( 0 1 , 1 1 , 0 1 , 0 0 , 1 0 )AB =（ 1,0,1,0,1） 设 t 是使 1i i i ib a c a 成立的 i 的个数。则 2h l k t 2010 高考真题精品解析 -文数（北京卷） 参考答案 所以 1 0 ( 1 ) 2 2 1 2na n n （）设等比数列 nb的公比为 q 因为2 1 2 3 2 4 , 8b a a a b 所以 8 24q 即 q =3 所以 nb的前 n 项和公式为1 ( 1 ) 4 ( 1 3 )1 n nn bqS q 所以 CF平面 BDE. (18)(共 14 分 ) （）由题意知 ( 0 , ) ( 1 1)p t t 由题意知 , , 0 , 1 ( 1 , 2 , , )iiia b c i n 当 0ic时，i i i i i ia c b c a b 当 1ic时 ， ( 1 ) ( 1 )i i i i i i i ia c b c a b a b 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类） 【名师简评】 2010 年数学考试大纲强调，数学命题要重视基础知识和综合能力的相互结合，在平稳中求创新，重点强调对数学基础知识的考查从今年 考试的试卷情况看，可以说高考数学试题符合考纲的这一要求，值得一提的是，今年高考中对能力考查的力度进一步加大相对来说今年高考文科数学试题比去年的要简单一些 首先是虽然总体的难度变化不大，但 “送分题 ”明显增加，思维量、运算量也有所增加其次是尽管难题不多，但由于中档题所占比重加大，除少数题外，几乎每个题目对考生的思维能力、运算能力都提出了一定的要求，更重要的是考题要求考生能够熟练运用基础知识，迅速解决问题再次是新题型多，推陈出新是高考题的一大特点，尽管客观题、主观题中有很多是常见的题型，但是新题型还是占有 一定的比例再有很多大题都能在教材中找到它的 “影子 ”，如：第 17 题、 19 题、 20 题 总之，回归课本是必须，夯实基础是前提，熟记题型是关键，灵活应变是过程，取得较高分数是结果 本试题卷共 4 页，三大题 21 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 M=1,2,4,8， N= x x 是 2 的倍数 ，刚 MNI = A.2,4 B.1,2.4 C.2,4,8 D.1,2,4,8 2.函数 ()fx = 3 sin( )24x ， xR 的最小正周期为 A. 2B. C. 2 D. 4 【答案】 D 【命题意图】本小题主要考查了正弦型函数 s iny A x的周期 【解析】由正弦型函数 s iny A x的周期公式： 2T ，得 2412T 3.已知函数 f （ x） = 3xlo g x , x 0 ,2 , x 0 ,f 则 f 19f= A.4 B. 14C. 4 D. 14【答案】 B 【命题意图】本小题主要考查了分段函数的有关概念以及指 数函数的运算和对数函数的运算 【解析】311l o g 299f Q， 2112294f f f 4.用 ,abc表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列 命题： 若 ,a b b c 则 ac ； 若 ,a b b c则 ac ； 若 a ,b ,则 a b ； 若 ,ab,则 a b . 其中真命题的序号是 A. B. C. D. 5.函数0 . 51l o g ( 4 3 )y x 的定义域为 A. 3( ,1)4B. 3( , )4 C. (1, ) D. 3( ,1) (1 ,+ )4 U6.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座 ，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A. 65 B. 56 C. 5 6 5 4 3 22 D. 6 5 4 3 2 【答案】 A 【命题意图】 本小题主要考查了乘法原理以及运用所学知识分析问题、解决实际应用问题的能力 【解析】 6 名同学中的每一名同学都可以从 5 个课外知识讲座中任选一种，由乘法原理可知3 不同的选法总 数是 65 7.已知等比数列 na中，各项都是正数，且1a、 12 1a、 22a成等差数列，则9 1078aaaa = A 1+ 2 B 1- 2 C 3+2 2 D 3-2 2 8已知 ABC 和点 M 满足 MAuur +MBuur +MCuur = 0.若存在实数 m 使得 ABuur +ACuuur =m AMuur 成立， 则 m A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 B 【命题意图】 本小题主要考查了平面向量的线性运算，同时把平面向量与三角形紧密结合起来，体现了在知识交汇点处命题的思路 【解析】 因为 0M A M B M C uuur uuur uuuur，所以 M 为 ABC 的重心 如图所示，在 ABC 中，点 G 是 BC 的中9.若 直线 y x b与曲线 3y 24xx 有公共点，则 b 的取值范围是 A. 1 2 2 , 1 2 2 B. 1 2,3 C. 1,1 2 2 D. 1 2 2 , 3 10. 记实数12,nX X XK中的最大数 为 max 12,nX X XK, 最小数为min 12,nX X XK .已知 ABC 三边的边长为 ,abc (abc ),定义它的倾斜度为 m a x , , m i n , , ,a b c a b cb c a b c a l 则 “ 1l ”是 “ ABCV 为等边三角形 ”的 A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 【答案】 B 二、 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题 两空的题，其答案按先后次序填写。答案错位，书写不清，模棱两可均不得分 . 11. 在（ 1x2） 10 的展开式种， x4 的系数为 . 【答案】 45 【命题意图】 本题考查了利用通项公式求解二项展开式中的指定项系数问题 【解析】 设 4x 项是第 1r 项，则 221 1 0 1 01r rr r rrT C x C x ，令 24r ，则 2r ，所以 4x 项的系数为 210 45C 12. 已知 2z x y，式中变量 ,xy满足约束条件 12yxxyx ，则 z 的最大值为 . 13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9则服用这种新药的 4个病人中至少 3人被治愈的概率为 （用数字作答） . 【答案】 0.9477 【命题意图】 本题考查了互斥事件的概率加法公式和 n 次独立重复试验问题，并考查了运用所学知识分析问题、解决实际问题的能力 【解析】 设服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的事件为 A，设 4 个人中有 3 个人被治愈为事件 A1 ， 4 个人都被治愈为事件 A2 且 3314 0 . 9 0 . 1 0 . 2 9 1 6P A C ， 4424 0 . 9 0 . 6 5 6 1P A C ，事件 A1 和 A2 是互斥事件所以所求事件的概率 12 0 . 9 4 7 7P A P A P A 14.圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球，（球的半径和圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm . 【答案】 4 【命题意图】 本小题主要考查了求解圆柱和球的体积问题以及空间想象能力与运算求解能力 【解析】 设球的半径为 R，则由题意可知 2 3 248 3 63R R R R ，解得 4cmR 15. 已知椭圆 :C 2 2 12x y的两焦点为12,FF,点00( , )P x y满足 2 200012x y ，则 12PF PF的取值范围为 ，直线0 0 12xx yy与椭圆 C 的公共点个数为 . 三、解答题： 本大题共 6 小 题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分 12 分） 已知函数 22c o s s i n()2xxfx ， 11( ) s i n 224g x x. （ ）函数 ()fx的图像可由函数 ()gx 的图像经过怎样的变化得到？ （ ）求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x的最小值，并求使 ()hx取得最小值的 x 的集合。 17、（本小题满分 12 分） 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水 库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示） . （ 1）在答题卡上的表格中填写相应 的频率； （ 2）估计数据落在 1.15， 1.30 ）中的概率为多少； （ 3）将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼，其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来估计该水库中的鱼的总条数 . 【命题意图】 本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法 . 【参考答案】 解：（ ）根据频率分布直方图可知，频率 =组距 （频率 /组距），故可得下表 分组 频率 1.00， 1.05) 0.05 1.05， 1.10) 0.20 1.10， 1.15) 0.28 1.15， 1.20) 0.30 1.20， 1.25) 0.15 1.25， 1.30) 0.02 （ ） 0 . 3 0 0 . 1 5 0 . 0 2 0 . 4 7 , 所以数据落在 1.15,1.30) 中的概率约为 0.47. （ ） 1 2 0 1 0 0 2 0 0 0 ,6 所以水库中鱼的总条数约为 2000 条 . 【点评】 本题背景源于教材，用样本估计总体，许多模拟题也出现过类似的题型，考生做起来还是比较顺手的。 18（本小题满分 12 分） 如图。在四面体 ABOC 中， OC OA ， OC OB ， 120AOB 且1O A O B O C . ( )设 P 为 AC 的中点， Q 在 AB 上且 3AB AQ . 证明 : PQ OA ； ( )球二面角 O AC B的平面角的余弦值。 （ ）连结 PN， PO. 由 .:, O A BOCOBOCOAOC 平面知 又 O A B ,ON 平 面 .OC ON .:,.,.:的平面角为二面角知根据三垂线定理的中点为中在等腰内的射影在平面是平面知又由BACOO P NNPACOPACACPC O ARtA O CNPOPA O CONOAON .51563022c o s,630,3330t an,.22,1,22PNPOO P NONOPPNP O NRtOAONA O NRtOPOAOCC O